562期【導(dǎo)數(shù)】高考中有哪些三次函數(shù)的應(yīng)用？作為冪函數(shù)的三次函數(shù)是高中階段可以系統(tǒng)研究的一個(gè)重要函數(shù)，因?yàn)槠鋵?dǎo)函數(shù)二次函數(shù)是中學(xué)階段研究最深的函數(shù)之一，于是在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)后，我們可以通過對(duì)其導(dǎo)函數(shù)二次函數(shù)的詳細(xì)研究來弄清楚三次函數(shù)的基本性質(zhì).通過對(duì)三次函數(shù)的系統(tǒng)研究，能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)和理解.正因如此，三次函數(shù)在高考中自然也是熱門的考察方向，特別是在2019，2020年連續(xù)兩年出現(xiàn)在全國(guó)三卷的試題中后，再一次引起了研究熱潮.本講從三次函數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā)，展示其重要的一些應(yīng)用手法.【知識(shí)精講】對(duì)于三次函數(shù)而言，其導(dǎo)函數(shù)為一個(gè)二次函數(shù)，那么根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)的基本性質(zhì)，可將三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)梳理如下：一、三次函數(shù)根的個(gè)數(shù)對(duì)于三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，二次函數(shù)的判別式化簡(jiǎn)為：△=，【【根的個(gè)數(shù)（）】（1）若，則恰有一個(gè)實(shí)根；（2）若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；（3）若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（4）若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.【注意】由圖像可知：①含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號(hào)），所以（或，且）.②有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）③有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).故且.二、三次函數(shù)的單調(diào)性與極值三次函數(shù)（）,導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，二次函數(shù)的判別式化簡(jiǎn)為：△=，【單調(diào)性與極值】【單調(diào)性與極值】（1）若，則在上為增函數(shù)；（2）若，則在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中分別為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).【證明】,△=，（1）當(dāng)即時(shí)，在R上恒成立，即在為增函數(shù).（2）當(dāng)即時(shí)，解方程，得由得或，在和上為增函數(shù).由得，在上為減函數(shù).總結(jié)以上得到結(jié)論:三次函數(shù)總結(jié)以上得到結(jié)論:三次函數(shù)（）（1）若，則在上無極值；（2）若，則在上有兩個(gè)極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.三、三次函數(shù)的對(duì)稱中心三次函數(shù)的對(duì)稱中心為點(diǎn)，該點(diǎn)是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，此點(diǎn)的橫坐標(biāo)也是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn).四、三次方程根與系數(shù)得關(guān)系（韋達(dá)定理）【韋達(dá)定理】【韋達(dá)定理】已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式有三個(gè)零點(diǎn),設(shè)為則所以由韋達(dá)定理可得，三次方程根與系數(shù)的關(guān)系：五、三次方程重根個(gè)數(shù)定理【重根定理】【重根定理】已知三次函數(shù)，過點(diǎn)做圖象的切線，則方程：①必有重根.進(jìn)一步，若切點(diǎn)為三次函數(shù)的對(duì)稱中心，則方程①的根為三重根，若切點(diǎn)不是三次函數(shù)的對(duì)稱中心，則方程①必有一根為二重根.【證明】設(shè)三次函數(shù)，則過點(diǎn)做三次函數(shù)的切線方程為：.聯(lián)立上述兩式，即：可得：，進(jìn)一步整理可得：②顯然，必為方程②的一個(gè)根.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）另一方面，注意到：，則必為下面方程的一個(gè)根，于是，方程②的一個(gè)二重根.進(jìn)一步，當(dāng)為三次函數(shù)的對(duì)稱中心時(shí)，即，易得方程①的根為三重根.【注意】可以看到，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好便是方程①的二重根.【典例精講】題型一、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)【例【例1】（2019全國(guó)3卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，即，又因?yàn)?，所以無解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，解得，又因?yàn)?，所以無解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為即解得.綜上得或.題型二、三次函數(shù)切線問題【例【例2】已知函數(shù)在處取得極小值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）過點(diǎn)是否可以做曲線的三條切線，并說明理由.【解析】（1）.（2）設(shè)過點(diǎn)切線的切點(diǎn)為,則切線的斜率,所以切線的方程為.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）若切線過點(diǎn),則方程為①,將代入①,則,則，即,故,可得,,所以切點(diǎn)有3個(gè),所以過點(diǎn)可作曲線的三條切線.【點(diǎn)睛】1.過三次函數(shù)圖象上一點(diǎn)做該函數(shù)圖象的切線.（1）過三次函數(shù)的對(duì)稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一條；（2）過三次曲線上除對(duì)稱中心的任一點(diǎn)與該三次曲線相切的直線有二條.上述結(jié)論在前兩節(jié)已經(jīng)證明，此處不再贅述.過三次函數(shù)圖象所在平面區(qū)域上一點(diǎn)做該函數(shù)圖象的切線.如圖，設(shè)三次函數(shù)圖像在其對(duì)稱中心處的切線為，是三次函數(shù)圖像所在平面上的一點(diǎn)，則（1）過點(diǎn)在區(qū)域（II）（IV）能且僅能作的兩條切線.（2）若點(diǎn)在區(qū)域（I）（III）能且僅能作的三條切線.題型三、三次函數(shù)的零點(diǎn)問題下面這道題目是2020年三卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題，其實(shí)質(zhì)考察了三次函數(shù)的零點(diǎn)分布.但其卻具有非常豐厚的數(shù)學(xué)背景，即三次方程根的三角形式，也是此題的命題原理.【例【例3】（2020全國(guó)3卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.（1）求；（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于的零點(diǎn)，證明:所有的零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于.【解析】（1）因?yàn)?，由題意，，即,則.（2）由（1）可得，故，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.題型四、三次方程韋達(dá)定理同樣是2020年全國(guó)三卷23題，不等式選做題，可看作以三次方程根與系數(shù)的關(guān)系命制而成，下面在本題【點(diǎn)睛】中給出，希望各位讀者在高三備考時(shí)重視對(duì)三次方程根與系數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)程度，有備無患！【例【例4】（2020全國(guó)3卷）設(shè).證明：；用表示中的最大值，證明：.【解析】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法，.均不為，則，．［方法二］：消元法由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）又，所以．［方法三］：放縮法方式1：由題意知，又，故結(jié)論得證．方式2：因?yàn)?，所以．即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以．［方法四］：因?yàn)?，所以a，b，c必有兩個(gè)負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)則.［方法五］：利用函數(shù)的性質(zhì)方式1：，令，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像開口向下，又，所以，判別式，無根，所以，即．方式2：設(shè)，則有a，b，c三個(gè)零點(diǎn)，若，則為R上的增函數(shù)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)，所以．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法不妨設(shè)，因?yàn)椋?，則．故原不等式成立．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）［方法二］：不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，且則關(guān)于x的方程有兩根，其判別式，即．故原不等式成立．［方法三］：不妨設(shè)，則，關(guān)于c的方程有解，判別式，則．故原不等式成立．［方法四］：反證法假設(shè)，不妨令，則，又，矛盾，故假設(shè)不成立．即，命題得證．【點(diǎn)睛】（1）方法一：利用三項(xiàng)平方和的展開公式結(jié)合非零平方為正數(shù)即可證出，證法常規(guī)，為本題的通性通法，也是最優(yōu)解法；方法二：利用消元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可證出；方法三：利用放縮法證出；方法四：利用符號(hào)法則結(jié)合不等式性質(zhì)即可證出；方法五：利用函數(shù)的性質(zhì)證出．（2）方法一：利用基