573期【數(shù)列】當(dāng)數(shù)列遇到高斯函數(shù)高斯取整函數(shù)是一個極其重要的函數(shù)，它在高考，各地的模擬考試以及強(qiáng)基與競賽中都有大量出現(xiàn).在高考試題范圍內(nèi)，高斯取整函數(shù)多以新背景，新概念題目出現(xiàn)，僅僅考察其基本定義，例如2016年全國卷2的數(shù)列題目等，考生僅需把握基本定義就可以完成題目.而在強(qiáng)基和競賽中，對高斯函數(shù)的要求較高，需要充分了解其相關(guān)性質(zhì)。這一講就來講一講高斯函數(shù)的各種性質(zhì)，然后重點(diǎn)介紹其與數(shù)列結(jié)合的題目?！局R精講】一、高斯函數(shù)定義【高斯取整函數(shù)】【高斯取整函數(shù)】設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．由定義知道，，故，稱為的整數(shù)部分，稱為的小數(shù)部分，記作．【高斯函數(shù)圖像及小數(shù)部分圖像】取整函數(shù)的圖象.小數(shù)函數(shù)：的圖象性質(zhì)：=1\*GB3①定義域：；性質(zhì)：=1\*GB3①定義域：；=2\*GB3②值域：；=2\*GB3②值域：；=3\*GB3③圖象：臺階型線段.=3\*GB3③周期性：.二、高斯函數(shù)性質(zhì)【高斯取整函數(shù)8大基本性質(zhì)】【高斯取整函數(shù)8大基本性質(zhì)】性質(zhì)1：對任意的，都有且．性質(zhì)2：對任意的，都有．性質(zhì)3：對任意的，且，都有．性質(zhì)4：對任意的和，都有．性質(zhì)5：對任意的，都有．此結(jié)論可推廣到一般情況：．性質(zhì)6：若，則．性質(zhì)7：對任意的和，都有．性質(zhì)8：．【高斯函數(shù)性質(zhì)拓展】【高斯函數(shù)性質(zhì)拓展】性質(zhì)9：為正實(shí)數(shù)，為正整數(shù)，則不超過的所有正實(shí)數(shù)中，是的倍數(shù)的數(shù)共有個．性質(zhì)10：在的質(zhì)因數(shù)分解中，質(zhì)數(shù)的指數(shù)是．證明：因?yàn)闉橘|(zhì)數(shù)，所以中含的冪指數(shù)等于的各因數(shù)所含的冪指數(shù)之和,由性質(zhì)9,在中,有個的倍數(shù),有個的倍數(shù),有個的倍數(shù),…,因?yàn)?所以,所以性質(zhì)得證．【典例精講】【例【例1】(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如．（1）求；（2）求數(shù)列的前1000項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），，．（2）因?yàn)樗詳?shù)列的前項(xiàng)和為．【例【例2】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）求證；數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若表示不超過的最大整數(shù)，如，，求證：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【分析】(1)用替換給定關(guān)系式中，求出的關(guān)系，由此求出，進(jìn)而求得；(2)對進(jìn)行適當(dāng)放大為，再利用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和，再確定這個和所在區(qū)間即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時，，即，而，有，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列；，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時，，又滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為；（2），當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，所以對任意的，都有，又，所以.所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.【例【例3】在①；②；③是與的等比中項(xiàng)，三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.問題：已知為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為常數(shù)，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【分析】若選（1）先求，可得，進(jìn)而得，由基本量運(yùn)算可得；（2）由，可得解.若選（1）先求，可得，進(jìn)而得，由基本量運(yùn)算可得；（2）由，可得解.若選（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（1）先求，可得，進(jìn)而得，由基本量運(yùn)算可得；（2）由，可得解.【詳解】若選：由已知，所以通項(xiàng)，故不妨設(shè)的公差為.則解得所以由，則，，所以.若選：由已知，，通項(xiàng)故.不妨設(shè)的公差為，則，解得所以.由，則，，所以.若選：由已知，所以通項(xiàng)，故（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）不妨設(shè)的公差為.則，因?yàn)榻獾盟?由則，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵一是利用基本量運(yùn)算求解通項(xiàng)公式，二是根據(jù)判斷的值.【例【例4】已知是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根，記，其中表示不超過的最大整數(shù)且若.恒成立，求：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先令，根據(jù)所給方程，得到，構(gòu)造函數(shù)，確定，再討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，結(jié)合題中條件，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，利用分組求和的方法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根，令，則，所以，記，顯然單調(diào)遞增，且，，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；綜上，；（2）由（1）可得，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于由是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根，求出的范圍，利用，通過討論的奇偶，得出數(shù)列通項(xiàng)，即可求解.【例【例5】為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.（1）求，，；（2）求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【答案】（1），，；（2）4956.【解析】（1）由，求得，再根據(jù)求得，再根據(jù)求解.（2）由，分，，，求解.【詳解】（1）由題意得，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又因?yàn)椋?所以.所以.所以，，.（2），當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解的含義，由確定取值的分類標(biāo)準(zhǔn).【例【例6】數(shù)列中，，，設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過的最大的整數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2021．【分析】(1)將兩邊都加，證明是常數(shù)即可；(2)求出的通項(xiàng)，利用錯位相減法求解即可；(3)先求出，再求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）將兩邊都加，得，而，即有，又，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，則，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，則，因此，，所以不超過的最大的整數(shù)是2021．【提升訓(xùn)練】1．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.（表示不超過的最大整數(shù)）2．已知為等比數(shù)列，，，分別是下表第一、二、三行中的數(shù)，且，，中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列，為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，．第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，其中是高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）3．已知公差不為的等差數(shù)列，滿足，，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．高斯函數(shù)中用表示不超過的最大整數(shù)，對應(yīng)的為的小數(shù)部分，已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減．（1）若數(shù)列，其前項(xiàng)為，求．（2）若數(shù)列（即為的小數(shù)部分），求的最大值．5．等差數(shù)列中，，.（1）求的前n項(xiàng)和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前8項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.6．已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值．7．在①，；②公差為2，且，，成等比數(shù)列；③；三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．問題：已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過x的最大整數(shù)，求的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．8．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當(dāng)時，求n的值．9．已知公差不為0的等差數(shù)列，，．記，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.7]=0，[1.9]=1．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前101項(xiàng)和．10．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求證；數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）(2)若表示不超過的最大整數(shù)，如，求的值.11．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)的和．注．表示不超過x的最大整數(shù)．12．已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前9項(xiàng)的和．（注：表示不超過x的最大整數(shù)）13．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）(1)求，，；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，令，其中表示不超過的最大整數(shù)，，.（1）求；（2）求；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和.15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若表示不超過x的最大整數(shù)，如，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.參考答案：1．(1)；(2)3186.【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列求得公比，再結(jié)合首項(xiàng)直接寫出通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)的定義，求出，再并項(xiàng)求和即可求得結(jié)果.(1)因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即，設(shè)的公比為，則，所以.(2)依題意，，則.2．(1)，(2)147【分析】（1）觀察表格易知，，，進(jìn)而得的通項(xiàng)公式；根據(jù)等差數(shù)列基本量的運(yùn)算即可得的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算以及高斯函數(shù)的概念即可得結(jié)果.(1)由題意知，，所以等比數(shù)列的公比，設(shè)等差數(shù)列公差為，則，所以，所以，，(2)（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）3．(1)(2)8809【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算以及取整的概念找出規(guī)律，即可求出結(jié)果.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，解得，所以，故的通項(xiàng)公式為，(2)由（1）知，則，當(dāng)時，，則，共2項(xiàng)，當(dāng)時，，則，共6項(xiàng)，當(dāng)時，，則，共34項(xiàng)，當(dāng)時，，則，共166項(xiàng)，當(dāng)時，，則，共833項(xiàng)，當(dāng)時，，則，共4165項(xiàng)，因此前項(xiàng)中有2個0，6個1，34個2，166個3，833個4，981個5，則前項(xiàng)的和為.4．（1）3；（2）．【分析】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和為可求出其通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，，即可得到當(dāng)時，，然后分別求出，即可求出；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）由（1）可知，當(dāng)時，，所以，由單調(diào)性可知此時最大為，再分別求出，即可得到的最大值．【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時也滿足，所以，即．∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，．∴當(dāng)時，，∴，，，．∴．（2）由（1）可知當(dāng)時，．∴當(dāng)時，，又∵，，，，∴的最大值為．5．（1）；（2）16.【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，再求出等差數(shù)列的公差為，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的前n項(xiàng)和；根據(jù)，列出的前8項(xiàng)，相加可得答案.【詳解】（1），，即，又，，，，，（2）由（1）得：，，，，，，，，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），，，數(shù)列的前8項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛：等差數(shù)列中，若，則.6．(1)(2)61【分析】（1）設(shè)出公差，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，求出通項(xiàng)公式；（2）利用對數(shù)運(yùn)算和取整函數(shù)，得到，分組求和即可.（1）設(shè)數(shù)列為公差為，，，∴∴∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），則，，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，此時.所以，，故7．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】選①（1）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式列方程組解得和后可得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求出，然后求和．選②（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（1）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得后可得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求出，然后求和．選③（1）利用和求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求出，然后求和．(1)選①：設(shè)的公差為d，則由已知可得，解得，故的通項(xiàng)公式為選②：因?yàn)椋?，，由題意得，解得，所以的通項(xiàng)公式為選③：當(dāng)時，當(dāng)時，，符合所以的通項(xiàng)公式為(2)選①由知，，所以選②由知所以選③（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）由知所以8．(1)(2)10【分析】（1）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得公差，可得通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)相消法求和求得，根據(jù)新定義求得，然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計算后解方程可得．(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，則．

因?yàn)?，則，得．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(2)因?yàn)?，則

所以．

當(dāng)時，因?yàn)?，則．

當(dāng)時，因?yàn)?，則．

因?yàn)椋瑒t，即，即，即．因?yàn)椋?．(1)（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）(2)192【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量計算出首項(xiàng)和公差，求出通項(xiàng)公式；（2）解不等式得到，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而求出前101項(xiàng)和.(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，，又，故

，即，所以，解得：或0（舍去），求得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)，令得：，令，解得：，令，解得：，當(dāng)時，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，設(shè)的前n項(xiàng)和為，所以.10．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）用替換給定關(guān)系中的，求出，由此求出進(jìn)而求出.（2）對適當(dāng)放大為，再利用裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和，再確定這個和所在區(qū)間即可得解.（1）因?yàn)椋援?dāng)時，，即，而，有，所以（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列；，則當(dāng)時，，又滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.（2），當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，所以對任意的，都有，又，所以.所以.11．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于公差d，公比q的方程組，再解方程組作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出數(shù)列的前10項(xiàng)，再借助錯位相減法計算作答.(1)設(shè)的公差為d，的公比為q，由得：，而，，解得，，于是得，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.(2)由（1）知，，則有，依題意，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）令，則，兩式相減得：，所以，即．12．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)所給的條件列方程即可求解；（2）根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分別求出求和即可.（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，由得，而，，解得，