578期【導(dǎo)數(shù)】四省聯(lián)考的橢圓曲線加密算法是個啥？昨天，眾多高考數(shù)學(xué)群被一份試卷刷屏了！它就是網(wǎng)傳由教育部直接命題的2023年四省（吉林、黑龍江、安徽、云南）高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（新II卷），簡稱“四省聯(lián)考”。記得上一場具有如此熱度的模考卷，還是同屬于教育部命制的2021年八省聯(lián)考（新I卷）試題。這兩份試卷的熱度來源是一致的，都是兩個重要維度共同作用的結(jié)果：權(quán)威命題與新穎試題。眾多老師和同學(xué)對這份試題的感覺都是“新”、“難”、“怪”，不過有這種感受也屬正常。因為看看這份試題的第22題便知“怪”在何處了——導(dǎo)數(shù)壓軸以橢圓曲線為背景、閱讀量劇增、刻意引入題目應(yīng)用背景。今天這一講就來看一看這道怪題，先分析此題，后拓展這道題的應(yīng)用背景——什么是橢圓曲線加密算法?！尽舅氖。?、黑龍江、安徽、云南）高考適應(yīng)性考試】22．（12分）橢圓曲線加密算法運用于區(qū)塊鏈．橢圓曲線C＝{(x，y)|EQy\S(2)＝EQx\S(3)＋ax＋b，4EQa\S(3)＋27EQb\S(2)＝0}．P∈C關(guān)于x軸的對稱點記為EQ\o\ac(\S\UP2(~),P)．C在點P(x，y)(y≠0)處的切線是指曲線y＝±eq\r(x3＋ax＋b)在點P處的切線．定義“⊕”運算滿足：①若P∈C，Q∈C，且直線PQ與C有第三個交點R，則P⊕Q＝EQ\o\ac(\S\UP2(~),R)；②若P∈C，Q∈C，且PQ為C的切線，切點為P，則P⊕Q＝EQ\o\ac(\S\UP2(~),P)；③若P∈C，規(guī)定P⊕EQ\o\ac(\S\UP2(~),P)＝EQ0\S(*)，且P⊕EQ0\S(*)＝EQ0\S(*)⊕P＝P．（1）當(dāng)4EQa\S(3)＋27EQb\S(2)＝0時，討論函數(shù)h(x)＝EQx\S(3)＋ax＋b零點的個數(shù)；（2）已知“⊕”運算滿足交換律、結(jié)合律，若P∈C，Q∈C，且PQ為C的切線，切點為P，證明：P⊕P＝EQ\o\ac(\S\UP2(~),Q)；（3）已知P(EQx\S\DO(1)，EQy\S\DO(1))∈C，Q(EQy\S\DO(2)，EQx\S\DO(2))∈C，且直線PQ與C有第三個交點，求P⊕Q的坐標(biāo)．參考公式：EQm\S(3)－EQn\S(3)＝(m－n)(EQm\S(2)＋mn＋EQn\S(2))【知識精講】一、關(guān)于此題的分析（1）由題設(shè)可知，有，解得，解得．當(dāng)時，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增。當(dāng)，所以有2個零點．當(dāng)，所以有2個零點．當(dāng)，有，則有1個零點．（2）因為為C在點P處的切線，且，所以，，由題設(shè)可知．，所以，故．（3）直線的斜率，設(shè)與C的第三個交點為，則，代入得，代入得，同理可得，兩式相減得，因此的坐標(biāo)為．二、什么是橢圓曲線加密算法？橢圓曲線可以簡單的理解為公式：這是一個數(shù)學(xué)公式，它的理論基礎(chǔ)要從平行線談起。數(shù)學(xué)上人們認為的平行線永不相交，這在某種程度上是無法驗證的，因為沒有一個無限遠處的概念，假設(shè)平行線在無限遠處相交，這樣的好處是所有的直接都有且只有一個焦點，那么基于這個事實，我們中學(xué)學(xué)過的笛卡爾平面直角坐標(biāo)系可以映射出另外一個平面坐標(biāo)系：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）假設(shè)平面直角坐標(biāo)系中有點,我們定義,,；那么聯(lián)立方程：，可以計算出；所以我們新的坐標(biāo)系中的點可以表示為：；這是橢圓曲線建立的坐標(biāo)系基礎(chǔ)。下面再看橢圓曲線的定義：數(shù)學(xué)把滿足Weierstrass方程的曲線稱為橢圓曲線【【W(wǎng)eierstrass方程】，且，該方程稱為橢圓曲線的Weierstrass方程。這個方程的曲線生成的圖像有很多，這里只介紹形如：的形式，因為這種情況下的橢圓曲線才適合加密，例如的曲線如下：需要注意的是橢圓曲線都是關(guān)于軸對稱的?？梢愿淖兌喔淖兊闹祦戆l(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)家在這個曲線上定義了一種橢圓曲線的加法，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）【定義】已知橢圓曲線，【定義】已知橢圓曲線，關(guān)于軸的對稱點記為。定義“”運算滿足：①若，，且直線與有第三個交點，則；②若，，且為的切線，切點為，則；③若，規(guī)定，且．在上面定義的公式在曲線圖中：顯然這并不是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)上的加法，運算法則圖形解釋：任意取橢圓曲線上兩點、（若、兩點重合，則做點的切線）做直線交于橢圓曲線的另一點，過做軸的平行線交于。我們規(guī)定，即。具體說來，取曲線上兩個點、，連接、的直線與曲線第三個交點（其存在可由韋達定理推出）記為。不難看出曲線關(guān)于x軸對稱，的對稱點就記為。這樣粗糙的討論可能會有問題，因為可能會出現(xiàn)圖中2,3,4的情況，2的情況把看成2重點即可，而3的情況迫使我們引入無窮遠點，規(guī)定此時和為,而如果、重合，那么我們就取切線。定義保證如下性質(zhì)：（關(guān)注微信公眾號：