1、非齊次線性方程組解的性質2、非齊次線性方程組解的結構教學要求：了解齊次線性方程組的基礎解系和通解。了解非齊次線性方程組的解的結構及通解等概念.掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法.1、非齊次線性方程組的解性質給定n元線性方程組將該方程組的常數項bi(i=1,2,…,m)換成數“0”，則得齊次線性方程組稱此方程組為非齊次線性方程組Ax=b

的導出組，即Ax=b的導出組為Ax=0

!例如：給定4元線性方程組該線性方程組的導出組性質1（差性質）設

1,

2

是非齊次方程組Ax=b的解，則

1

2

是其導出組Ax=0的解。【證】因為A

1=b,A

2=b，所以A(

1

2)

=A

1

A

2=b-b=0，即

1

2是導出組Ax=0

的解。注意：若A

1=b,A

2=b，則A(

1+

2)

=A

1+A

2=2b，即

1+

2是非齊次線性方程組

Ax=2b

的解。性質2（方程組與導出組解間關系）設

是非齊次線性方程組

Ax=b的解，

是其導出組Ax=0的解，則

+

是Ax=b的解。根據性質1，2，我們得出非齊線性方程組解的結構定理?！咀C】因為A

=b,A

=0

，所以A(

+

)=A

+A

=b+0=b，即

+

是非齊次方程組Ax=b的解。2、非齊次線性方程組解的結構定理3.18

（解結構定理）設

0是方程組Ax=b的一個特解，

是其導出組Ax=0的任一解,則Ax=b的任一解都可以寫成的

+

0

形式。定理3.18

（解結構定理）設

0

是方程組Ax=b的一個特解，

是其導出組Ax=0的任一解,則Ax=b的任一解都可以寫成的

+

0

形式。【證】設方程Ax=b

的任一解為

,因為A

=b,A

0=b,

所以A(

-

0)=b-b=0,記

=

-

0，則

是Ax=0的任一解，所以

=(

-

0)+

0=

+

0

即方程Ax=b的任一解都可以寫成的

+

0

形式。設

0是非齊次線性方程組Ax=b

的一個特解，

1,

2,…,

n-r

是其導出組Ax=0的一個基礎解系,則方程組Ax=b

的通解可表示為：根據解結構定理，非齊線性方程組Ax=b

的通解具有如下結構形式：這樣，求非齊線性方程組Ax=b

的通解步驟：（1）求Ax=b

的一個特解

0

；（2）求導出組Ax=0

的基礎解系

1,

2,…,

n-r

；（3）寫出通解的向量表示?！纠?.20】求解線性方程組的通解解：對方程組的增廣矩陣作初等行變換，化成行簡化矩陣從行簡化矩陣，寫出同解方程組(其中x2,x4

是自由未知數)取x2=0,x4=0

，代入同解方程組得原方程組的一個特解

0.特解從行簡化矩陣，寫導出組的同解方程組為代入導出組的同解方程組得基礎解系

1,

2取基礎解系:所以，程組的通解為說明：(1)從例題的解題過程可知：求特解時，可令自由未知數全為0，代入原方程的同解方程組求出非自由未知數的值，這樣可得特解向量。(2)基礎解系還可以從消解法中得到。例如：從行簡化矩陣，寫出同解方程組取x2=k1,x4=k2

，則方程組解的一般形式:(x2,x4

是自由未知數)或所以方程組的特解為

0：基礎解系

1,

2取為：方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求出通解.

【例3.21】

取何值時線性方程組【解】對增廣矩陣(A,b)作行初等變換,將其化為行階梯形矩陣B（1）當

1且

2時,r(A)=r(A,b)=3，故方程組有唯一解,且（1）當

1且

2時,r(A)=r(A,b)=3，故方程組有唯一解,且（2）當

=2時,r(A)=2<r(A,b)=3，故方程組無解。（3）當

=1時,r(A)=r(A,b)=1，故方程組有無窮多解。分別令,則方程組導出組的基礎解系為又令,則原方程組的特解為由行簡化矩陣寫出同解方程組為則方程組導出組的基礎解系為所以,原方程組的通解為【例3.22】已知線性方程組Ax=b

有兩個解向量且求該方程組的通解?！窘狻扛鶕庀蛄?/p>

1,

2是3維的，可知Ax=b

的未知量有3個，即n=3,又已知r(A)=2,所以Ax=0的基礎解系包含n-r(A)=3-2=1個解向量。,其中c為常數。另一方面，

1

2=(

2,

2,3)T是Ax=0

的非零解，所以它構成Ax=0的基礎解系,于是原方程組的通解為：

γ0

【補例4】已知

1=(0,1,0)T,

2=(-3,2,2)T是方程組的兩個解，求此方程組的解，并用其導出組的基礎解系表示.解：將方程組記為Ax=b,由于

1,

2是方程組的兩個解，所以r(A)=r(A,b)<3在增廣矩陣(A,b)中，已有二階子式所以,r(A,b)≥2,由此可知因此方程組Ax=b

的導出組

Ax=0的基礎解系中應含有3

2=1個解向量,所以β1

β2=(0,1,0)T

(

3,2,2)T

=(3,

2,

2)T(c為任意常數！)r(A)=r(A,b)=2是

Ax=0的基礎解系，故原方程組的通解為【補例5】設四元齊次線性方程組又已知另一齊次線性方程組(Ⅱ)的通解為(1)求線性方程組(Ⅰ)的通解；(2)方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解.(k1,k2為任意常數)解：(1)齊次線性方稱組(Ⅰ)的系數矩陣顯然r(A)=2.取x2,x3

為未知量，方程組(Ⅰ)的同解方程組為令自由未知量(x2,x3)T分別為(1,0)T,(0

,1)T得方程組(Ⅰ)的一個基礎解系。方程組(Ⅰ)的通解為(c1,c2為任意常數)(2)解法1將方程組(Ⅱ)的通解解之得到,k1=

k2

，故當k1=

k2≠0時非零向量代入(Ⅰ)得(k1,k2為任意常數)滿足方程組(Ⅰ).并且它也是方程組(Ⅱ)的解，故它是方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解.因此方程組(Ⅰ)、(Ⅱ)的非零公共解為(k2≠0為任意常數)(k2≠0為任意常數)(2)解法2若方程組(Ⅰ)、(Ⅱ)有非零解，則必有不全為零的數c1,c2,k1,k2,有得四元方程組即解得c1=k2

，c2=k2

,k1=k2，取則方程組Ⅰ,Ⅱ的非零的(k≠0為任意常數)公共解為2.設四元非齊次線性方程組Ax=b的系數矩陣A的秩為3,已知η1,η2,η3是它的三個解向量，且η1=(2,3,4,5)T

,η2+

η3=(1,2,3,4)T,求該方程組的通解．1.求非齊次線性方程組的通解練習考研真題1.(2000數學三)設

1,

2,

3四元非齊次線性方程組Ax=b

的三個解向量，且秩(A)=3,

1=(1,2,3,4)T

,

2+

3=(0,1,2,3)T,c是任意常數，則非齊次線性方程組Ax=b的通解x=(C).(A)(1,2,3,4)T+c(1,1,1,1)T

；(B)(1,2,3,4)T+c(0,1,2,3)T

；(C)(1,2,3,4)T+c(2,3,4,5)T

；(D)(1,2,3,4)T+c(3,4,5,6)T

。2.(2011數學三)設A為4×3矩陣，

1,

2,

3是非齊次線性方程組Ax=b的3個線性無關的解，k1,

k2是任意常數,則

Ax=b

的通解為(C).(A)(

2+

3)/2+k1(

2-

1)；(B)(

2-

3)/2+k1(

2-

1)；(C)(

2+

3)/2+k1(

2-

1)+k2(

3-

1)；(D)(

2-

3)/2+k1(

2-

1)+k2(

3-

1)。3.(2002數學三)已知4階方陣A=[

1,

2,

3,

4],

1,

2,

3,

4均為四維列向量，其中

2,

3,

4線性無關，且

1=2

2-

3.如果b=

1+

2+

3+

4,求線性方程組Ax=b

的通解.4.(2021數學三)設A=[

1,

2,

3,

4]為四階正交矩陣，若矩陣B=[

1,

2,

3]T

,b=(1,1,1)T,

k是任意常數,則線性方程組Bx=b的通解x=(D).(A)

2+

3+

4+k

1；(B)

1+

3+

4+k

2

；(C)

1+

2+

4+k

3

；(D)

1+

2+

3+k

45.(2020數學三)設四階矩陣A=[aij]不可逆，a12的代數余子式A12≠0,

1,

2,

3,

4

為A的列向量組，A*為A的伴隨矩陣，則方程組A*x=0的通解x=(C).(A)X=k1

1+k2

2+k3

3，其中k1,k2,

k3為任意常數；

(B)X=k1

1+k2

2+k3

4，其中k1,k2,

k3為任意常數；(C)X=k1

1+k2

3+k3

4，其中k1,k2,

k3為任意常數；(D)X=k1

2+k2

3+k3

4，其中k1,k2,

k3為任意常數.6.(2008數學三)設n元線性方程組Ax=b,

其中(1)證明行列式|A|=(n+1)an;(2)當a為何值時，方程組有唯一解，并求x1.(3)當a為何值時，方程組有無窮多解，并求通解。7.(2014數學3)設A=，E為3階單位矩陣，(1)求方程Ax=O

的基礎解系;