專題13.3三角形的內(nèi)角【十大題型】

【滬科版】

?題型梳理

【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】.............................................................1

【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】.........................................................4

【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】.....................................................6

【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】..................................................10

【題型5三角形折疊中的角度問題】............................................................16

【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】................................................20

【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】..............................................25

【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】..................................................32

【題型9直角三角形的判定】..................................................................37

【題型10應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】..........................................................40

，舉一反三

【知識點1三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0。

且小于180°.

<2）三角形內(nèi)角和定理；三角形內(nèi)角和是180°.

【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】

【例I】（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）定理：三角形的內(nèi)角和是180。.

已知：（CED、乙C、4。是△CEO的三個內(nèi)角.

求證：4C+4。+乙CED=180°.

有如下四個說法：①*表示內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②?表示乙BEC；③.上述證明得到的結(jié)論，只有在銳

角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形.其中正確的是（）

證明：如圖，過點￡作直線48,

使得46〃。。，

AZ2=ZD(*),

/.Zl+Z_?_=180o,

.,.ZC+ZZ)+ZCEZ>180°.

A.?@B.@@C.②④D.①③

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出42=4,Z1+乙BEC=180°,即可推出結(jié)論.

【詳解】解：證明：如圖，作點E作直線48,使得A8IICD,

?"2=4D（兩直線平行,內(nèi)錯角相等），

，乙1+4BEC=180°,

Azi4-zD+ZCFD=180°.

①*表示兩直線平行，內(nèi)錯角相等；故①不正確，不符合題意；

②?表示48EG故②正確，符合題意；

③④上述證明得到的結(jié)論，在任何三角形均適用；故③不正確，不符合題意：④正確，符合題意；

綜上：正確的有②④，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及二角形內(nèi)角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握兩更線平?行，內(nèi)錯

角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

【變式1-1]（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向為點A到

點B的方向，把鉛筆依次繞點4、點。、點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)/A、NC、NB的度數(shù)，觀察筆尖方向

的變化，該操作說明了.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后反方向說明旋轉(zhuǎn)度數(shù)等于180。解答.

【詳解】解：筆尖方向發(fā)生了由點8到點A的方向，

???鉛筆依次繞點八、點C、點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)NA、NC、的度數(shù),

???旋轉(zhuǎn)角度之和為NA+NB+NC,

???筆尖方向變?yōu)辄c8到點A的方向，

???旋轉(zhuǎn)角度之和為180。，

???這種變化說明三角形內(nèi)角和等于180°.

故答案為：三角形內(nèi)角和等于180°.

【點睛】本題考查了平用的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.，理解旋轉(zhuǎn)度數(shù)之和與三角形的內(nèi)角和的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023春.全國?八年級專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180?！睍r，綜合實踐小組的同學(xué)

作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明"力/?。的內(nèi)角和是180?！钡挠校ǎ?/p>

①過點C作跖〃48②延長力C到點凡③作CO_L48于④過上一點。作

過點。作CE〃力B點。DE//BC,DF//AC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)侑進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題.

【詳解】解：?.由EFII48,^ALECA=LA,LFCB=LB.由/EG4+4AC8+4FC8=180。，得乙A+N4CB+48=180°,

故符合題意.

②.由CEIM8,則N4=NFCE,乙B=LBCE.由4FCE+4ECB+44cB=180。，得乙4+48+4力。8=180°,故符

合題意.

③.由CDL4BFD,則乙AOC="OB=90。，無法證得三角形內(nèi)角和是180。，故不符合題意.

④.由OFII/1C,得匕EDF=iAED,乙A=LFDB.由E0I8C,得乙￡。4=48,44E0,那么乙C=4EDF.由

AADE+AEDF+AFDB=1S0°,得ZB+N/+NC=180。，故符合題苣，

共有：①②④符合條件，

故選：C.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1-3】（2023春?福建南平?八年級福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在證明“三角形內(nèi)角和等于180”

這一命題時，小彬的思路如下.請寫出“求證”部分，補充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明.

已知：如圖，ZkABC

求證;

證明：如圖，在4c邊上取點Q,過點。作。后〃4r交AC于點E,過點。作。?〃AC交A37點?

'：DE//AB.

AZA=Z1,Z5=Z2（依據(jù)：）.

'：DF//AC,

AZ1=Z3

【答案】NA+N8+NG180。，兩直線平行，同位角相等，后續(xù)證明見解析.

【分析】首先過點。作人8、AC的平行線，利用兩直線平行，同位角相等，可將△ABC的三個角放到一個平

角里面，根據(jù)平角=18（）。即可證明；

【詳解】已知：如圖，XABC

求證：ZA+ZB+ZC=180°

證明：如圖，在8C邊上取點D,過點。作。E〃A8交AC于點E,過點。作。尸〃AC交A8于點E

*：DE//AB.

AZA=Z1,NB=N2（依據(jù)：兩直線平行，同位角相等）.

^DF/ZAC,

AZ1=Z3

，N3=NA

又,,3-〃4c

???Z4=ZC

又：Z4+Z3+Z2=180°

???NA+N8+NG180。.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和.熟練掌握平行線的性質(zhì)和平角的度數(shù)為180。是解決

本題的關(guān)鍵.

【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】

【例2】（2023春?江蘇?八年級專胭練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60。，那么這個等腰三角

形的頂角的度數(shù)為.

【答案】30。或150。

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別從銳角三角形與鈍角三角形分圻求解即可求出答案.

【詳解】根據(jù)題意得：AB=ACfBD1.AC,

如圖（1）所示，Z-ABD=60°,則心力=30。，即頂角為30。：

如圖（2）所示，￡.ABD=60u,則=3。。

:.LBAC=150°,

即頂角為150。；

故答案為：30?；?50。.

【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的內(nèi)角和定理，注意掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）若△ABC的三個內(nèi)角之比為1:3:5,那么△4BC中最大角的度數(shù)

為.

【答案】100°

【分析】三角形的內(nèi)角和為180。，然后按比例分配即可.

【詳解】解：由題意得，最大角為180。、三=100。.

1+3+5

故答案為:100°.

【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023春?廣東江門?八年級?？茧A段練習(xí)）在△48GP，ZT=4O。，且N8:N4=4:3,貝叱?的

度數(shù)為.

【答案】80°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。即可進行解答.

【詳解】解：??"C=40°,

工乙B+4力=180°-40°=140°,

LB=140°x—=80°,

4+3

故答案為：80°.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180。.

【變式2-3]（2023春?廣東梅州?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，乙4=51。,乙8=20。，zC=30°,求/BDC的

度數(shù).

【答案】101°

【分析】連接工D，如圖所示，根據(jù)二角形內(nèi)角和定理列出等式，從而根據(jù)題中已知條件作差即可得到答案.

【詳解】解：連接AD,如圖所示：

在么ABC中，LABC+^A+Z.ACB=180°?,

在么8CZ）中，Z-DBC+Z.D+Z.DCB=180°@,

???由①一②得上A-ZD+（Z.ABC-Z.DBC）+（Z.ACB-Z.DCB）=0,即4A-zD4-Z.ABD+Z.ACD=0,

???LA=51°,Z-ABD=20°,^ACD=30°,

:.51°-ZD+20°+30°=0,即NO=101°.

【點睛】本題考查求角度問題，涉及三角形內(nèi)角和定理，數(shù)形結(jié)合，找到各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)

鍵.

【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】

【例3】（2023春?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△4BC經(jīng)過平移得到△/）￡?「，OE分別交BC,AC于點

G,H,若乙B=97°,乙C=40°,則4GHe的度數(shù)為（）

A.147°B.40°C.97°D.43°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定義可得乙4=43。，再根據(jù)平移性質(zhì)可得NOACWDF,得到ZGHC=乙。，

即可得到答案.

【詳解】解：,:乙B=97。,LC=40°,

???乙4=180°-97°-40°=43°,

由平移的性質(zhì)可知ND=44=43。，ACWDF,

"GHC=加=43°,

故選:D.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定義、平移的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和等于180。以及平移的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023春?山東濟寧?八年級統(tǒng)考期中）如圖是A、8、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50。

方向，3島在A島的北偏東80。方向，C島在8島的北偏西40。方向.從C島看A、8島的視角NAC8為多

少？

【答案】90°

【分析】根據(jù)題意在圖中標(biāo)注方向用，得到有關(guān)角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：由題意得，ZDAB=S0°,

*：DA//EB,

，NEBA=1800-NOA8=100°,又NE8C=40°,

:?/ABC=/EBA-ZEBC=60°,

???NQA8=80。，ZD4C=50°,

???NC/W=30。，

???NAC8=180。-ZCAB-NABC=90。.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?八年級單元測試）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時，需要拐彎繞海而過，如果

第一次拐角是N/1=130%第二次拐的角是乙8=160。，第三次拐的角是匕C,這時的道路恰好和第一次拐之

前的道路平行，則/C度數(shù)為.

【答案】150°

【分析】法一：過8作B0L4E,運用平行線性質(zhì)及已知條件，可得乙48。=乙4=130。，BDWCF,再根據(jù)兩

直線平行，同旁內(nèi)角互補，可以求出乙。的度數(shù).

法二：延長A3、FC,交于點。，運用平行線性質(zhì)及已知條件，可得乙A=4BDC=130。，結(jié)合三角形內(nèi)角

和定理，求得Z8C。=180。一一乙8DC=30。，從而求得N8CF.

【詳解】解:法一，如圖，過8作BDIIAE,

yBDWAE,NA=130。,

：.z.ABD=^A=130°.

VFDIMF,CFWAE,

：.BD\\CF.

*：z.ABC=160°,Z.ABD=130°,

:.乙DBC=乙ABC-乙ABD=160°-130°=30°.

\*BD\\CF,

，乙DBC+iC=180°,

?:乙DBC=30°,

：-LC=180。一4DBC=150°.

法二，如圖，延長4B、FC,交于點。，

VAEHCD,=130°,

：.LA=Z.BDC=130°.

*：LABC=160°,

：.LCBD=180°-乙ABC=20°,

在6C8Z）中，

'：^CBD=20°,^BDC=130°,

:.乙BCD=180°-乙CBD-乙BDC=30°,

：.LBCF=180°-乙BCD=150°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）已知：如圖，點8、。在線段A。的異側(cè)，點E、產(chǎn)分別是線

段AB、CO上的點，ZAEG=ZAGE,4c=NDGC.

（I）求證：ABHCD；

（2）若NAGE+/A〃F=180。，求證：ZB=ZC：

（3）在（2）的條件下，若NBFC=4NC,求N。的度數(shù).

B

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）108。

【分析】（1）根據(jù)對頂角相等結(jié)合已知條件得出NAEG=NC,根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可證得結(jié)論；

（2）由NAGE+NA，/三180。等量代換得NOGC+N4”/三180?？膳袛郋C//BE兩直線平行同位角相等得出

NB=NAEG,結(jié)合（1）得出結(jié)論；

（3）由（2）證得EC//BF,得N8FC+NC=180。，求得NC的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求得/。的度數(shù).

【詳解】證明：（1）VZAEG=ZAGE,ZC=ZDGC,ZAGE=ZDGC

???NAEG二NC

：.AD//CD

（2）VZAGE=ZDGC,ZAGE+^AHF=\S0Q

：.^DGC+ZAHF=\S0Q

：.EC//BF

：.NB=NAEG

由（1）得NAEG二NC

：.ZB=ZC

（3）由（2）得EC//BF

r.ZBFC+ZC=180°

VZBFC=4ZC

/.ZC=36°

/.ZDGC=36°

VZC+ZDGC+ZD=180°

AZ￡>=108°

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角

互補，兩直線平行''及"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”是解題的關(guān)鍵.

【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】

【例4】（2023春?廣東惠州?八年級惠州一中?？计谥校┤鐖D,乙4=70。,I是AABC內(nèi)一點,BP平分乙ABC,

CP平分乙4C8,則N5PC的度數(shù)為（)

A.105°B.115°C.125°D.135°

【答案】C

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙WC+乙4CB的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)求出NPBC+4PC8的度

數(shù)，進而可得出結(jié)論.

【詳解】解：:在△ABC中,乙4=70。，

：,z.ABC+Z.ACB=180°-70°=110°.

???Z?P平分乙AOC,CF平分心ACO,

???/PBC+4PCB=[（Z4BC+N/C8）=1x1100=55。，

：.LBPC=180°-55°=125°.

故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、角平分線的相關(guān)計算，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)

鍵.

【變式4-1]（2023春?廣東東莞?八年級統(tǒng)考期中）如圖,△48C中,4。是BC邊上的高,4E是?1的平分

線，Z.EAD=5°,4c=50。，求48的度數(shù).

【答案】40°

【分析】利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】解：?.ND是BC邊上的高，

：.￡ADC=90°.

???“=50°,

AZD?1C=90O-ZLC=40O,

：.LEAC=LEAD+乙DAC=45°.

是4ZMC的平分線，

：.z.BAE=^.EAC=45°.

：.z.BAD=乙BAE+Z.EAD=50°,

???K8=90°—匕84。=40°.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，直角三角形的兩個銳角互余，垂

直的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理解答是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023春?黑龍江大慶?八年級校考期末)如圖，點E在/1C上，點廠在CB的延長線上，AB.與EF交

于點G,/.AGE=ACED,EO平分NCEF.

(2)若"=30。，Z.AGE=50°,求4c的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZC=50°

【分析】(1)由角平分線的定義可得4D￡T=4CE。，結(jié)合匕AGE=可得/AGE=4?！?九根據(jù)''內(nèi)錯

角相等，兩直線平行”可證4BIIDE；

(2)由EO平分NCEF可得乙CEF=2NCE7)=100。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】(1)證明：:E。平分NCEF,

:,乙DEF=MED,

*：LAGE=Z.CED,

：,LAGE=乙DEF,

AZI?IIDE；

(2)解：*：^AGE=LCED,乙力GE=50°,

：,^CED=50°,

???￡0平分“￡*?，

：.LCEF=2/-CED=100°,

.:乙C+乙CEF+zF=180°,乙F=30°,

,KC=180°-100°-30°=50°.

【點睛】本題考查角平分線的定義，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定

方法，牢記三角形內(nèi)角和為180度.

【變式4-3](2023春?八年級課時練習(xí))如圖，在△48C中，點。在48上，過點D作0EII8C,交4c于點E,

OP平分乙4DE,交41cB的平分線于點P,CP與OE相交于點G,乙46的平分線CQ與DP相交于點Q.

(1)若=50°,48=60°,則4OPC=°,NQ=°；

(2)若41=50。，當(dāng)乙B的度數(shù)發(fā)生變化時，乙DPC、NQ的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；

(3)若N4=X。，5!0ZDPC=°,zQ=°；(用含工的代數(shù)式表示)：

(4)若^PCQ中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的乙4的度數(shù).

【答案】(1)115,25

(2)不發(fā)生變化，理由見解析

(3)(90

(4)45°,60°,120°,135°

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(2)同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解：

(3)將(2)中乙4=50。換成41=%。，同理即可求解；

(4)設(shè)乙4=%。，由(3)可知乙QPC=(90—：％)。，LQ=1X°.再由4PCQ=90。不變，即可分類討論①當(dāng)

乙PCQ=時，②當(dāng)NPCQ=3NQ時，③當(dāng)NCPQ=34Q時和④當(dāng)3zTPQ=々Q時，分別列出關(guān)于x的

等式，解出X即可.

【詳解】（1）??27!=50。，48=600,

：.LACB=180°-￡A-￡B=70°.

TCP平分NACB,

c

工乙BCP=^ACP=-2Z-ACB=35.

VDE||BC,

：,z.ADE=LB=60°,Z.PGD=Z.BCP=35°.

平分乙4OE,

：.LPDG=-Z-ADE=30°.

2

:?乙DPC=180°-乙PDG-乙PGD=115°；

VZDPC=115°,

."QPC=180°-115。=65°.

TCP平分NRCB,CQ平分44CF,

：.￡ACP=^ACB,乙ACQ=:乙ACF.

*：/.ACB+Z.ACF=180°,

???/4CP+44CQ=90。，BPzPCQ=90°,

：?LQ=90。一乙QPC=25°.

故答案為：115,25；

（2）當(dāng)匕B的度數(shù)發(fā)生變化時，乙DPC、△Q的度數(shù)不發(fā)生變化

理由如下:??Z=50。,

???乙4C8+NB=130°.

,:DE||BC,

：.LADE=ZF,乙PGD=Z_PCB.

〈DP平分乙/lOE,CP平分

/.Z.PDE=-4ADE=",乙PCB=-Z-ACB=乙PGD.

222

:“DPC=180°-QPDE+4PG。）

=180°-1（z/?+z/lCB）

1

=180°--x130°

2

=115°.

，乙QCP=65°

由(1)可知"PCQ=90。不變，

???乙Q=90°-Z-QPC=25°.

???當(dāng)N8的度數(shù)發(fā)生變化時，WC、NQ的度數(shù)不發(fā)生變化;

⑶??Z=x°,

：.z.ACB+Z,B=180°-x°.

'：DE||BC,

：.z.ADE=zB,乙PGD=LPCB.

?：DP^/-ADE,CP平分4AC8,

???乙POE=^ADE=-￡B,乙PCB=-^ACB=乙PGD.

222

;?乙DPC=180°-(乙PDE+4PGD)

=180°-1(zF+z>4Cfi)

=180°-1x(180-x)°

=(90+1x)°.

"QPC=180°-(90+^x)°=(90-i%)°.

由(1)可知乙PCQ=90°不變，

LQ=90°-乙QPC=90°-(90-1x)°=1x°.

故答案為：(90+1)，p

(4)設(shè)乙4=x°,

由(3)可知NQPC=(90-gx)。，ZQ=1x°.

?:乙PCQ=90%

???可分類討論：①當(dāng)NPCQ=34CPQ時，

???(90-))。="90。，

解得；x=120,

：.LA=120°：

②當(dāng)乙PCQ=3“時，

：.-x°=-x90°

23f

解得：x=60?

???"=60°：

③當(dāng)ZXPQ=34Q時，

???（90-2=3X*

解得：x=90,x=45

：.LA=45°；

④當(dāng)34CPQ=iQ時，

???3x（90-"）。=#,

解得：x=135,

：,LA=135°.

綜上可知乙4=45?；?0?；?20?；?35°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識.利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的

思想是解題關(guān)鍵.

【題型5三角形折疊中的角度問題】

【例5】（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，在△4BC中,LA=20。，點。在邊4C上（如圖1）,先將△ACD沿

著翻折，使點A落在點4處，A8交AC于點E（如圖2）,再將△8CE沿著8E翻折，點C恰好落在BD上的

點C'處,此時4C'E8=66。（如圖3）,則心48C的度數(shù)為（）

圖2圖3

A.66°B.23°C.46°D.69°

【答案】D

【分析】根據(jù)翻折后對應(yīng)角相等得到乙48C'=乙CBE=乙EBC=g乙ABC,利用已知條件和三角形的內(nèi)角和

等于180。，建立等量關(guān)系可求上4BC的度數(shù).

【詳解】解：由題意可得Be=2C'BE=NE8C=gz48C,￡.C'EB=Z.CEB=66°,

設(shè)〃8C=x,^UABC1=Z-C'BE=Z-EBC=

???三角形的內(nèi)角和等于180。，

.?.在△48C中，AA+^ABC=1805-zC,BP20°+x=180°-zC；

在么8CE中，Z-CEB+Z.CBE=180°-zC,B[J660+-x=180°-zC：

3

20。+%=66。+打，

解得：x=69°,

故選：D.

【點睛】本題考查翻折后對應(yīng)角相等，利用三角形的內(nèi)角和等于：80。，設(shè)未知數(shù)并建立等量關(guān)系是解題的關(guān)

鍵，本題的難點是4。是兩個三角形的公共角，由此列方程求解.

【變式5-1]（2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在A/IBC中，44=60。，將△48C沿。E翻折后，

點A落在8C邊上的點4處.若土#EC=70。，則乙4DE的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得至此“OE=〃OE,^A'ED=Z-AED,結(jié)合乙4'EC=70。，得到

4AED=N4EO=北/=55。，再根據(jù)24=60。，利用三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【詳解】.根據(jù)折疊的性質(zhì)，得至此4?！?44。心^ArED=^AED,

因為U'EC=70°,

所以4/1%0=乙4￡7）="差=55°,

因為乙4=60°,

所以=180°-60°-55°=65°.

故選C.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2023春?甘肅定四?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△力8c中，zA=20。，zB=60。，將點A與點8

分別沿MN和EF折疊，使點A、8與點C重合，則ZNC"的度數(shù)為（）

A.22°B.21°C.20°D.19°

【答案】C

【分析】根據(jù)乙1=20。，48=60。，點A與點8分別沿MN和EF折疊，使點A、8與點C重合，得到

z.A=^ACN=20°,乙B=，BCF=60°,4AC8=100°,結(jié)合ZJ1C8=4HCN+乙BCF+ZNC尸代入計算即可.

【詳解】因為△4=20。，48=60。，點A與點3分別沿MN和E尸折疊，使點A、8與點C重合，

所以N4=44CN=20°,ZF=ZFCF=6O°,Z/1CF=100O,

因為Z力+Z.BCF+Z.NCF.

所以100。=20°+60°+乙NCF,

解得乙NCF=20°.

故選C.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2023?全國?八年級假期作業(yè)）已知，在△力BC中，點E在邊4B上，點。是BC上一個動點，將NB

沿瓜。所在直線進行翻折得到NETO.

B

E.

D

（1）如圖，若/8=50。，4-LFDC=；

（2）在圖中細心的小明發(fā)現(xiàn)了乙HE凡乙FDC,48之間的關(guān)系，請您替小明寫出這個數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】（1）100。：

（2）LAEF+乙FDC=2ZB,證明見解析.

【分析】（I）先由三角形內(nèi)角和求出NBDE+48E。=130。，再由折疊的性質(zhì)得

乙FDE+乙FED=Z.BDE+乙BED=130°,進而可求出N/EF+/FOC的度數(shù)；

（2）先由三角形內(nèi)角和求出N80E+48E0=180。一乙8,再由折疊的性質(zhì)得

Z.FDE+Z.FED=Z.BDE+Z.BED=180°-Z.B,進而可.求出44E”,乙FDC,4B之間的關(guān)系.

【詳解】（1）在ZkBDE中，乙B=50。，

:?乙BDE+乙BED=180°-乙B=180°°-50°=130°.

由折疊的性質(zhì)，可知：^FDE=^LBDE,乙FED=ABED,

：.LFDE+乙FED=乙BDE+乙BED=130°.

又7NLBDE+乙FDE+Z.FDC=180°,4BED+乙FED+LAEF=180°,

：.LAEF+Z-FDC=180°-（乙BED+乙FED）+180°-QBDE+Z-FDE）

=360°-（乙BDE+乙BED）-（NFDE+乙FED）

=360°-130°-130°

=100°.

故答案為:100°；

（2）^AEF+LFDC=248.

證明：在aBDE中，LB+LBDE-FLBED=180°,

:?乙BDE+乙BED=180°-乙B.

由折疊的性質(zhì)，可知：乙FDE=LBDE,乙FED=ABED,

：.LFDE+乙FED=乙BDE+乙BED=180°-zfi.

又,：乙BDE+乙FDE4-乙FDC=180°,Z-BED+乙FED+Z.AEF=180°,

：.LAEF+Z.FDC=180°-（乙BED+乙FED）+180°-（乙BDE+乙FDE）

=360°-（乙BDE+乙BED）-（zFDF+乙FED）

=360°-（180°-LB）-（180°-乙8）

=2LB,

即4力EF+4FOC=24B.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】

【例6】（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，a\\b,一塊含45。的直角三角板的一個頂點落在直線》上,

若乙1=58°54\則N2的度數(shù)為（）

A.103。6'B.104。6'C.103。54'D.104054z

【答案】C

【分析】設(shè)N2的同位角為N3,N3的鄰補角為N5,三角板的一個銳角為/4,根據(jù)等腰三角板的特點可求

出N4,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出N5,再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出N3,進而根據(jù)兩直線平行同位角相等

即可求出N2.

【詳解】設(shè)/2的同位角為N3,N3的鄰補角為/5,三角板的一個銳角為N4,如圖，

???直角三角板含一個45。的銳角，

,該三角板為等腰三角形，

，Z4=45°,

???/1=58。541

又1?在三角形中有Nl+N4+N5=180。，

:.Z5=180°-(Z1+Z4)=180。-(58。54'+45。)=180°-103°54,=76°6,,

VZ3+Z5=180°,

??.Z3=l80°-Z5=180°-76°6,=103°54,,

AZ2=Z3,

.*.Z2=103°54%

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識，掌握兩直線平行同位角相等是解答本題

的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023春?八年級單元測試）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中/￡7加=90。,

把直角三角板。EF放置在銳角△48C上，三角板OEF的兩邊OE、D戶恰好分別經(jīng)過仄C.

（1）若44=40。，］^iZ-ABC+/-ACB=_°,乙DBC+乙DCB=_°,^.ABD+Z.ACD=_°.

（2）若乙4=55。，則4480+Z.ACD=_°.

（3）請你猜想一下乙4BO+41CD與〃所滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）140：90；50

⑵35

（3KABD+Z.ACD=90°-Z.A

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得乙18C+Z4cB=180。一//1=140。，/.DBC+ZDCB=180°-

^DBC=90°,進而整理可求出N/8O+41CD的度數(shù)；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得乙48C+41cB=180。一乙4=125°,Z-DBC+Z-DCB=1800-ZD5C=

90°,進而整理可求出4ABO+4ACO的度數(shù)：

（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有90°+（乙ABO+4力CO）+乙A=180。，整理得心力30+乙力CD=90。一心力.

【詳解】（1）解：???在△ABC中，乙4=40。，

???/.ABC+Z.ACB=180°-40°=140°,

???在ADBC中，^BDC=90°,

4DBC+乙DCB=180°-90°=90°,

:.Z.ABD+LACD=140°-90°=50°.

故答案為：140；90；50.

(2)解：???在aABC中，4A=55°,

:./.ABC+/.ACB=180°-55°=125°,

「在ADBC中,NBOC=90。，

AZ.DBC+Z-DCB=180°-90°=90°,

:.Z.ABD+Z.ACD=125°-90°=35°.

故答案為：35.

(3)解：乙48。+匕AC。與之間的數(shù)量關(guān)系為：4ABD+/ACD=90°-4A.證明如下：

在&A8C中，Z.ABC+Z.ACB=1SO°-￡A,

在A。。。中，乙DBC十乙DCB=9。。，^ABC+^ACB-(^DDC+^DCD)=180°-z/1-90°,

:?乙ABD+Z.ACD=90°-Z.A.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180。.

【變式6-2](2023春?八年級課時練習(xí))將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，"=45。，△0二30。,

小明得到下列結(jié)論：

①如果乙2=30°,則4QI0E；

②乙BAE+Z.CAD=180°；

③如果陽皿則，2=30。；

④如果4C4D=150°,則44=ZC.

其中正確的結(jié)論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個判斷即可.

【詳解】解：VZ2=3O°,ZCAB=90°,

AZ1=60°,

VZE=60°,

/.Zl=Zh,

：.AC||DE,故①正確；

?.?NC/W=NO/1E=9()°,

：.ZBAE+ZCAD=90°-Zl+90°+Z1=180°,故②正確；

???BCIL4D,ZB=45°,

???N3=/B=45。，

???/2+N3=NOAE=90°,

/.Z2=45°,故③錯誤;

VZC^D=150°,NB4E+NC4D=I8O。，

???NB4E=30。，

*/NE=60。，

；?NBOE=ZBAE+ZE=90°,

:.Z4+ZB=90°,

VZB=45°,

???Z4=45°,

VZC=45°,

AZ4=ZC,故④正確；

所以其中正確的結(jié)論有①②④共3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2023春?八年級課時練習(xí))小宋對三角板在平行線訶的擺放進行了探究

(1)如圖(1),已知allb,小宋把三角板的直角頂點放在直線b上.若N1=40°,直接寫出42的度數(shù)；若=m°,

直接寫出N2的度數(shù)(用含m的式子表示).

(2)如圖(2),將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30。

角的直角三角板的直角頂點與45,角的頂點重合于點4含30。隹的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，含

45。角的三角板的另一個頂點在紙條的另一邊a上，求乙1的度數(shù).

【答案】(1)130°,(90+〃?)°

⑵15。

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，以及平角的定義來解決此題；

(2)如圖，先由兩直線平行同旁區(qū)角互補得出NO8A+N尸CA=180"，再根據(jù)三角板中各角的度數(shù)計算拼接后

圖形中有關(guān)角的度數(shù)，再通過三角形內(nèi)角和等于180度計算即可.

【詳解】(1)解：???。怙,

AZ2+Z3=180°,

由題意和圖知，Nl+N3=90。，Zl=40°

oo

/.Z2=180°-(9O°-Z1)=90+Zl=90°+40°=130;

若41=m°,那么

Z2=(90+w)0

(2)解：如圖，把圖中各點標(biāo)上字母，延長CA交直線a于點8,由題意知，

Valid,

：.^DBA+ZFCA=\S00,

：ZFCA=6()°,

/.ZDBA=120°,

VZDAE=45°,ZMC=90°,

:.^BAD=\80°-DAE-AFAC=45°

在AABD中，Zl+ZDBA+ZBAZ>180o,

.*.Zl=180°-45o-120o=15°；

b

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角板中的角度計算問題，蟀題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】

【例7】（2023春?廣東潮州?八年級統(tǒng)考期中）在△48C中，4C＞匕%AE平分匕F為射線力E上一點（不

與點七重合），且尸DJLBC于。;

（1）如圖I,當(dāng)點尸與點A重合，且乙。=50。，48=30。時，求NEFD的度數(shù);

（2）如果點尸在線段4E上（不與點A重合）時，如圖2,直接寫出NEFD、ZC＞乙B的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）10°

(2)LEFD

【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得乙847=100。，乙。4。=40。，由角平分線的性質(zhì)易得，EAC的度數(shù),

可得乙EFD；

（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得=90°-1（/C+外角的性質(zhì)得出乙HEC=90°+

在AE口）中，由三隹形內(nèi)角和定理可得4EFD.

【詳解】（1）解：???4C=50。，48二30。，

/.乙BAC=180°-50°-30°=100°.

???HE平分48AC,

.??Z.CAE=50°.

在△ACE中/AEC=80°,

在Rt△ADE^Z-EFD=90°-80°=10°.

(2)乙EFD=^(zC-zF)

證明：????1￡平分Z84C,

180。-48-41

Z.BAE==9O°--(Z(?+Z5)

2乙

???N/EC為△ABE的外角，

11

???^AEC=+90°—5("+4B)=90°+-(乙B-zC)

???FD1BC,

:.Z.FDE=90°.

1

Z.EFD=90。-[90°+(48—Z0]

Z.EFD=1(zC-zfi).

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的

關(guān)鍵.

【變式7-1](2023春?全國?八年級專題練習(xí))如圖，ABWCD,E為線段CD上一點,ZBAD=n°,n=\5xy,

⑴求〃的值.

(2)求證：ZPEC-ZAPE=\35°.

(3)若P點在射線。A上運動，直接寫出NAPE與NPEC之間的數(shù)量關(guān)系.(不考慮尸與A、。重合的情況)

【答案】(l)n=45

(2)見解析

(3)①當(dāng)P在線段4。上時，NPEC+N4PE=225。②當(dāng)。在4點左邊時，NPEC-NAPE=45°

【分析】(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求工=1,)，=3,再代入〃=15盯計算可求〃的值.

(2)作尸F(xiàn)II48,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAP尸=135。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NPEC=N"E,根據(jù)等量

關(guān)系即可求解：

(3)分兩種情況：①當(dāng)P在線段AO上時；②當(dāng)「在A點左邊時；進行討論即可求解.

【詳解】(1)解：???V7^I+(y—3)2=0,

?,?x-1=0,y-3=0,

=

A1，y=3,

Azi=15x1x3=45；

(2)證明：如圖止過P作PFII/IB,則NAPr=180。-/用1。=135。

：.CD\\PF,

：?/PEC=NFPE,

：,/PEC-NAPE=ZAPF=\35°；

(3)解:分兩種情況:

①當(dāng)。在線段A。上時，如圖2,

圖2

VXBHCD,

???ZADC=ZI3AD=45°t

AZDPE+ZDEP=180°-45°=135°,

JZPEC+ZAPE=360°-135°=225°；

②當(dāng)〃在A點左邊時，如圖3,

B

圖3

???ZPEC=NAPE+NPDE,

：,Z.PEC-ZAPE=ZPDE=45°.

【點睛】本題考杳了非負數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，幾何圖形中角度的計算，數(shù)

形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2023春?河南激可?八年級?？计谀┮阎鰽BC.

（1）如圖（1）,ZOZD,若AD±BC于點D,AE平分ZBAC,你能找出READ與NB,ZC之間的

數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由.

（2）如圖（2）,AE平分NBAC,F為AE上一點，F(xiàn)M1BC于點M,ZEFM與NB,/C之間有何數(shù)

量關(guān)系？并說明理由.

【答案】⑴NE4DW（NCN8）；理由見解析：⑵ZEFM=^（ZC-ZB）：理由見解析.

【分析】（I）分析題意，觀察圖形可知NEAD=NEAC-NDAC,即若用NB、NC分別表示出/EAC、ZDAC

即可；首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可用/B、NC表示出/EAV,再根據(jù)直角三角形兩

銳角互余可得NDAC=9（r-/C,據(jù)此可解答；

對于（2）過點A作AD_LBC于D,根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得NEFM=NEAD,再結(jié)合（1）的結(jié)

論進行解答即可

【詳解】解：（1）VAE平分NBAC,

AZEAC=|ZBAC=1（180°-ZB-ZC）,

又???AD_LBC,

AZDAC=90°-ZC,

AZEAD=ZEAC-ZDAC=1(180°-ZB-ZC)-(90°-ZC)=1(ZC-ZB),

即NEADg(ZC-ZB)：?

(2)如圖，過點A作AD1BC于D,

VFM±BC,

，AD〃FM,

AZEFM=ZEAD=1(ZC-ZB)

【點睛】本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和的關(guān)系用NA表示出其他角

(1)如圖1,若CE平分NACO,過點E作EM1CE交CO于點試說明乙4=2/。例與

(2)如圖2,若A尸平分NCA8,C/平分NOCE,且/斤=70。，求/ACE的度數(shù).

(3)如圖3,過點E作EM_LCE交NOCE的平分線于點M,MN_LCM交AB于點N,CHA.AB,垂足為”.若

ZACH=^ZECH請直接寫出/MNB與NA之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析；

[2}LACE=40。；

(3)ZMNB=135。一4力

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別計算乙4與4CME,即可得出結(jié)論；

(2)過點?作FM〃/1B,利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和(1)的結(jié)論解答即可；

(3)延長CM交力N的延長線于點凡設(shè)=則乙ECH=2x,ECM=Z.DCM=y,利用垂直的定義得

至ljx+y=45。：利用三角形的內(nèi)角和定理分別用工,y的代數(shù)式表示出乙MN8與計算2MN8+乙1即可得

出結(jié)論.

【詳解】（I）證明：???￡”1CE,

:?乙CEM=90°.

vAAEC+tCEM+乙BEM=180°,

Z.AEC+乙BEM=90°.

-AB//CD,

：,Z.AEC=Z.ECD,乙CME=LBEM.

:.4ECD+乙CME=90°.

???2乙ECD+24CME=180°.

???CE平分乙4CD,

???Z/4CD=2乙ECD.

/.Z.ACD+2乙CME=180°.

?：AB//CD,

Z.ACD+=180°.

:.Z.A=2/.CME.

(2)解：過點F作尸M〃力氏如圖，

vAB//CD,

FM//AB//CD.

Z.AFM=^BAF,乙CFM=^DCF.

:.Z.AFM+Z.CFM=Z.BAF+Z-DCF.

即2力FC=Z.BAF+/.DCF,

?.?力F平分/C4B,C尸平分乙OCE,

Z.CAB=2/-BAF,乙DCE=2乙DCF.

:.乙CAB+乙DCE=2(zBAF+乙DCF)=2^AFC.

VZ.AFC=70°,

???Z.CAB+乙DCE=140°.

-AB//CD,

A/.CAB+Z.ACE+Z.DCE=180°.

AZ.ACE=180°-(^CAB+zDCE)

=180°-140°

=40°.

(3)解：4MNB與41之間的數(shù)量關(guān)系是：乙MNB=135。一乙A.

延長CM交AN的延長線于點F,如圖，

???MN1CM,

:.乙NMF=90°.

二/MNB=90。一4F.

同理：ZHCF=9O°-ZF.

:.4MNB=Z.HCF.

vZ.ACH=-Z.ECH,

2

設(shè)4則4ECH=2x.

???CM平分4CE,

設(shè)zECM=乙DCM=y.

:.￡MNB=Z.HCF=2x+y.

,:AB"CD,CHLAB,

:.CH1CD.

乙HCD=90°.

:.Z.ECH+乙ECD=90。.

2x+2y=90°.

???x\y=45°.

VCHLAB,

:.LA=90°-乙ACH=90°-x.

???NA+乙MNB=90°-x+2x+y=90°+x+y=135°.

=135°—44

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平角的意義,

過點尸作FM〃力B是解題的關(guān)鍵.

【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】

【例8】（2023春?福建廈門?八年級廈門一中校考期中）新定義：在△