21.2二次根式的乘除【知識梳理】知識點(diǎn)一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1.乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：

(1).在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).

(2).該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算：≥0，≥0，…..≥0）.

(3).若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.2.積的算術(shù)平方根:

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進(jìn)行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.

知識點(diǎn)二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.。

要點(diǎn)詮釋：

(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.

(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

要點(diǎn)詮釋：

運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用時仍要注意符號問題.

知識點(diǎn)三、最簡二次根式

（1）被開方數(shù)不含有分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.【精講精練】考點(diǎn)1:二次根式的乘除法【典例分析01】（2022春?牟平區(qū)期中）若成立，則m的值可以是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．5【思路引導(dǎo)】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行分析即可．【規(guī)范解答】解：∵成立，∴m+3≥0，4﹣m＞0，解得m≥﹣3，m＜4，即﹣3≤m＜4，故符合的只有2．故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意義的條件，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【典例分析02】（2022秋?寧強(qiáng)縣期末）計算×的結(jié)果是2．【思路引導(dǎo)】利用二次根式的乘法公式，直接計算即可．【規(guī)范解答】解：原式＝＝＝2．故答案為：2．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二次根式的乘法，題目比較簡單，掌握×＝是解決本題的關(guān)鍵．【隨堂演練01】（2022春?牟平區(qū)期中）（1）把根式化成最簡二次根式．（2）計算：．【隨堂演練02】（2022春?寧武縣期末）計算：（1）；（2）．考點(diǎn)2：分母有理化【典例分析03】（2022春?廣西月考）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】根據(jù)倒數(shù)的定義解答即可．【規(guī)范解答】解：+1的倒數(shù)是＝﹣1．故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是實(shí)數(shù)，熟知倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【典例分析04】（2022秋?徐匯區(qū)期末）計算：＝．【思路引導(dǎo)】分子分母同乘以﹣，再化簡即可．【規(guī)范解答】解：＝＝．故答案為：．【考察注意點(diǎn)】主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號和絕對值相同，另一項(xiàng)符號相反絕對值相同．【隨堂演練03】（2022春?乳山市期末）【材料閱讀】把分母中的根號化去，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．例如：化簡．解：．上述化簡的過程，就是進(jìn)行分母有理化．【問題解決】（1）化簡的結(jié)果為：2+；（2）猜想：若n是正整數(shù)，則進(jìn)行分母有理化的結(jié)果為：﹣；（3）若有理數(shù)a，b滿足，求a，b的值．【隨堂演練04】（2022春?香河縣期中）若M，N分別代表兩個多項(xiàng)式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．（1）求多項(xiàng)式M和N．（2）當(dāng)a＝+1，b＝﹣1時，求分式的值．考點(diǎn)3：同類二次根式【典例分析05】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行，或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項(xiàng)式時要先因式分解后再觀察．【規(guī)范解答】解：A、＝2，與不是同類二次根式；B、與不是同類二次根式；C、與是同類二次根式，正確；D、與不是同類二次根式；故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題考查了最簡二次根式的定義．在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．【典例分析06】（2022春?澗西區(qū)期中）下列二次根式中，與可以合并的是（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、＝＝2，與不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；B、＝，與可以合并，本選項(xiàng)符合題意；C、＝＝3，與不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；D、＝＝，與不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是同類二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．【隨堂演練05】（2022秋?寧