2025年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題07數(shù)列一、單選題1．（2025·全國二卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項和公差d的方程求出首項和公差d，再由等差數(shù)列前n項和公式即可計算求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題可得，所以.故選：B.2．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．18【答案】C【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：C.3．（2025·天津·高考真題），則數(shù)列的前項和為（

）A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【分析】先由題設(shè)結(jié)合求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合數(shù)列各項正負(fù)情況即可求解.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，令，，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的前項和為數(shù)列的前項和為.故選：C4．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點恒在線段上，則有.即對任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故至多個零點，又由，可知存在個零點，不妨設(shè)，且.①若，即時，此時或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時，此時.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.二、多選題5．（2025·全國二卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式得到方程組，解出，再利用其通項公式和前項和公式一一計算分析即可.【詳解】對A，由題意得，結(jié)合，解得或（舍去），故A正確；對B，則，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，，則，故D正確；故選：AD.三、填空題6．（2025·上海·高考真題）己知等差數(shù)列的首項，公差，則該數(shù)列的前6項和為．【答案】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，.故答案為：7．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為.【答案】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前項和的定義，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項和性質(zhì)得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，當(dāng)時，，即，則，顯然不成立，舍去；當(dāng)時，則，兩式相除得，即，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：.法二：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，所以，，所以，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法三：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，因為，又，所以，所以，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.四、解答題8．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題目所給條件化簡，即可證明結(jié)論；（2）先求出的通項公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項和得出導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意證明如下，，在數(shù)列中，，，∴，即，∴是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，首項為3，公差為1，∴，即，在中，，∴，當(dāng)且時，∴，∴∴.9．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，由題設(shè)列出關(guān)于d和的方程求解，再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項公式即可得解；（2）（i）由題意結(jié)合（1）求出和的最大值，再作差比較兩者大小即可證明；（ii）法一：根據(jù)中全為1、一個為0其余為1、2個為0其余為、…、全為0幾個情況將中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解；法二：根據(jù)元素的特征得到中的所有元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，則由題得，所以；（2）（i）證明：由（1）或，，當(dāng)時，設(shè)，所以，所以，所以，為中的最大元素，此時恒成立，所以對，均有.（ii）法一：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得中的所有元素由以下系列中所有元素組成：當(dāng)均為1時：此時該系列元素只有即個；當(dāng)中只有一個為0，其余均為1時：此時該系列的元素有共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中只有2個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中有個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；…當(dāng)中有個為0，1個為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)均為0時：此時該系列的元素為即個，綜上所述，中的所有元素之和為；法二：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得，所以的所有的元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以中的所有元素之和為.一、單選題1．（2025·陜西漢中·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．30 B．40 C．60 D．120【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因為為等差數(shù)列，故，故選：C.2．（2025·江蘇南通·三模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．36 B． C． D．6【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】等比數(shù)列中，，，，由于故，所以，故選：D．3．（2025·山東青島·三模）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個人分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)第所得錢數(shù)為錢，設(shè)數(shù)列、、、、的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的值，即可求得的值.【詳解】設(shè)第所得錢數(shù)為錢，則數(shù)列、、、、為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列、、、、的公差為，則，解得，故.故選：C4．（2025·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的公差，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，將、用和表示出來，再代入已知等式求解.【詳解】由等差數(shù)列通項公式可得：，已知，所以；.將，代入可得：，則，化簡可得：，解得或.因為已知公差，所以舍去，得到.故選：B.5．（2025·遼寧大連·三模）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．16 B．32 C．27 D．81【答案】C【分析】應(yīng)用，再結(jié)合等比數(shù)列基本量運算計算求解.【詳解】因為，則，所以，因為，所以，所以或舍，所以.故選：C.6．（2025·湖南岳陽·三模）已知為正項等比數(shù)列的前項和，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，再結(jié)合題干條件，利用等比數(shù)列求和公式，得到關(guān)于的一元二次方程，解出公比即得的值.【詳解】由題意，設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，其中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，由題干可得，即，若，則，不合題意，故，所以，解得或（舍去），故.故選：C.7．（2025·北京海淀·三模）漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡．對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲．如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如表所示：出生時間1965年1月－4月1965年5月－8月1965年9月－12月1966年1月－4月…新方案法定退休年齡60歲1個月60歲2個月60歲3個月60歲4個月…那么1970年5月出生的男職工退休年齡為（

）A．61歲4個月 B．61歲5個月C．61歲6個月 D．61歲7個月【答案】B【分析】解法一：出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年齡記為，，分析可知數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列，求出該數(shù)列的首項和公差，即可求出，即可得解；解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個月，可得結(jié)果.【詳解】解法一：根據(jù)題意，出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年齡記為，，則構(gòu)成等差數(shù)列，首項歲1個月，公差為1個月，可得歲個月．依此規(guī)律，1970年5月出生的男職工，他的退休年齡應(yīng)該是的第17項，即他的退休年齡為歲17個月歲5個月．解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個月．出生年齡退休年齡1965.560歲2個月1966.560歲5個月1967.560歲8個月1968.560歲11個月1969.561歲2個月1970.561歲5個月故選：B.8．（2025·山東臨沂·三模）在數(shù)列中，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出即可求解.【詳解】依題意，，則，而，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，，所以當(dāng)時，.故選：B.9．（2025·河南三門峽·三模）已知數(shù)列的前n項和是，若，，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系，分別令，，解方程可得所求值．【詳解】數(shù)列的前n項和是，若，，則當(dāng)時，，兩式相減可得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得故選：D.10．（2025·江蘇蘇州·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的遞推公式，變形計算判斷AB；裂項，結(jié)合累加法求通推理判斷CD.【詳解】對于A，由，得，，則，A錯誤；對于B，由，得，當(dāng)時，，B錯誤；對于CD，由，得，則，即，則當(dāng)時，，，因此，，，，而，C正確，D錯誤.故選：C11．（2025·重慶·三模）數(shù)列滿足又則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出前12項，觀察奇偶項規(guī)律可得，奇數(shù)項構(gòu)成首項為1公差為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成首項為1公差為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】因為數(shù)列滿足，且，，，所以；；；；；；；；；觀察奇偶項規(guī)律：奇數(shù)項：，構(gòu)成首項為1公差為1的等差數(shù)列，令，則，通項公式為；偶數(shù)項：，構(gòu)成首項為1公差為的等差數(shù)列，令，則，通項公式為，通項公式為，，選項AB錯誤；，選項C正確，選項D錯誤.故選：C.12．（2025·上?！と＃┰O(shè)數(shù)列的各項均為非零的整數(shù)，其前項和為．設(shè)為正整數(shù)，若為正偶數(shù)時，都有恒成立，且，則的最小值為（

）A．0 B．22 C．26 D．31【答案】B【分析】不妨設(shè)，要使得取最小值，且各項盡可能小，根據(jù)題意，分別列出，，，，，，，滿足的不等式組，，得到的最小值，進(jìn)而求得時，有最小值，即可求解.【詳解】因為，所以互為相反數(shù)，不妨設(shè)，要使得取最小值，取奇數(shù)項為正值，取偶數(shù)項為負(fù)值，且各項盡可能小，由題意知，滿足，取的最小值為，則滿足，因為，故取的最小值，滿足，因為，，故取的最小值，同理，取的最小值，所以，滿足，取的最小值，滿足，因為，所以，取的最小值，滿足，因為，所以，取的最小值，同理，取的最小值，所以，所以，因為數(shù)列的各項均為非零的整數(shù)，，所以當(dāng)時，有最小值22．故選：B．二、多選題13．（2025·廣西河池·二模）已知數(shù)列滿足且，則下列說法正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列是周期數(shù)列C．是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列的通項公式為【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的遞推公式，依次計算判斷A；變形給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷BCD.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于BC，由，得，則，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，B錯誤，C正確；對于D，，則，解得，D正確.故選：ACD14．（2025·四川成都·三模）已知公差為1的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列，則（

）A．B．的前項和為C．的前8項和為D．的前50項和為【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等比中項列方程求解判斷A，由等差數(shù)列求和公式判斷B，利用裂項相消法求和判斷C，根據(jù)通項公式并項求和可判斷D.【詳解】對于A，因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，故A正確；對于B，的前項和為，故B正確；對于C，因為，所以的前8項和為，故C錯誤；對于D，因為，所以的前50項和為，故D正確.故選：ABD15．（2025·廣東茂名·二模）等差數(shù)列中，．記數(shù)列前項和為，下列選項正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公差為2 B．取最小值時，C． D．?dāng)?shù)列的前10項和為50【答案】AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式得關(guān)于的方程，解出，則得到，最后一一判斷選項即可.【詳解】對A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對B，，，則當(dāng)時，取最小值，故B錯誤；對C，，，則，故C錯誤；對D，數(shù)列的前10項和為，故D正確.故選：AD.16．（2025·湖北黃岡·三模）已知數(shù)列的前項和為，.則下列式子的值可以確定的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】推導(dǎo)出，，其中，的值不確定，然后利用分組求和法可判斷AB選項；利用并項求和法可判斷CD選項.【詳解】由題意得，，即，，所以，，，，可得，，由此可得數(shù)列中相鄰兩奇數(shù)項的和可以確定，相鄰兩偶數(shù)項的和可以確定，其中，的值不確定.對于A選項，，其中的值不確定，故選項A錯誤；對于B選項，，每一組數(shù)都可以確定，故選項B正確；對于D選項，，每一組數(shù)都可以確定，故選項D正確；對于C選項，因為，故，因為，每一組數(shù)都可以確定，則為定值，故選項C正確.故選：BCD.17．（2025·湖南長沙·三模）已知數(shù)列的前項和為，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．若是遞增數(shù)列，且、、成等差數(shù)列，則B．若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，則C．若，則存在數(shù)列，使得當(dāng)時，D．若，則存在數(shù)列，使得當(dāng)時，【答案】ABC【分析】由是遞增數(shù)列，先得到；再由成等差數(shù)列，，列出方程求出的值，即可得出結(jié)果，可判斷A選項；先由題中條件，得到，，推出，再由累加法，即可求出數(shù)列的通項公式，可判斷B選項；由，得到；討論或；或兩類情況，即可分別得出結(jié)論，可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，因為是遞增數(shù)列，所以．因為，所以，．又因為、、成等差數(shù)列，所以，即，即，解得或．當(dāng)時，，這與是遞增數(shù)列相矛盾，所以，A對；對于B選項，因為是遞增數(shù)列，則有，于是①因為，所以②由①、②得，，因此，即③又因為是遞減數(shù)列，則有，于是④因為，所以⑤由④、⑤得，，因此，即⑥由③、⑥可得．于是當(dāng)時，即．當(dāng)時，代入上式得，與已知條件相吻合．所以所求數(shù)列的通項公式是，，B對；對于CD選項，當(dāng)或時，存在數(shù)列，使得．此時數(shù)列滿足，，，則有，，即．當(dāng)或時，不存在數(shù)列，使得．理由如下：因為，所以；又因為為奇數(shù)，則當(dāng)時，為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以當(dāng)時，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因此，均不可能成立．于是當(dāng)或時，不存在數(shù)列，使得，C對D錯.故選：ACD.三、填空題18．（2025·廣東揭陽·三模）已知正項等比數(shù)列滿足，，，成等差數(shù)列，則其公比為.【答案】3【分析】由等差中項公式和等比數(shù)列通項公式直接計算即可求解.【詳解】設(shè)的公比為，又因為，，成等差數(shù)列，所以，可得，解得或（舍去）.故答案為：3.19．（2025·河南許昌·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，，，則．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為，根據(jù)已知條件求出、的值，再利用等比數(shù)列的求和公式化可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，當(dāng)時，，此時，與題意不符，所以，由題意可得，解得，由等比數(shù)列求和公式得．故答案為：.20．（2025·北京·三模）已知等比數(shù)列的前項和為，滿足，.則為；滿足的最小的整數(shù)為.【答案】【分析】將賦值可求得，即可求得；根據(jù)，及是等比數(shù)列可求得公比，求出，進(jìn)而解不等式即可求解.【詳解】，，當(dāng)時，，則，，；是等比數(shù)列，設(shè)公比為，，，令，則，化簡得，兩邊取自然對數(shù)并整理得，，故最小整數(shù)，當(dāng)時，，滿足條件.故答案為：；.21．（2025·浙江·二模）已知數(shù)列和滿足，，，，則.【答案】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的定義得出數(shù)列是等差數(shù)列；再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解【詳解】因為，，所以兩式相減可得：，即.所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故.故答案為：.22．（2025·天津·二模）數(shù)列的項是由1或2構(gòu)成，且首項為1，在第個1和第個1之間有個2，即數(shù)列為：.記數(shù)列的前項和為，則：.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列得到構(gòu)成，直接觀察1和2的個數(shù)，再求；觀察數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式，確定數(shù)列1和2的個數(shù)，再求和.【詳解】由條件可知，前20項有4個1，2的個數(shù)為個，所以數(shù)列的前20項的和為；前個1之間有個2，所以個1和個2的個數(shù)為，令，滿足條件的最大為，當(dāng)時，個數(shù)，第45個1后面有個2，所以故答案為：；23．（2025·遼寧大連·三模）等差數(shù)列的前項和為，已知，且，則取最大值時的值為.【答案】6【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，先證明數(shù)列是等差數(shù)列，由推出數(shù)列及單調(diào)遞減，即，借助的解析式及單調(diào)性推出即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以等差數(shù)列的前項和為，則，，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為.因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以，即，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減.因為數(shù)列單調(diào)遞減，所以，因為，，所以.因為等差數(shù)列單調(diào)遞減，且，所以，所以當(dāng)時，取最大值.故答案為：624．（2025·重慶·三模）對于數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有成立，則稱為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，若為有界數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用裂項求和法可求出，求出的取值范圍，結(jié)合有界數(shù)列的定義可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，因為，故數(shù)列為遞增數(shù)列，故，故，因為為有界數(shù)列，則，故，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.25．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）互素是指兩個自然數(shù)a和b的最大公因數(shù)為1．歐拉函數(shù)表示不大于且與n互素的正整數(shù)個數(shù)，若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為，則滿足的n的最大值為．【答案】10【分析】根據(jù)定義得，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式有，再由不等式能成立求n的最大值.【詳解】因為正偶數(shù)與不互素，正奇數(shù)與互素，所以不大于且與互素的正整數(shù)為所有不超過的正奇數(shù)，所以，則，令，解得，所以n的最大值為10．故答案為：1026．（2025·甘肅白銀·三模）若數(shù)列是有窮數(shù)列，且各項之和為0，各項的絕對值之和為1，則稱數(shù)列是“項優(yōu)待數(shù)列”.若等差數(shù)列是“項優(yōu)待數(shù)列”，，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列分，兩種情況討論，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式計算求解通項.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則

①，

②，所以，所以，所以，所以，當(dāng)時，由①②，得，所以，即，由，得，即，所以，，，當(dāng)時，同理可得，即，由，得，即，所以，，.綜上，.故答案為：四、解答題27．（2025·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若為遞增數(shù)列，，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出，，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)得，結(jié)合可求得通項；（2）根據(jù)單調(diào)性得出通項公式，再利用錯位相減法可求.【詳解】（1）因數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，同理可得，因，則，又，得，因數(shù)列為等比數(shù)列，則，解得，若，則，公比為，公差為；若，則，公比為，公差為，則或．（2）因為遞增數(shù)列，則，，則，則，，兩式相減得，．28．（2025·四川攀枝花·三模）已知數(shù)列的首項，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和；(3)令，求數(shù)列的最大項．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得；（3）由（2）可得，利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可求出最大項.【詳解】（1）因為，所以，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，所以，所以.（3）由（2）可得，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即，所以數(shù)列的最大項為；29．（2025·河南·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前20項和．【答案】(1)(2)4212【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項和公差，從而求得；（2）先求出，再利用分組求和法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，解得，所以．（2）因為，所以，故30．（2025·廣東廣州·三模）已知數(shù)列滿足，，且對任意的，，都有.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其的通項公式；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)若，求的前n項和.【答案】(1)證明見解析，(2)(3)【分析】（1）由先求，根據(jù)等差數(shù)列的定義驗證是否為不變的常數(shù)即可驗證；（2）由（1）有，利用累加法即可求解；（3）由有，利用裂項相消法即可求解.【詳解】（1）由有，所以，又，，解得，又因為，即，所以數(shù)列是以公差為3，首項為的等差數(shù)列，所以，（2）由（1）有，所以，上式相加有，所以，所以；（3）由（2）有，所以，所以，所以.31．（2025·河北秦皇島·一模）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知是公比為2的等比數(shù)列．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求的通項公式以及；(3)設(shè)，若，，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義求得，再利用前n項和與第n項的關(guān)系推理得證；（2）利用（1）的信息即可求出，；（3）求出并求出其最大項，建立不等式求解．【詳解】（1）證明：由已知可得，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則，即，①則，②②①得：，即，可得，又，是等比數(shù)列．（2）由（1）知，則．（3）由，且，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，若，則，若，則，可得，因此數(shù)列的最大項為，由，，得，即，整理得，則，即，的取值范圍是．32．（2025·廣東廣州·三模）已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令，去掉數(shù)列中的第項，余下的項順序不變，構(gòu)成新數(shù)列，寫出數(shù)列的前4項并求的前項和；【答案】(1)；(2)3，9，81，243；【分析】（1）由等比中項和等差中項的性質(zhì)，及等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)果；（2）由分組求和法計算.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得：，又，，解得，所以，；（2）由（1）得，去掉第項后，前4項依次為3，9，81，243，，綜上，.33．（2025·湖南長沙·三模）已知數(shù)列，，記集合的元素個數(shù)為.(1)若為1，2，4，8，12，寫出集合，并求的值；(2)若為1，3，a，b，且，求和集合；(3)若數(shù)列項數(shù)為，滿足，求證：“”的充要條件是“為等比數(shù)列”.【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的定義，計算出所有即可.（2）結(jié)合集合的性質(zhì)，可得，解出即可.（3）根據(jù)給定的定義，分別證明命題成立的充分條件和必要條件即可.【詳解】（1）集合，.（2）由為1，3，，，當(dāng)之一為2時，不妨令，則互不相等，是集合中元素，又，則，，解得，不符合題意，則必有，得，，互不相等，則3，，都是集合中的元素，又，則，解得，，因此為1，3，9，27，所以.（3）充分性：若是遞增的等比數(shù)列，設(shè)的公比為，當(dāng)時，，所以，且，故充分性成立；必要性：若是遞增數(shù)列，且，則，于是，且互不相等，又，則，且互不相等，因此，，從而，所以為等比數(shù)列，故必要性成立，綜上，“”的充要條件是“為等比數(shù)列”.34．（2025·天津·三模）已知數(shù)列和的滿足，(1)（i）求的值；（ii）求的值.(2)若數(shù)列滿足對于，求證：，使得．【答案】(1)（i）;（ii）(2)證明見解析【分析】（1）（i）通過將兩遞推式相加找到與的關(guān)系，進(jìn)而求出；（ii）通過兩遞推式相減找到與的關(guān)系，再結(jié)合平方差公式求出；（2）根據(jù)得到的范圍，再利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）（i）已知，，將兩式相加可得：，又，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得.所以.（ii）將與兩式相減可得：即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.所以.由平方差公式，則設(shè)①則②①-②得：所以則.（2）因為，所以.由，，可得，.則.設(shè)③則④③-④得：所以.則.當(dāng)足夠大時，會大于2025，所以，使得35．（2025·山東臨沂·三模）定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)項增數(shù)列”.(1)若，，判斷數(shù)列，是否為“數(shù)項增數(shù)列”？(2)若等差數(shù)列為“數(shù)項增數(shù)列”，且，求的公差的取值范圍；(3)若數(shù)列為共4項的“數(shù)項增數(shù)列”，滿足，求所有滿足條件的數(shù)列的個數(shù).【答案】(1)是，不是；(2)；(3)31.【分析】（1）由的單調(diào)性判斷，對數(shù)列舉例說明判斷.（2）利用定義列式，取特值求出范圍，再就一般情況分類判斷即可.（3）根據(jù)給定的定義，再分類推理計算判斷..【詳解】（1）對于數(shù)列，，則隨的增大而增大，即恒成立，因此數(shù)列是“數(shù)項增數(shù)列”；對于數(shù)列，，，有，所以數(shù)列不是“數(shù)項增數(shù)列”.（2）依題意，設(shè)，則，由等差數(shù)列為“數(shù)項增數(shù)列”，得對恒成立，即，當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，隨的增大而增大，則，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，，隨的增大而增大，則，所以的公差的取值范圍是.（3）由，得最小值為0，最大值為5，①若，則，，若，則或，，或，此時，，因此數(shù)列的個數(shù)為；若，則，或，當(dāng)時，，或，此時或；當(dāng)時，或，此時，，因此數(shù)列的個數(shù)為；若，則，或或，當(dāng)時，，此時，，當(dāng)時，，或，此時或，當(dāng)時，或，此時，，因此數(shù)列的個數(shù)為；②若，則，，由①得數(shù)列的個數(shù)為；③若，則，，則，，，，，因此數(shù)列的個數(shù)為，所以所有滿足條件的數(shù)列的個數(shù)是.36．（2025·天津·二模）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.對于任意，在和之間插入k個數(shù)，，…，，使得，，，…，，這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記新得到的數(shù)列為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，證明對于任意的，；(3)求（其中）.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助等比中項求出公比，進(jìn)而求出通項公式.（2）求出插入?yún)^(qū)間內(nèi)項后的等差數(shù)列公差，再按數(shù)列的相鄰3項在同一等差數(shù)列內(nèi)和在相鄰兩個等差數(shù)列內(nèi)分類證明.（3）求出數(shù)列中項及前面的項數(shù)和，再利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式及錯位相減法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因為數(shù)列是各項均為正數(shù)，故，，因為，，所以，解得，而，則公比，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得等差數(shù)列的公差，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，則，，，因此，所以.（3）依題意，在內(nèi)的數(shù)列的所有項和為，數(shù)列中，項及前面的項數(shù)和為，當(dāng)時，令，則，兩式相減得，解得，而，因此，當(dāng)時，滿足上式，所以.專題07數(shù)列一、單選題1．（2025·全國二卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項和公差d的方程求出首項和公差d，再由等差數(shù)列前n項和公式即可計算求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題可得，所以.故選：B.2．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．18【答案】C【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：C.3．（2025·天津·高考真題），則數(shù)列的前項和為（

）A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C【分析】先由題設(shè)結(jié)合求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合數(shù)列各項正負(fù)情況即可求解.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，令，，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的前項和為數(shù)列的前項和為.故選：C4．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點恒在線段上，則有.即對任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故至多個零點，又由，可知存在個零點，不妨設(shè)，且.①若，即時，此時或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時，此時.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.二、多選題5．（2025·全國二卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式得到方程組，解出，再利用其通項公式和前項和公式一一計算分析即可.【詳解】對A，由題意得，結(jié)合，解得或（舍去），故A正確；對B，則，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，，則，故D正確；故選：AD.三、填空題6．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知等差數(shù)列的首項，公差，則該數(shù)列的前6項和為．【答案】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，.故答案為：7．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為.【答案】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前項和的定義，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項和性質(zhì)得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，當(dāng)時，，即，則，顯然不成立，舍去；當(dāng)時，則，兩式相除得，即，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：.法二：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，所以，，所以，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法三：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，因為，又，所以，所以，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.四、解答題8．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題目所給條件化簡，即可證明結(jié)論；（2）先求出的通項公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項和得出導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意證明如下，，在數(shù)列中，，，∴，即，∴是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，首項為3，公差為1，∴，即，在中，，∴，當(dāng)且時，∴，∴∴.9．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，由題設(shè)列出關(guān)于d和的方程求解，再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項公式即可得解；（2）（i）由題意結(jié)合（1）求出和的最大值，再作差比較兩者大小即可證明；（ii）法一：根據(jù)中全為1、一個為0其余為1、2個為0其余為、…、全為0幾個情況將中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解；法二：根據(jù)元素的特征得到中的所有元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，則由題得，所以；（2）（i）證明：由（1）或，，當(dāng)時，設(shè)，所以，所以，所以，為中的最大元素，此時恒成立，所以對，均有.（ii）法一：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得中的所有元素由以下系列中所有元素組成：當(dāng)均為1時：此時該系列元素只有即個；當(dāng)中只有一個為0，其余均為1時：此時該系列的元素有共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中只有2個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中有個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；…當(dāng)中有個為0，1個為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)均為0時：此時該系列的元素為即個，綜上所述，中的所有元素之和為；法二：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得，所以的所有的元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以中的所有元素之和為.一、單選題1．（2025·陜西漢中·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．30 B．40 C．60 D．120【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因為為等差數(shù)列，故，故選：C.2．（2025·江蘇南通·三模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．36 B． C． D．6【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】等比數(shù)列中，，，，由于故，所以，故選：D．3．（2025·山東青島·三模）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個人分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)第所得錢數(shù)為錢，設(shè)數(shù)列、、、、的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的值，即可求得的值.【詳解】設(shè)第所得錢數(shù)為錢，則數(shù)列、、、、為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列、、、、的公差為，則，解得，故.故選：C4．（2025·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的公差，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，將、用和表示出來，再代入已知等式求解.【詳解】由等差數(shù)列通項公式可得：，已知，所以；.將，代入可得：，則，化簡可得：，解得或.因為已知公差，所以舍去，得到.故選：B.5．（2025·遼寧大連·三模）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．16 B．32 C．27 D．81【答案】C【分析】應(yīng)用，再結(jié)合等比數(shù)列基本量運算計算求解.【詳解】因為，則，所以，因為，所以，所以或舍，所以.故選：C.6．（2025·湖南岳陽·三模）已知為正項等比數(shù)列的前項和，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，再結(jié)合題干條件，利用等比數(shù)列求和公式，得到關(guān)于的一元二次方程，解出公比即得的值.【詳解】由題意，設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，其中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，由題干可得，即，若，則，不合題意，故，所以，解得或（舍去），故.故選：C.7．（2025·北京海淀·三模）漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡．對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲．如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如表所示：出生時間1965年1月－4月1965年5月－8月1965年9月－12月1966年1月－4月…新方案法定退休年齡60歲1個月60歲2個月60歲3個月60歲4個月…那么1970年5月出生的男職工退休年齡為（

）A．61歲4個月 B．61歲5個月C．61歲6個月 D．61歲7個月【答案】B【分析】解法一：出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年齡記為，，分析可知數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列，求出該數(shù)列的首項和公差，即可求出，即可得解；解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個月，可得結(jié)果.【詳解】解法一：根據(jù)題意，出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年齡記為，出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年齡記為，，則構(gòu)成等差數(shù)列，首項歲1個月，公差為1個月，可得歲個月．依此規(guī)律，1970年5月出生的男職工，他的退休年齡應(yīng)該是的第17項，即他的退休年齡為歲17個月歲5個月．解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個月．出生年齡退休年齡1965.560歲2個月1966.560歲5個月1967.560歲8個月1968.560歲11個月1969.561歲2個月1970.561歲5個月故選：B.8．（2025·山東臨沂·三模）在數(shù)列中，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出即可求解.【詳解】依題意，，則，而，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，，所以當(dāng)時，.故選：B.9．（2025·河南三門峽·三模）已知數(shù)列的前n項和是，若，，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系，分別令，，解方程可得所求值．【詳解】數(shù)列的前n項和是，若，，則當(dāng)時，，兩式相減可得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得故選：D.10．（2025·江蘇蘇州·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的遞推公式，變形計算判斷AB；裂項，結(jié)合累加法求通推理判斷CD.【詳解】對于A，由，得，，則，A錯誤；對于B，由，得，當(dāng)時，，B錯誤；對于CD，由，得，則，即，則當(dāng)時，，，因此，，，，而，C正確，D錯誤.故選：C11．（2025·重慶·三模）數(shù)列滿足又則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出前12項，觀察奇偶項規(guī)律可得，奇數(shù)項構(gòu)成首項為1公差為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成首項為1公差為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】因為數(shù)列滿足，且，，，所以；；；；；；；；；觀察奇偶項規(guī)律：奇數(shù)項：，構(gòu)成首項為1公差為1的等差數(shù)列，令，則，通項公式為；偶數(shù)項：，構(gòu)成首項為1公差為的等差數(shù)列，令，則，通項公式為，通項公式為，，選項AB錯誤；，選項C正確，選項D錯誤.故選：C.12．（2025·上?！と＃┰O(shè)數(shù)列的各項均為非零的整數(shù)，其前項和為．設(shè)為正整數(shù)，若為正偶數(shù)時，都有恒成立，且，則的最小值為（

）A．0 B．22 C．26 D．31【答案】B【分析】不妨設(shè)，要使得取最小值，且各項盡可能小，根據(jù)題意，分別列出，，，，，，，滿足的不等式組，，得到的最小值，進(jìn)而求得時，有最小值，即可求解.【詳解】因為，所以互為相反數(shù)，不妨設(shè)，要使得取最小值，取奇數(shù)項為正值，取偶數(shù)項為負(fù)值，且各項盡可能小，由題意知，滿足，取的最小值為，則滿足，因為，故取的最小值，滿足，因為，，故取的最小值，同理，取的最小值，所以，滿足，取的最小值，滿足，因為，所以，取的最小值，滿足，因為，所以，取的最小值，同理，取的最小值，所以，所以，因為數(shù)列的各項均為非零的整數(shù)，，所以當(dāng)時，有最小值22．故選：B．二、多選題13．（2025·廣西河池·二模）已知數(shù)列滿足且，則下列說法正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列是周期數(shù)列C．是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列的通項公式為【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的遞推公式，依次計算判斷A；變形給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷BCD.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于BC，由，得，則，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，B錯誤，C正確；對于D，，則，解得，D正確.故選：ACD14．（2025·四川成都·三模）已知公差為1的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列，則（

）A．B．的前項和為C．的前8項和為D．的前50項和為【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等比中項列方程求解判斷A，由等差數(shù)列求和公式判斷B，利用裂項相消法求和判斷C，根據(jù)通項公式并項求和可判斷D.【詳解】對于A，因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，故A正確；對于B，的前項和為，故B正確；對于C，因為，所以的前8項和為，故C錯誤；對于D，因為，所以的前50項和為，故D正確.故選：ABD15．（2025·廣東茂名·二模）等差數(shù)列中，．記數(shù)列前項和為，下列選項正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公差為2 B．取最小值時，C． D．?dāng)?shù)列的前10項和為50【答案】AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式得關(guān)于的方程，解出，則得到，最后一一判斷選項即可.【詳解】對A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對B，，，則當(dāng)時，取最小值，故B錯誤；對C，，，則，故C錯誤；對D，數(shù)列的前10項和為，故D正確.故選：AD.16．（2025·湖北黃岡·三模）已知數(shù)列的前項和為，.則下列式子的值可以確定的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】推導(dǎo)出，，其中，的值不確定，然后利用分組求和法可判斷AB選項；利用并項求和法可判斷CD選項.【詳解】由題意得，，即，，所以，，，，可得，，由此可得數(shù)列中相鄰兩奇數(shù)項的和可以確定，相鄰兩偶數(shù)項的和可以確定，其中，的值不確定.對于A選項，，其中的值不確定，故選項A錯誤；對于B選項，，每一組數(shù)都可以確定，故選項B正確；對于D選項，，每一組數(shù)都可以確定，故選項D正確；對于C選項，因為，故，因為，每一組數(shù)都可以確定，則為定值，故選項C正確.故選：BCD.17．（2025·湖南長沙·三模）已知數(shù)列的前項和為，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．若是遞增數(shù)列，且、、成等差數(shù)列，則B．若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，則C．若，則存在數(shù)列，使得當(dāng)時，D．若，則存在數(shù)列，使得當(dāng)時，【答案】ABC【分析】由是遞增數(shù)列，先得到；再由成等差數(shù)列，，列出方程求出的值，即可得出結(jié)果，可判斷A選項；先由題中條件，得到，，推出，再由累加法，即可求出數(shù)列的通項公式，可判斷B選項；由，得到；討論或；或兩類情況，即可分別得出結(jié)論，可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，因為是遞增數(shù)列，所以．因為，所以，．又因為、、成等差數(shù)列，所以，即，即，解得或．當(dāng)時，，這與是遞增數(shù)列相矛盾，所以，A對；對于B選項，因為是遞增數(shù)列，則有，于是①因為，所以②由①、②得，，因此，即③又因為是遞減數(shù)列，則有，于是④因為，所以⑤由④、⑤得，，因此，即⑥由③、⑥可得．于是當(dāng)時，即．當(dāng)時，代入上式得，與已知條件相吻合．所以所求數(shù)列的通項公式是，，B對；對于CD選項，當(dāng)或時，存在數(shù)列，使得．此時數(shù)列滿足，，，則有，，即．當(dāng)或時，不存在數(shù)列，使得．理由如下：因為，所以；又因為為奇數(shù)，則當(dāng)時，為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以當(dāng)時，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因此，均不可能成立．于是當(dāng)或時，不存在數(shù)列，使得，C對D錯.故選：ACD.三、填空題18．（2025·廣東揭陽·三模）已知正項等比數(shù)列滿足，，，成等差數(shù)列，則其公比為.【答案】3【分析】由等差中項公式和等比數(shù)列通項公式直接計算即可求解.【詳解】設(shè)的公比為，又因為，，成等差數(shù)列，所以，可得，解得或（舍去）.故答案為：3.19．（2025·河南許昌·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，，，則．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為，根據(jù)已知條件求出、的值，再利用等比數(shù)列的求和公式化可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，當(dāng)時，，此時，與題意不符，所以，由題意可得，解得，由等比數(shù)列求和公式得．故答案為：.20．（2025·北京·三模）已知等比數(shù)列的前項和為，滿足，.則為；滿足的最小的整數(shù)為.【答案】【分析】將賦值可求得，即可求得；根據(jù)，及是等比數(shù)列可求得公比，求出，進(jìn)而解不等式即可求解.【詳解】，，當(dāng)時，，則，，；是等比數(shù)列，設(shè)公比為，，，令，則，化簡得，兩邊取自然對數(shù)并整理得，，故最小整數(shù)，當(dāng)時，，滿足條件.故答案為：；.21．（2025·浙江·二模）已知數(shù)列和滿足，，，，則.【答案】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的定義得出數(shù)列是等差數(shù)列；再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解【詳解】因為，，所以兩式相減可得：，即.所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故.故答案為：.22．（2025·天津·二模）數(shù)列的項是由1或2構(gòu)成，且首項為1，在第個1和第個1之間有個2，即數(shù)列為：.記數(shù)列的前項和為，則：.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列得到構(gòu)成，直接觀察1和2的個數(shù)，再求；觀察數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式，確定數(shù)列1和2的個數(shù)，再求和.【詳解】由條件可知，前20項有4個1，2的個數(shù)為個，所以數(shù)列的前20項的和為；前個1之間有個2，所以個1和個2的個數(shù)為，令，滿足條件的最大為，當(dāng)時，個數(shù)，第45個1后面有個2，所以故答案為：；23．（2025·遼寧大連·三模）等差數(shù)列的前項和為，已知，且，則取最大值時的值為.【答案】6【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，先證明數(shù)列是等差數(shù)列，由推出數(shù)列及單調(diào)遞減，即，借助的解析式及單調(diào)性推出即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以等差數(shù)列的前項和為，則，，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為.因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以，即，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減.因為數(shù)列單調(diào)遞減，所以，因為，，所以.因為等差數(shù)列單調(diào)遞減，且，所以，所以當(dāng)時，取最大值.故答案為：624．（2025·重慶·三模）對于數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有成立，則稱為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，若為有界數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用裂項求和法可求出，求出的取值范圍，結(jié)合有界數(shù)列的定義可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，因為，故數(shù)列為遞增數(shù)列，故，故，因為為有界數(shù)列，則，故，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.25．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）互素是指兩個自然數(shù)a和b的最大公因數(shù)為1．歐拉函數(shù)表示不大于且與n互素的正整數(shù)個數(shù)，若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為，則滿足的n的最大值為．【答案】10【分析】根據(jù)定義得，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式有，再由不等式能成立求n的最大值.【詳解】因為正偶數(shù)與不互素，正奇數(shù)與互素，所以不大于且與互素的正整數(shù)為所有不超過的正奇數(shù)，所以，則，令，解得，所以n的最大值為10．故答案為：1026．（2025·甘肅白銀·三模）若數(shù)列是有窮數(shù)列，且各項之和為0，各項的絕對值之和為1，則稱數(shù)列是“項優(yōu)待數(shù)列”.若等差數(shù)列是“項優(yōu)待數(shù)列”，，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列分，兩種情況討論，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式計算求解通項.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則

①，

②，所以，所以，所以，所以，當(dāng)時，由①②，得，所以，即，由，得，即，所以，，，當(dāng)時，同理可得，即，由，得，即，所以，，.綜上，.故答案為：四、解答題27．（2025·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若為遞增數(shù)列，，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出，，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)得，結(jié)合可求得通項；（2）根據(jù)單調(diào)性得出通項公式，再利用錯位相減法可求.【詳解】（1）因數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，同理可得，因，則，又，得，因數(shù)列為等比數(shù)列，則，解得，若，則，公比為，公差為；若，則，公比為，公差為，則或．（2）因為遞增數(shù)列，則，，則，則，，兩式相減得，．28．（2025·四川攀枝花·三模）已知數(shù)列的首項，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和；(3)令，求數(shù)列的最大項．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得；（3）由（2）可得，利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可求出最大項.【詳解】（1）因為，所以，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，所以，所以.（3）由（2）可得，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即，所以數(shù)列的最大項為；29．（2025·河南·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前20項和．【答案】(1)(2)4212【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項和公差，從而求得；（2）先求出，再利用分組求和法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，解得，所以．（2）因為，所以，故30．（2025·廣東廣州·三模）已知數(shù)列滿足，，且對任意的，，都有.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其的通項公式；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)若，求的前n項和.【答案】(1)證明見解析，(2)(3)【分析】（1）由先求，根據(jù)等差數(shù)列的定義驗證是否為不變的常數(shù)即可驗證；（2）由（1）有，利用累加法即可求解；（3）由有，利用裂項相消法即可求解.【詳解】（1）由有，所以，又，，解得，又因為，即，所以數(shù)列是以公差為3，首項為的等差數(shù)列，所以，（2）由（1）有，所以，上式相加有，所以，所以；（3）由（2）有，所以，所以，所以.31．（2025·河北秦皇島·一模）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知是公比為2的等比數(shù)列．(1)證明：