專題24.4圓周角、圓內(nèi)接四邊形【十大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1圓周角的運用】.........................................................................2

【題型2圓內(nèi)接四邊形的運用】..................................................................6

【題型3利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值】................................................................II

【題型4利用圓的有關(guān)性質(zhì)進行證明】...........................................................16

【題型5翻折中的圓的有關(guān)性質(zhì)的運用】.........................................................24

【題型6利用圓的有關(guān)性質(zhì)求最值】.............................................................30

【題型7利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】.........................................................35

【題型8利用圓的有關(guān)性質(zhì)探究角或線段間的關(guān)系】...............................................39

【題型9利用圓的有關(guān)性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】.....................................................47

【題型10構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】........................................54

，舉一反三

【知識點1圓周角定理及其推論】

ZAO8是檢所對的圓心角，

定理：圓周角的度數(shù)等于它所/C是翁所對的圓周角，

對的弧的圓心角度數(shù)

/.ZC=-ZAOfi

的一半耳2

ZC和ZD都是公所對的圓周

惘角

周

角推論1:同弧或等弧所對的圓ZC=ZD

定周角相等

理

???A8是的直徑

CNC是翁所對的圓周角

推論2：直徑所對的圓周角是/.ZC=90°

直角，90。的圓周角NC是令所對的圓周角

所對的弦是直徑ZC=90°

/.AB是。。的直徑

【題型1圓周角的運用】

【例1】（2023春.山東泰安?九年級東平縣實驗中學(xué)校考期末）如圖，。。的直徑是力從LBPQ=45°,圓的

半徑是4,則弦8Q的長是（）.

A.4V3B.4V2C.2KD.272

【答案】B

【分析】如圖：連接4Q,由圓周角定理可得28AQ=乙BPQ=45。、LAQB=90°,然后再說明4Q=QB,最

后根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】解：如圖：連接4Q，

?:2BPQ=45°,

：.LBAQ=Z.BPQ=45°,

???0。的直徑是48,圓的半徑是4,

：,LAQB=90°,AB=8

：./.ABQ=90°-Z.QAB=45°,

：,LABQ=乙QAB=45°,

：.AQ=QB,

*：AB=y/AQ2+BQ2=J28Q2,

A8=y/2BQ2,解得：BQ=4版

故選B.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用勾股定理成

為解答本題的關(guān)鍵.

【變式1-11（2023春?廣西玉林?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△力BC中，AB為。。的直徑，已知A8=4,CO=1,

【答案】/13

【分析】連接80,先由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)直徑所對圓周角為直角，進而求出4/8。=

30%即有40=：48=2,靈活運用勾股定理即可作答.

【詳解】解.：連接8。，如圖，

???在A/IBC中，48=55°,ZC=65°,

Az/1=60°,

T45為0。的直徑，

：.AADB=乙CDB=90°,

，在△A8Z）中，Z.ABD=30°,

'：AB=4,

：.AD=-AB

2=2,

???在中，BC=\/CD2+BD2=V13,

故答案為：/13.

【點睛】此題主要考查了圓周角定理，勾股定理，含30。角直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理

是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023春?江西九江?九年級?？计谥校┤鐖D,△斐BC內(nèi)接于團。,AC=BC,連接。8,若乙C=52。,

則,08C的度數(shù)為.

A

【答案】26726J8

【分析】延長B。交0。于點E,連接CE,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得=90。，從而可得乙EC4=

48°,進而利用同弧所對的圓周角相等可得Z_EC71=乙EBA=48。，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角

和定理可得//1二乙/1鳳？=64。，從而利用三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可解答.

【詳解】解：延長8。交。。于點￡,連接CE,如圖，

「BE是。。的直徑,

"ECB=90°,

*：Z.ACB=52°,

：.LECA=乙ECB-Z.ACB=38°,

：.LEBA=Z.ECA=38°,

:AC=BC,

=/.ABC=-（180°—44c6）=64°,

2

：.LOBC=乙ABC-/-ABE=64°-38°=26°,

故答案為：26°.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023春?湖北省直轄縣級單位?九年級統(tǒng)考期末）如圖，＜8為半圓的直徑，48=10,點。到弦

江的距離為4,點P從出發(fā)沿84方向向點4以每秒1個單位長度的速度運動，連接CP,當(dāng)△力PC為等腰三角

形時，點P運動的時間是（）

【答案】D

【分析】過點。作00_LAC于點。，根據(jù)垂徑定理，以及勾股定理求得4。的長，然后分三種情形討論，分別

求得P8的長，即可求解.

?\AD=DC,

在RtUDO中，40=5,00=4,

：.AD=7Ao2-DO?=3,

：,AC=2AD=6,

①當(dāng)CP=G1時，如圖，過點。作CE_L718于點從連接BC,

??78是直徑,

：.LACB=90°,

是4。的中點，。是48的中點,

：.BC=20D=8

yShABC=-AC-BC=-AB-CE,

.ACXBC6x824

??C￡=---------=------=—，

AB105

在ACE中，AE=y/AC2-CE2=

*：AE=PE,

=AB-2AE=^,

②當(dāng)PA=PC時，則點P在力C的垂直平分線上，所以點P與點。重合，PB=5,此時￡=5(s)；

③當(dāng)4P=4C=6時，PB=AB-AP=4,此時t=4(s),

綜上所述，t=￡或4或5,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，勾股定理，垂徑定理、等腰三角形的判定，綜合運用以上知識是解

題的關(guān)鍵.

【知識點2圓內(nèi)接四邊形】

四邊形ABCD是一O的內(nèi)接四邊形

.二ZB+ZD=180°

圓的內(nèi)接四邊形對角互補ZBAD+ZC=180°

aNC=NDAE

【題型2圓內(nèi)接四邊形的運用】

【例2】(2023春.浙江衢州.九年級校聯(lián)考期中)如圖，在中，AB=AC.0。是△ABC的外接圓，D為

弧4C的中點，E為延長線上一點.

(2)若乙ACD=35°,求匕ZME的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)LDAE=105°

【分折】(1)證明/1￡=2肪，可得乙。=2乙4C。；

（2）先求解ZJ?=70。，可得乙員:。=70。+35。=105。，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】（1）解：為弧AC的中點，

，布=②，布=2m

/.zfi=2z.ACDi

（2）,Jz-ACD=35°,乙B=2乙ACD,

.,,^=2x35°=70°,

VAB=AC,

：.LB=Z,ACB=70°,

，乙BCD=70°+35°=105°,

???四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形，

：.^BAD=180°-乙BCD=75°,

：.^EAD=1800—75°=105°.

【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熱記圓周角定理與

圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023春?陜西西安?九年級高新一中?？计谥校┤鐖D，四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，RE是

。0的直徑，連接4E,若乙BCD二2乙BAD,若連接OD,則4DOE的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到4BCD+N8/1D=180。，進而得到乙840=60。，再根據(jù)圓周角定理得

到，80。=120°,即可求出匕OOE的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形48co是O。的內(nèi)接四邊形，

???ZBCD+乙BAD=180°,

?:乙BCD=2Z.BAD,

???乙BAD=60°,

乙BOD=120°,

???/DOE=180°-乙BOD=60°,

故選D.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握內(nèi)接四邊形的對角互補，以及一條弧所對

的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023春?浙江?九年級期中）如圖，。。的內(nèi)接四邊形4BCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F,

若乙E=a,zF=且aHR,則乙4=（用含有a、的代數(shù)式表示）.

E

【分析】連接E凡如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NECD=N4再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得“CO=zl+Z2,

Wijz/l=Z1+N2,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有乙力+4AEB+LAFD+Z.1+Z2=180。,即2乙4+a+0=

180°,再解方程即可.

【詳解】解：連接E凡如圖，

???四邊形48CD為圓的內(nèi)接四邊形，

.\LECD=乙4,

VzECD=zl+Z2,

z/l=41+匕2,

*：LA+Z.AEB+Z.AFD++匕2=180°,

：.2z.A+a+p=180°,

.??”=0小

2

故答案為:i800-a-/?

【點晴】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)

系的重要依據(jù)?，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來.在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互

補.

【變式2-3］（2023春?遼寧大連?九年級統(tǒng)考期末）如圖，以。的邊A8為直徑作。。交AC于。且ODIIBC,

0U交段:于點

（1）求證：CD=DE；

（2）若AB=12,AD=4,求CE的長度.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由四邊形A8ED內(nèi)接于。。，得出乙0四=44，根據(jù)已知0。|田。，得出“=Z.AD0,又。力=0D,

得出乙1=乙4。。，等量代換得出ZT=4OEC,根據(jù)等角對等邊，即可得證；

（2）根據(jù)AB為直徑，得出NAE8=90。，根據(jù)已知以及（1）的結(jié)論，得出AC=24。=8,AB=BC=12,

設(shè)CE=x,則BE=12-x,^Rt^ACE.Rt^ABE^,根據(jù)AE相等，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可

求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形48ED內(nèi)接于O。，

：.LDEB-^Z.A=180°,

又4EB+乙DEC=180°

:.乙DEC=乙4,

yODWBC,

'?LC=Z.ADO,

'：0A=OD,

/.LA=Z.ADO,

*.LC=乙DEC,

:.CD=DE；

（2）解：如圖所示，連接力E,

J.LAEB=90%

：,^CAE4-zC=90°,Z.AED+乙DEC=90°,

由（1）CD=DE,zC=乙DEC,

：.LCAE=44EO,

,\AD=DE,

*.AD=DC?

:.AC=2AD=8,

由（1）可得4艮4C=乙40。，乙。二乙4。。，

則乙C=4BAC,

:,AB=BC=12,

設(shè)CE=x,則BE=12一%,

,：AC2-CE2=AB2-BE2,

.\82-X2=122-（12-X）2,

解得：％=g,

：,CE=-.

3

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判

定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

【題型3利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值】

【例3】（2023春?四川德陽?九年級四川省德陽中學(xué)校校考期中）如圖，在△ABC中，乙4c8=90。，過8,C兩

點的O0交AC于點。，交AB于點E,連接EO并延長交。。于點F.連接B9,CF,若4EDC=135。，AE=2,

BE=4,則CT的值為（）.

A.9B.2V2C.2A/3D.3

【答案】A

【分析】由四邊形BCDE內(nèi)接于。O知NEFC=NABC=45。，據(jù)此得AC=BC,由EF是。O的直徑知

/EBF=/ECF=/ACB=90。及/BCF=NACE,再根據(jù)四邊形BECF是。O的內(nèi)接四邊形知NAEC=NBFC,

從而證△ACEgZXBCF得AE=BF,根據(jù)RlAECF是等腰直角三角形知EF2=20,繼而可得答案.

【詳解】???四邊形BCDE內(nèi)接于。0,且4EDC=135。,

：.AEFC=/.ABC=180。一/.EDC=45。，

*：LACB=90°,

???AABC是等腰三角形，

:.AC—BC,

又*任尸是0。的直徑，

工乙EBF=Z.ECF=Z.ACB=90°,

：.LBCF=Z-ACE,

???四邊形8EY而是。。的內(nèi)接四邊形，

：,LAEC=乙BFC,

：,LACE三△8FCQ4S70，

：,AE=BF,

Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2=BE2+AE2=42+22=20,

Rt&ECF中,MFC=45。,

：,CE=CF,

ACE2+CF2=2CF2=EF2=20,

：.CF2=10,

ACF=V1O,

故選:A.

【點睛】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判

定與性質(zhì)及勾股定理.

【變式3-1］（2023春?湖南長沙?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。0中，0418（；,Z,B=50%則/D的度數(shù)為（）

B.50°C.40°D.25°

【答案】A

【分析】連接。。，利用垂徑定理，圓周角定理計算即可.

【詳解】連接OC

*：0A1BC,48=50°,

Z.AOB=Z.AOC=40°,

:.乙D=^AOC=20°,

故選A.

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?山東濱州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，。。為△力8C的外接圓，AD1BC,垂足為點。,

直徑力￡平分交BC于點、F,連接BE.

E

(1)求證:BE=BF；

(2)若/IB=10,BF=5,求EB4F的值.

【答案】(1)見解析

(2)2:3

【分析】（1）根據(jù)圓心角定理得到44BE=90。，根據(jù)等角的余角相等證明結(jié)論；

（2）過點8作BH1E4根據(jù)勾股定理求出4E,根據(jù)三角形面積公式求出8H,根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】（I）?.?直徑AE平分乙84D,

LBAE=Z-DAE,/.ABE=90°

???LBAE+^AEB=90°,

vAD1BC,

.??LDAE+^AFD=90°,

???Z.AEB=Z.AFD

LAFD=乙BFE,

???LBFE=乙BEF,

???BE=BF.

(2)過點B作8H1EA,

在中，根據(jù)勾股定理得

EA=\]BE2+BA2=5V5

??EEBA^―EABH

22

:.BH=2通

在AtABHE中，根據(jù)勾股定理得

EH=y/BE2-BH2=V5

???BE=BF,BH1EA

EF=2V5

AF=3通

EF-.AF=2:3.

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓和勾股定理，掌握圓周角定理，等腰三角形的知識是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023春?廣東汕頭?九年級汕頭市龍湖實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D1,四邊形4DBC內(nèi)接于。0,E

為BD延長線上一點，4D平分ZEDC.

（1）求證：AB=AC；

（2）若A/IBC為等邊三角形，貝i"ED4=_度；（直接寫答案）

（3）如圖2,若CD為直徑，過A點作力E18。于E,且DB=4E=2,求0。的半徑.

【答案】（I）見解析

(2)60

⑶而

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義乙=再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的任一外角等于它的內(nèi)對角以及圓

周角定理證得448c=^ACB,進而利用等腰三角形的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的任一外角等于它的內(nèi)對角得到“。力=乙1C8即可求解：

（3）先根據(jù)等弦對等弧和垂徑定理的推論得到4H1BC,BH=CH,再證明四邊形4E8H是矩形，得到8H=

AE,進而求得BC=4,在Rt△DBC中利用勾股定理求得CD=26可求解.

【詳解】（1）證明：..FD平分NEDC,

：.^EDA=乙ADC,

??泗邊形是圓。。內(nèi)接四邊形，

：,z.EDA=Z.ACB,又乙ADC=Z.ABC,

：.z.ABC=乙ACB,

??AB=AC；

（2）解：為等邊三角形，

：.LACB=60°,

又?.?四邊形力。3C是圓。。內(nèi)接四邊形，

，乙EZX4=Z.ACB=60°,

故答案為：60；

（3）解：在圖2中，連接40延長交8c于〃，交。0于K,

EA

K

圖2

'：AB=AC,

：,AB=ztr,則8K=CK

：.AH1BC,BH=CH,

???CD為直徑,

：,LDBC=90°,又AEA.BD,

：,LAEB=AEBC=Z.AHB=90°,

???四邊形?1EBH是矩形,

=AE,

*：DB=AE=2,

:?BH=2,則BC=2BH=4,

在Rt△DBC中，CD=y]BD2+BC2=V22+42=2倔

，0。的半徑為遙.

【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等弦對等弧、等邊三角形的性質(zhì)、

矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義、勾股定理等知識，涉及知識點較多，綜合性強,

熟練掌握相關(guān)的知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵.

【題型4利用圓的有關(guān)性質(zhì)進行證明】

【例4】(2023春.廣東廣州.九年級廣東廣雅中學(xué)?？计谀?如圖，CD是△力夙?的外角匕EC8的角平分線，與

△48。的外接圓。。交于點。，Z.ECB=120°.

備用圖

⑴求加所對圓心角的度數(shù)：

(2)連OB,DA,求證：DA=DB；

(3)探究線段。。，CA,C5之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)120°

(2)見解析

(3)CB=CD+CA,證明見解析

【分析】(1)先由鄰補角的定義可得乙AC8=60。，再由同弧所對的圓周角相等可推出4108=LACB=60°,

最后利用圓周角定理即可求解:

(2)根據(jù)角平分線的定義可得NDCB=60°,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得乙DC8=乙DAB=

4

60%得出△力。8是等邊三角形，即可得證;

(3)延長CD至凡使0F=C4,連接8F,證明△C4B三ZiFOB(SAS),繼而得出△C8F是等邊三角形，即可

得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，連接。4。8,

?:乙ECB=120°,

J^ACB=180°-120°=60°,

;初=和，

：,^-ADB=^ACB=60°,

，在8所對圓心角=2/408=120°；

(2)證明：?.?C。是△48C的外角,EC8的角平分線，^LECB=120°,

:.乙

DCB=-2Z.ECB=60°,

vra=附

:?乙DCB=Z.DAB=60°,

又上ADB=60°,

是等邊三角形，

：.DA=DB；

(3)CB=CD+CA,證明：如圖，延長C。至F,使0尸二&4,連接8凡

E

,：四邊形HBOC是圓內(nèi)四邊形，

：.LCDB+/.CAB=180°,

'：LCDB+LFDB=180°,

"FDB=乙CAB,

由（2）知】△48D是等邊三角形，

：.AB=BD,

:?hCAB三1FDB（SAS）,

：.LACB=Z.F=60°,CB=BF,

是等邊三角形，

:.CF=BC=CD+DF=CD+AC,

即C2=CD+CA.

【點睛】本題考查了圓周角定理，內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì),

熟練掌握圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023春?浙江金華?九年級校考期中）如圖，已知圓。的直徑4B垂直于弦CD于點E,連接C。并

延長交于點尸，月.CF14D.證明：￡是。8的中點.

【答案】證明見解析

【分析】先利用垂徑定理證得HC=AD=CD,進而證得△ACO是等邊三角形，則乙FCD=30°,根據(jù)含30

度角的直角三角形的性質(zhì)得到。E=；。。即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：連接AC,如圖，

;直徑48垂直于弦CO于點￡1,

:.AC=AD,

:.AC—AD,

???過圓心。的CF1力。，

???比=CD

??AC=CD,

:?AC=AD=CD.

則A4C0是等邊三角形，又C尸140,

：.LFCD=-^ACD=30°,

2

???在Rt/kCOE中，OE=\OC.

：.0E=-0B,

2

???點E為。8的中點.

【點睛】本題考查垂徑定理、等弧所對的弦相等、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性

質(zhì)等知識，熟練掌握垂徑定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023春?山西長治?九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，解答問題：

關(guān)「圓的引理

占希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德流傳于世的數(shù)學(xué)著作有io余種，卜.面是《阿基米德全集》的《引理集》

中記載的一個命題：

如圖1,是。。的弦，點C在O。上，于點D,在弦力8上取點E,使0E=40,點尸是元上的一

點，且。=24,連接8/，則BF=BE.

小穎對這個問題很感興趣，經(jīng)過思考，寫出了下面的證明過程:

證明：如圖2,連接。4,CE,CF,BC,

vCD148于點。，DE=AD,

???CA=CE.

Z.CAE=Z.CEA.

???CF=CA,

CF=CA（依據(jù)1）,乙CBF=iCBA.

?.?四邊形相FC內(nèi)接于0。，

Z.CAB+乙CFB=180°.（依據(jù)2）

（I）上述證明過程中的依據(jù)1為,依據(jù)2為一；

（2）洛上述證明過程補充完整.

【答案】⑴在同圓中相等的弧所對的弦相等，圓內(nèi)接四邊形的對角互補

（2）見解析

【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答即可；

（2）在原題的基礎(chǔ)上利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：上述證明過程中的依據(jù)1為：在同圓中相等的弧所對的弦相等，依據(jù)2為:圓內(nèi)接四邊

形的對角互補.

故答案為：在同圓中相等的弧所對的弦相等，圓內(nèi)接四邊形的對角互補：

（2）解：證明：如圖2,連接C4,CE,CF,BC,

F

:.Z.CAB=/.CEA.

???CF=CA,

ACF=CA,

:.乙CBF=Z-CBA.

???四邊形力8FC內(nèi)接于O。，

???Z.CAB+乙CFB=180°,

???Z.CEA+乙CEB=180°,

:.Z.CFB=乙CEB,

在AC尸8和ACEB中，

(Z.CFB=乙CEB

\z-CBF=Z-CBA,

(BC=BC

:?MFB=ACEB(AAS),

???BF=BE.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理、三角形全等的判定和性質(zhì)以及

線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

【變式4-3](2023春?江蘇泰州?九年級?？计谀?己知。。為△4CD的外接圓，AD=CD.

①求證：△48C為直角三角形；

②若。。的半徑為4,AD=5,求BC的值；

(2)如圖2,若〃DC=90°,E為O。上的一點，且點D,E位于AC兩側(cè)，作44DE關(guān)于4。對稱的圖形△ADQ,

連接QC,試猜想Q4QC,Q。三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

【答案】⑴①見解析；

(2)QC2=ZQD2+QA2,證明見解析

【分析】(1)①根據(jù)已知條件結(jié)合等邊等角，三角形內(nèi)角和定理可得乙408=90。，即可證明dABC為直角

三角形；；②連接。4。。，利用豆徑定理得到。014。且4"=CH,設(shè)。H=%,則。"=4一心利用勾股

定理列出方程求得。H的值，再利用三角形的中位線定理得到BC=2。"：

(2)延長QA交。0于點汽連接DF/C,由已知可得乙。4。=乙。。4=45。；利用同弧所對的圓周角相等，

得到乙。凡4=NE=2Z)a4=45°,zD/7C=4ZMC=45°,由于△ADQ與△ADE關(guān)于4。對稱，于是zJ)Q4=

△E=45。，則得△/)(2/為等腰直角三角形，△QFC為直角三角形；利用勾股定理可得：QC?=QF2+

CF2,QF2=2DQ2；利用△Q/Z4三△尸DC得至IJQ4=FC,等量代換可得結(jié)論.

【詳解】(1)①證明：?.MD=CD,8。=4。，

：.DB=DC.

：,LDAC=Z.DCA.Z.DCB=乙DBC

vZ.BAC+乙ACB+Z.B=180°

???LDAC+Z.DCA+Z.DCB+乙DBC=180°

???LDCA+乙DCB=90°

即〃CB=90°

???AABC為直角三角形；

②解：連接。4。0,如圖，

'：AD=CD,

/.z?=m

：?0D1AC且AH=CH,

???00的半徑為4,

,\0A=0D=4.

設(shè)=則?！?4-x,

'：AH2=0A2--OH2,AH2=AD2-DH2,

A52-X2=42-(4-X)2.

解得：％=能

o

：,DH=—.

8

由①知：BCLAC,

\'0DLAC,

：.0D\\BC.

*：AH=CH,

；?BC=2DH=-.

4

222

(2)解:QC=2QD+QAt證明如下:

延長Q4交0。于點尸，連接0RFC,如圖,

'：￡ADC=90°,AD=CD,

：.WAC=Z-DCA=45°.

：.LDFA=Z.E=Z.DCA=45°,zDFC=Z-DAC=45°.

：.Z.QFC=Z.AFD+乙DFC=90°.

：.QC2=QF2+CF2.

VAADQ1^^4DE關(guān)于40對稱，

：.z.DQA="=45°,

：.LDQA=乙DFA=45°,

:,DQ=DF.

，乙QDF=180°-Z.DQA-Z.QFD=90°.

ADQ2+DF2=QF2.

即QF?=2DQ2.

■:乙QDF=乙ADC=90°,

：.AQDA=乙CDF.

在和△FDC中，

Z-QAD=乙DCF

Z.DQA=LDFC=45°，

DA=DC

/?AQDA=△FDC.

：.QA=FC.

：.QC2=2Q￡>2+Q%2

【點睛】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理及共推論，

等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，方

程的解法.根據(jù)圖形的特點恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵.

【題型5翻折中的圓的有關(guān)性質(zhì)的運用】

【例5】（2023春?江蘇無錫?九年級統(tǒng)考期中）如圖，將。。上的"沿弦翻折交半徑O八于點/）,再將酊

沿BD翻折交BC于點、E,連接DE.若人0=2。/）,則要的值為（）

【答案】D

【分析】如圖，連接4C,CD,OC,過點C作C”J_A4于”.設(shè)。4=3小則A8=6a.首先證明AC=CO

=DE,求出AC（用”表示），即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接AC,CD,OC,過點。作C”_LA8于H.設(shè)。4=3”，則A8=6a.

???在同圓或等圓中，N4BC所對的孤有AC,6,睞,

：.AC=CD=DEf

\*CH±AD,

:?AH=DH,

-：AD=20D,

：,AII=DII=OD=a,

在RtAOCH中，CH=>JOC2-OH2=V(3a)2-(2a)2=\/5a,

在RtAACH中，AC=y/AH24-CH2=Ja2+(x/5a)2=V6a,

?,?-D-E=_-A-C=_-\f-f>a=_-V6,

ABAB6a6

故選:D.

【點睛】本題考查圓周角定理，翻折變換,解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解

決問題.

【變式5-1](2023春?湖北恩施?九年級期末)如圖，A8為。。的一條弦，。為。。上一點，OC"AB.將劣

弧A8沿弦A8翻折，交翻折后的弧A8交AC于點。.若。為翻折后弧AB的中點，則NA8C=()

A.110°B.112.5°C.115°D.117.5°

【答案】B

【分析】如圖，取腦中點M,連接。M,連接。8、OB、。/1、AM,由題意知。M_L48,且。、D、M在一條

直線上，AD=AM=BD,OA=9B=OC,知4MOC=90。，根據(jù)圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角

和定理等可求/MAC,LBAC,乙BOC,Z.OAC,乙OBA,乙。BC的值，進而求解乙4BC的值.

【詳解】解：如圖，取腦中點M,連接0M,連接。B,OB、OA.AM

由題意知0M_L48,且0、0、M在一條直線上，AD=AM=BD,0A=OB=0C

：.LM0C=90°

：.LMAC=^LM0C=45°

'：AD=AM=BD,0MLAB

：,LMAB=Z.DAB=-/-MAD=22.5°

2

，乙BOC=2/-BAC=45°

'：0C||AB

J.LOAC=Z.0CA=Z.DAB

：.2.0AB=乙ORA=AOAC+/-DAB=45°

1800-zBOC

：.L0BC=Z.0CB==67.5°

2

：.Z.ABC=LOBA+Z-OBC=112.5°

故選B.

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角，等邊對等角，三角形內(nèi)用和定理，折疊性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵在

于對知識的靈活運用.

【變式5-2］（2023春?浙江寧波?九年級?？计谥校┤鐖D，在。。中，為直徑，C為圓上一點，將劣弧4。沿

弦翻折，交AB于點D,連接CD,若點力與圓心。不重合，^BAC=25°,則乙。。4=.

【答案】40°

【分析】連接8a根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出乙乩再根據(jù)翻

折的性質(zhì)得到枷所對的圓周角，進一步計算即可得解.

【詳解】解.：如圖，連接BC,

??3B是直徑,

：.LACB=90%

???/8AC+/8=90°,

,JLBAC=25°,

:.乙B=90°-乙BAC=90°-25°=65°,

根據(jù)翻折的性質(zhì)弧AC所對的圓周角為N乩制;所對的圓周角為4力OC,

：.￡ADC+z.B=180°,

\*/.ADC+Z.CDB=180°,

AzB=Z.CDB=65°,

：,LDCA=乙CDB-Z,BAC=65°-25°=40°.

故答案為:40°.

【點睛】本題考查了圓周角定理以及折疊問題的知識，根據(jù)同弦所對的兩個圓周角互補求解是解題的關(guān)鍵,

此題難度不大.

【變式5-3](2023春?浙江金華?九年級浙江省義烏市稠江中學(xué)?？计谥?在。0中，為直徑，點C為圓

上一點,將劣弧沿弦力C翻折交48于點。，連接CZ).

(1)如圖1,若點。與圓心O重合，AC=N/3,求O。的半徑r：

(2)如圖2,若點。與圓心。不重合，^BAC=200,請求出40Gl的度數(shù).

(3)如圖2,如果力。=6,DB=2,求力C的長.

【答案】(1)1

(2)LDCA=50°

(3)2714

【分析】(1)設(shè)點。關(guān)于弦AC的對稱點為F,連接。兒交AC于點E,則=。/_L4C,4E=EC,根

據(jù)勾股定理，得丁2-(今2=(日)2計算即可.

(2)設(shè)點。關(guān)于弦4c的對稱點為F,連接力凡CB,得CB=CF=CD,因為48為直徑，所以41cB=90。,"=

^.CDB=70°,利用乙DC4=—ZJ5AC計算.

(3)連接。C,CB,過點C作CGJ.4B于點G,確定8G=DG==1,AB=AD+DB=6+2=8t從

而得到所以r,計算CG,AG,AC=y/AG2+CG2.

【詳解】(1)設(shè)點。關(guān)于弦4c的對稱點為F,連接。凡交AC于點E,

則。E=EF,DF1AC,AE=EC,

因為AC=45,

所以AE=EC=",

設(shè)DE=EF=p

則4D=DF=r,

根據(jù)勾股定理，得"一夕=歲2,

解得r=1,

故圓的半徑「為I.

(2)設(shè)點。關(guān)于弦力C的對稱點為F,連接力/，CB,

根據(jù)題意，得48月C=乙入4c=20°,CD=CF,

所以C8=CF=CD,

所以NB=MDB；

因為4B為直徑，

所以N4CB=90°,=乙CDB=70°,

所以NOOl=Z.CDB-Z,BAC=70°-20°=50°.

(3)如圖，連接0cCB,過點C作CG于點G,

所以BG=DG,

因為=6,DB=2,

所以BG=OG=^08=1,AB=AD+DB=6+2=8,

所以r=OC=-AB=4,

2

所以0。=AD-OB=6-4=2,OG=OD+DGB=1+2=3,

所以CG=>JOC2-DG2=V42-32=\[7,AG=AD+DG=6+1=7,

所以AC=\MG2+CG2=72+(V7)2=2VI4.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等腰三角形三線合一性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)，勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

【題型6利用圓的有關(guān)性質(zhì)求最值】

【例6】（2023春?浙江衢州?九年級校聯(lián)考期中）如圖,△例BC中,AB=2V3,Z.ACB=75°,LABC=60°,

〃是線段8C上的一彳、動點，以4〃為直徑畫0。，分別交A8,4C于占，”，連接后尸，^Z.BAC=;乜產(chǎn)的

最小值為.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得連接OE、OF,作。例1.E尸于M,作4N_L8C于N,如圖，根據(jù)

圓周角定理得到乙￡。尸=90。，再計算出EF=&OE,則OE最小時，EF的長度最小，此時圓的直徑的長最

小，利用垂線段最短得到71。的長度最小值為AN的長，接著計算出力N,從而得到OE的最小值，然后確定

長度的最小值.

【詳解】解：:△ABC中，Z,ACB=75°,Z.ABC=60°,

=180°—75°-60°=45°

連接OE、0",作OM1EF于M,作力N18C于N,如圖，

A

???￡EOF=2￡.BAC=2x45°=90°,

而0E=0凡OM1EF,

???/OEM=45。，EM=FM,

在法△OEM中，EF=y[2OE,

當(dāng)OE最小時，EF的長度最小，此時圓的直徑的長最小，即力。的長最小，

???力。的長度最小值為力N的長，

V3V3

AN=—AB=—x2V3=3

22

???0E的最小值為力

???EF長度的最小值為日或，

故答案為：|V2.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓

心角的一半.也考查了垂徑定理和解直角三角形，推出EF=&0E是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1]（2023春?北京密云?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。。的弦AB氏為2,CD是。。的直徑，LADB=

30c,Z-ADC=15°.

①0。的半徑長為.

②尸是CD上的動點，則PA+PB的最小值是.

【答案】22V3

【分析】①連接040B,易證aAOB是等邊三角形，弦長為2,0A=0B=2,即可得到答案；

②先證/BOC=乙AOB+Z-AOC=90°,延長B0交。。于點E,連接4￡交。于點尸,連接8P,則此時P4+PB=

PA+PE=AE,即PA+P8的最小值是4E的長，再用勾股定理求出AE即可.

【詳解】解：①連接。4。氏

???乙4。8=30°,

：,z.AOB=60。,

*：0A=OB,

???△/OB是等邊三角形，

??,弦AB長為2,

：.0A=OB=2,

即0。的半徑長為2,

故答案為：2

?*：z.ADC=15°,

：.z.AOC=2Z.ADC=30°,

:?乙BOC=Z.AOB+Z.AOC=90°,

延長80交。。于點E,連接4E交CD于點P,連接BP,則此時P4+P8=PA+PE=AE,即P4+P8的最小

\'0A=OE=2,

：.LOAE=Z.AEB=30°,

J.LBAE=4BAO+LOAE=90°,

：.AE='BE?-AB?=V42-22=2A/3,

即“+PB的最小值是2V5.

故答案為：2百

【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱最短路徑等知識，熟練掌握

相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023春?湖南湘西?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形4BCD中，AB=4,以邊CO為直徑作半圓

。，E是半圓。上的動點，EF1ZM于點凡EP1AB于點P,設(shè)E尸=x,EP=y,則的最小值是（）

cB

C.2V5-1D.2V5-2

【答案】D

【分析】由題意，四邊形力尸EP為矩形，x2+y2=AE2,所以當(dāng)力E最小時，即。,E,4三點共線時，/+*最

小，利用勾股定理進行計算，即可得解.

【詳解】解：連接?！闍E,A0

???四邊形為正方形，48=4,CD為圓。直徑,

：.Z.BAD=Z.CDA=90°,CD=AB=AD=4,0D=2,

*：EF1DA,EPLAB,

???四邊形力FEP為矩形，

/.x2+y2=AE2,

*：OE+AE>AO

工當(dāng)O,E,A三點共線時，/+y2最小，OE=OD=2,

則：OA=+力￡）2=V22+42=2V5,

：,AE=AO-OE=2>/S-2,

.*./x2+y2=AE=2V5—2,

故選:D.

【點睛】本題考查圓上的動點問題，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì).熟練掌握圓外一點與圓心和圓上一

點三點共線時，圓外一點到圓上一點的距離最大或最小是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2023春?遼寧沈陽?九年級沈陽市第七中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知以8c為直徑的。。，4為弧BC

中點，?為弧AC上任意一點，ADlAP^BP^D,連CO.若BC=6,則CO的最小值為.

D

BOC

【答案】3V5-3

【分析】如圖所示，連接AB,AC,以48為斜邊作等腰直角三角形力8(T,則/力。9二90。，得出點。在以點

。'為圓心，4。長為半徑的腦上運動，因為兩點之間線段最短，即為最短CD,連接BO,因為8。=6,所

以B0'=3,由勾股定理有01二+8c2=3通,CD=O,C-O,D=375-3.

【詳解】解:如圖所示，連接48,AC,以AB為斜邊作等腰直角三角形48。'，則乙AO'B=90%

為直徑的。0,A為弧8C中點，

：，LBPA=45。，△ABC是等腰直角三角形，

*：BC=6,

=3V2,

：?0'B=O'A=3,

XV4DLAP,

：.2.DAP=90。，

：./.PDA=45°,Z.ADB=135°,

???點。在以點O'為圓心，A0,長為半徑的”上運動，

連接。，C交的為點、D,此時為最短，

vLO'BA=45°,LABC=45°,

???乙0,BC=90°,

在ABCO'中，RO'=3,BC=6.O'C=JBO,2+BC2=375

:?CD=O'C-O'D=3V5-3.

故答案為：3A/5—3

【點睛】本題考查了圓的綜合問題，求動點最值時，首先找到動點軌跡，再結(jié)合兩點之間線段最短找出最小

值是解題的關(guān)鍵.

【題型7利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】

71(2023春?湖北武漢?九年級校考期末)如圖，△的兩個頂點力、8在0。上，O。的半徑為2,ABAC=

90。，AB=AC,若動點B在。。上運動，OC=m,則6的取值范圍是.

【答案】272-2<zn<2+2V2

【分析】連接04作匕N40=90。，\A.AN=AO=2,連接。8,ON,CN,證明△4B。三△4CN(SAS)得到CN=

08=2,再根據(jù)勾股定理求得ON=2&,然后根據(jù)兩點之間線段最短求解即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,作乙刈4。=90。，且4N=4O=2,連接OB,ON,CN,

*：LBAC=4M4。=90°,

：.LBAO=MAN,

在ZMB。和△4CN中，

AB=AC

/.BAO=Z.CAN

、AN=AO

：.LABO三△ACN(SAS),

：.CN=0B=2,

在RtZk/ON中，ON=，。力2+4<2=2&,

根據(jù)兩點

短得ON-CN<OC<ON+OC,

：.2>/2-2<m<2+2^2,

故答案為：2V2-2<m<2+2V2.

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短、等角的

余角相等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形求解是解答的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023春?新疆烏魯木齊?九年級校考期中）如圖，弧5E是半徑為6的圓。的;圓周，。點