/2025年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分40分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分。1．如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則的值為A．6 B． C．13 D．2．已知集合，，，，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，則A．， B．， C．，0， D．，，0，3．已知向量和滿足與的夾角為，則A． B．2 C． D．4．已知銳角滿足，則的值為A． B． C． D．5．在平面內(nèi)，兩定點(diǎn)，之間的距離為4，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為A． B． C． D．6．某學(xué)校有、兩家餐廳，王同學(xué)第一天去、兩個(gè)餐廳的概率分別是和，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，則王同學(xué)第二天去餐廳的概率為A． B． C． D．7．如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓面，若，則橢圓的離心率為A． B． C． D．8．結(jié)合以下材料：“在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)，，且一個(gè)法向量為的平面的方程為．”解決問(wèn)題：在空間直角坐標(biāo)系中，若直線是兩平面與的交線，則直線的方向向量可以是A．，1， B．，1， C．，1， D．，1，二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分18分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，則A． B．是公差為2的等差數(shù)列 C． D．（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則A．是周期為的函數(shù) B．與函數(shù)是同一函數(shù) C．是的一條對(duì)稱軸 D．在區(qū)間上的取值范圍是（多選）11．（6分）數(shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法．比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關(guān)于曲線的說(shuō)法正確的有A．周長(zhǎng)大于25 B．共有4條對(duì)稱軸 C．圍成的封閉圖形面積小于14 D．圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上。12．在展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．13．銳角△中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，且，若，則△周長(zhǎng)的取值范圍是．14．已知函數(shù)在，上的最大值比最小值大，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)抽取了200名高三年級(jí)學(xué)生，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計(jì)低于不低于女20男50合計(jì)200（1）根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中的，的值；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“高三年級(jí)學(xué)生的性別”與“身高是否低于”有關(guān)聯(lián)？（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．（15分）已知函數(shù)．（1）求在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．17．（15分）已知數(shù)列中，．（1）若，，依次成等差數(shù)列，求；（2）若，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）若，求的前項(xiàng)和．18．（17分）如圖所示，三棱柱中，平面平面，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若平面與平面所成角的正切值為，求的值．19．（17分）已知點(diǎn)P為圓C：（x+2）2+y2＝12上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的軌跡為曲線H．（1）求曲線H的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)B的直線l與曲線H相切，且與直線分別交于點(diǎn)M，N．（i）證明：點(diǎn)B為線段MN的中點(diǎn)；（ii）求2|OM|+3|ON|的取值范圍．

2025年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CDDBACDA二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ACDADABC一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分40分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分。1．如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則的值為A．6 B． C．13 D．解：由向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則復(fù)數(shù)是，則．故選：．2．已知集合，，，，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，則A．， B．， C．，0， D．，，0，解：由題意，，，0，，，，0，1，，則，，0，．故選：．3．已知向量和滿足與的夾角為，則A． B．2 C． D．解：由題意，與的夾角為，則．故選：．4．已知銳角滿足，則的值為A． B． C． D．解：由題意，①，兩邊平方，可得，解得，所以，由為銳角，可得，可得②，由①和②聯(lián)立，解得，所以．故選：．5．在平面內(nèi)，兩定點(diǎn)，之間的距離為4，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為A． B． C． D．解：以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)、，由，可得，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，如下圖所示：，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，因此，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為．故選：．6．某學(xué)校有、兩家餐廳，王同學(xué)第一天去、兩個(gè)餐廳的概率分別是和，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，則王同學(xué)第二天去餐廳的概率為A． B． C． D．解：設(shè)王同學(xué)第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，王同學(xué)第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，由已知可得，，則根據(jù)全概率公式，．故選：．7．如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓面，若，則橢圓的離心率為A． B． C． D．解：設(shè)圓的半徑為，橢圓方程為，由題意，截面橢圓的半短軸長(zhǎng)等于圓柱的底面半徑，即，，，，在△中，，，，橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于，即，，可得橢圓的離心率．故選：．8．結(jié)合以下材料：“在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)，，且一個(gè)法向量為的平面的方程為．”解決問(wèn)題：在空間直角坐標(biāo)系中，若直線是兩平面與的交線，則直線的方向向量可以是A．，1， B．，1， C．，1， D．，1，解：由已知，平面的法向量可以是，，，平面的法向量可以是，4，，設(shè)交線的方向向量為，，，則，即，可知，1，滿足題意．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分18分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，則A． B．是公差為2的等差數(shù)列 C． D．解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，可得，則，又，則．故選項(xiàng)正確；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，，則，可得為公差的等差數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由等差數(shù)列的求和公式，可得，故選項(xiàng)正確；，則，故正確．故選：．（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則A．是周期為的函數(shù) B．與函數(shù)是同一函數(shù) C．是的一條對(duì)稱軸 D．在區(qū)間上的取值范圍是解：根據(jù)題意可知，，故正確；，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不是的一條對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，則，即在區(qū)間上的取值范圍是，故正確．故選：．（多選）11．（6分）數(shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法．比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關(guān)于曲線的說(shuō)法正確的有A．周長(zhǎng)大于25 B．共有4條對(duì)稱軸 C．圍成的封閉圖形面積小于14 D．圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1解：根據(jù)題意，在第一象限曲線為，所以，當(dāng)，時(shí)，曲線在圓的下方，理由如下：由于，可設(shè)，，那么又因?yàn)椋ㄖ挥挟?dāng)或時(shí)取“”．因此，因此，時(shí)，曲線在圓的下方．即第一象限曲線的長(zhǎng)度大于圓周長(zhǎng)的，即曲線的周長(zhǎng)大于圓的周長(zhǎng)，而，則選項(xiàng)正確；由曲線的方程為可知，因?yàn)?，，，代入方程，方程都不變，所以曲線關(guān)于軸，軸，直線和對(duì)稱，共有4條對(duì)稱軸，則選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)的推證可知：曲線圍成的封閉圖形的面積，則選項(xiàng)正確；第一象限曲線的方程為，所以，，（都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．所以曲線上距離原點(diǎn)的最短距離為，因此圍成的封閉圖形內(nèi)最大能放入半徑為的圓，則選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上。12．在展開式中，常數(shù)項(xiàng)為160．解：根據(jù)題意，可得其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為（2），令，可得，將代入可得，，故答案為160．13．銳角△中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，且，若，則△周長(zhǎng)的取值范圍是．解：由已知得，結(jié)合余弦定理得，在△中，，所以．根據(jù)正弦定理，可得，所以，，可得，根據(jù)△為銳角三角形，可得，且，解得，．所以，可知，．綜上所述，△周長(zhǎng)．故答案為：．14．已知函數(shù)在，上的最大值比最小值大，則1．解：因?yàn)?，所以為奇函?shù)，且在，上的最大值比最小值大，所以在，上的最大值比最小值大．由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在，上單調(diào)遞增．則，解得．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，因?yàn)?，所以?）（1），所以，解得（舍去）或9（舍去）．綜上，故答案為：1．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)抽取了200名高三年級(jí)學(xué)生，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計(jì)低于不低于女20男50合計(jì)200（1）根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中的，的值；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“高三年級(jí)學(xué)生的性別”與“身高是否低于”有關(guān)聯(lián)？（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由頻率分布直方圖可知，低于的學(xué)生有人，則不低于的學(xué)生有人，所以，；（2）零假設(shè)：性別與身高沒(méi)有關(guān)聯(lián)，則，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，因此該市高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于有關(guān)聯(lián)；（3）樣本中抽中不低于的頻數(shù)為人，樣本中抽中不低于的頻率為，將樣本頻率視為概率，則，所以．16．（15分）已知函數(shù)．（1）求在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，，故?），又（1），所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，則，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不等正根，即有兩個(gè)不等正根，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（1），作出的大致圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在、，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，綜上，的取值范圍為．17．（15分）已知數(shù)列中，．（1）若，，依次成等差數(shù)列，求；（2）若，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）若，求的前項(xiàng)和．【解答】（1）解：由，得，，，，成等差數(shù)列，，即，解得；（2）證明：，即，，，即，可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；（3）解：由（2）可得，則，．18．（17分）如圖所示，三棱柱中，平面平面，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若平面與平面所成角的正切值為，求的值．【解答】（1）證明：由可得，，即，即，如圖：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以過(guò)作于，則平面，連接，因?yàn)椤鳌?，所以，，，在△中，，，．所以，則，，，，當(dāng)時(shí)，，，所以；（2）解：如圖，由（1）得，，兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系：平面中，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則；平面中，由（1）可知，，設(shè)，，，因?yàn)?，，所以，，?，，可得，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則；由題意，設(shè)平面與平面所成角為，且，可得，，，，，解得，即平面與平面所成角的正切值為時(shí)，的值為．19．（17分）已知點(diǎn)P為圓C：（x+2）2+y2＝12上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的軌跡為曲線H．（1）求曲線H的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)B的直線l與曲線H相切，且與直線分別交于點(diǎn)M，N．（i）證明：點(diǎn)B為線段MN的中點(diǎn)；（ii）求2|OM|+3|ON|的取值范圍．解：（1）B為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則|BP|＝|BA|，∴，∴點(diǎn)B的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，且，故點(diǎn)B的軌跡方程為．（2）（i）證明：設(shè)B（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），雙曲線的漸近線方程為①，②，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程是，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，此時(shí)直線l即是雙曲線H的切線，同時(shí)滿足點(diǎn)B為線段MN的中點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)B且與H相切的直線l的方程為，與雙曲線聯(lián)立，由Δ＝0?3k2＝m2+1，且，故可得，由；，∴，∴點(diǎn)B為線段MN的中點(diǎn)，綜上，點(diǎn)B為線段MN的中點(diǎn)．（ii）由（i）知，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)2|OM|＝3|ON|，即時(shí)取等號(hào)，又∵|OM|∈（0，+∞），∴2|OM|+3|ON|的取值范圍為．——————————————————————————————————————————《初、高中數(shù)學(xué)教研微信系列群》簡(jiǎn)介：目前有80個(gè)教研群（2個(gè)管理群、20個(gè)高中總?cè)海?1個(gè)分省群，4個(gè)教材主題研討群、3個(gè)初中群），共約20000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志初中、高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.宗旨：腳