2.2.1矩陣的加法及其性質(zhì)2.2.2數(shù)乘矩陣及其性質(zhì)2.2.3矩陣的乘積及其性質(zhì)2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)2.2.5矩陣的行列式教學(xué)要求：(1)掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)則;(2)了解對稱矩陣、反稱矩陣以及基本性質(zhì);(3)了解伴隨矩陣的概念.定義2.5

設(shè)A=(aik)是m×s矩陣，B=(bkj)是s×n矩陣，定義A

與B

的乘積是一個m×n的矩陣C=(cij),

其中記作C=AB。2.2.3矩陣乘法1、矩陣乘法定義說明：（1）兩個矩陣相乘，其結(jié)果仍是一個矩陣。習(xí)慣上，矩陣A與B乘積AB也稱為A左乘B或者B右乘A

。（2）乘積C=AB的（i,j）元cij是A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元乘積再求和A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元乘積再求和示意圖：×××cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsjcij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj（3）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)與第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時才能相乘。例如：設(shè)例題表明：行矩陣乘以列矩陣結(jié)果為一階矩陣，一階矩陣?yán)ㄌ柨梢允÷?，因而一階矩陣也就是一個數(shù)。求AB,BA.解：例題表明：列矩陣乘以行矩陣結(jié)果為m×n矩陣，其中m為列矩陣的行數(shù)，n為行矩陣的列數(shù)。注：顯然，AB與BA不相同，因而矩陣乘法不滿足交換律。【例2.7】設(shè)A，B=，求AB.【解】設(shè)，AB的第一行元素類似求出第二行，所以求乘積矩陣AB

的動畫演示！10

=0×4+5×1+(-1)×(-1)+4×110

=0×4+5×1+(-1)×(-1)+4×1例如

設(shè)矩陣（3）一般情況下，

AB有意義，BA不一定有意義，即使BA有意義，也不一定有AB=BA

，即矩陣的乘法不滿足交換律。求AB，BA.

（4）兩個不為零的矩陣的乘積可以為零矩陣，或者說由AB=O也不能說明A=O或B=O，即矩陣的乘法不滿足消去律。有例外，比如設(shè)則有此時有AB=BA.（5）可交換矩陣定義2.6給定矩陣A，B，若AB=BA，則稱矩陣A與B可交換.可以證明：（1）可交換的矩陣一定是同階方陣。（2）與一個給定的方陣可交換的矩陣有無數(shù)多個。例如：與可交換的矩陣有等等。設(shè)矩陣A,B,C

以下運算都是可行的，則滿足下列運算規(guī)律:（1）結(jié)合律:(AB)C=A(BC);（2）數(shù)乘結(jié)合律:k(AB)=(kA)B=A(kB);（3）左分配律:A(B+C)=AB+AC;右分配律(B+C)A=BA+CA;（4）對于單位陣,EmAm×n=Am×nEn=Am×n或簡寫成EA=AE=A.2、乘法運算律（方法2）運用乘法分配律【例2.8】已知【解】(方法1）先分別求AB與AC，然后求和AB+AC求AB+AC.AB+AC=A(B+C)AB+ACAB+AC其中k

是整數(shù)。由定義，只有方陣才有乘冪的概念。乘冪滿足下列運算規(guī)律：AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,

其中k,l

為正整數(shù)。3、n

階方陣的方冪定義2.7

設(shè)A為n階方陣，定義A的k次乘冪為例如求A3.先求A2，再求A3，注：由于矩陣乘法不滿足交換律，所以一般來說:例如：若(AB)≠BA,則

(AB)k≠AkBk

(k>1).(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2.(AB)3=(AB)(AB)(AB)=A(BA)2B≠A3B3.等等

由定義,對角矩陣的冪等于對角線上元素的冪,即【例2.9】已知AA2

2A求A2

2A.【解】(方法1)(方法2)運用乘法的分配律，有A2

2A=(A

2E)A=A(A

2E)，所以A2

2A=(A

2E)A【例2.10】設(shè)A與B是可交換矩陣，證明：(A

B)(A+B)=A2

B2.【證】運用矩陣乘法的左、右分配律，有(A

B)(A+B)=(A

B)A+(A

B)B（左分配律）

=A2

BA+AB

B2，（右分配律）由于AB=BA，故(A

B)(A+B)=A2

B2.【例2.11】若AB=BA，證明(A+B)2=A2+B2+2AB.證明所以即(A+B)2=A2+B2+2AB.因為AB=BA,A2+B2+BA+AB=A2+B2+2AB.證畢.思考：若AB=BA，證明:(1)(A

B)2=A2+B2

2AB.(2)A2

B2=(A

B)

(A+B).注：例與思考題的結(jié)論很像初等數(shù)學(xué)中的平方（或差）公式,不妨稱其為矩陣的平方（或差）公式.但要注意矩陣的平方差（或差）公式成立是有條件的,即A與B要滿足可交換條件.4、矩陣多項式定義2.7

設(shè)x的k次多項式f(x)=a0xk+a1xk-1+…+ak-1x+ak,其中a0,a1,…,ak-1,ak為常數(shù)，A為n階方陣，En為n階單位矩陣，定義f(A)=a0Ak+a1Ak-1+…+ak-1A+akEn,稱f(A)為f(x)對應(yīng)的k次矩陣多項式，簡稱f(A)為A的矩陣多項式。事實上，矩陣A與矩陣A的多項式f(A)可交換，即Af(A)=f(A)A。5、矩陣乘法的應(yīng)用（教材補(bǔ)充?。?）線性方程組的矩陣表示設(shè)線性方程組利用矩陣乘法，可記作AX=b,記這稱為線性方程組的矩陣表示。即例如，線性方程組則線性方程組的矩陣表示記即Ax=b.(2)設(shè)線性變換的矩陣表示。利用矩陣乘法，則y=Ax,這稱為線性變換的矩陣表示。記設(shè)則線性變換的矩陣表示例如，給定線性變換3

6

07

-1

2

354161

（3）矩陣的行（列）和1

1

11結(jié)論：在矩陣A的右側(cè)乘上元為1的列矩陣相當(dāng)于求矩陣A的每行和。如：求矩陣的每一行的和3

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07

-1

2

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求矩陣的每一列的和結(jié)論：在矩陣A的左側(cè)乘上元為1的行矩陣相當(dāng)于求矩陣A的每一列的和。3

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