603期【導(dǎo)數(shù)】青島一模導(dǎo)數(shù)壓軸卻考出了解析幾何的味道！作為新高考的省份，山東?？碱}很會推陳出新！比如今天講的這道題，青島一模導(dǎo)數(shù)壓軸雖然考的是老生常談的公切線問題，但是其卻結(jié)合了解析幾何，表面上是已知對數(shù)曲線與圓的公切線條數(shù)求參數(shù)范圍，但最終卻可以轉(zhuǎn)化為曲線與雙曲線公切線問題，原題如下圖?！尽?023年青島一模T22】已知函數(shù)，圓.若，寫出曲線與圓的一條公切線的方程（無需證明）若曲線與圓恰有三條公切線。（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┳C明：曲線上存在點(diǎn)，對任意，【精講】對于第（1）題，即可對于第（2）題（?。﹩?，是典型的已知公切線條數(shù)求參數(shù)范圍問題。這種問題一般是轉(zhuǎn)化為關(guān)于公切線斜率的方程根的個數(shù)問題?？梢栽O(shè)曲線與圓公切線為，（顯然存在）因為與相切，則，所以切點(diǎn)為，所以公切線又可以表示為，即，所以因為與圓相切，所以，即因此可以得到關(guān)于公切線斜率的方程：，且該方程有三個根。到這里，以上都是公切線問題的常規(guī)處理方法，接下來就是分析參數(shù)，使得方程有三個根。參考答案的思路是再將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，然后分類討論，然而這樣處理討論會涉及到隱零點(diǎn)不可求，需要掌握一定的找點(diǎn)卡根技巧，步驟很長且不容易得到想要的結(jié)果！但是，這時如果再結(jié)合第（ⅱ）問題設(shè)，我們可以將方程再轉(zhuǎn)化為曲線與曲線交點(diǎn)而曲線雙曲線。這樣原問題就轉(zhuǎn)化為曲線與雙曲線交點(diǎn)個數(shù)為三個，求的取值范圍。由圖像可知，曲線與雙曲線下支一定存在一個交點(diǎn)，如下圖。這樣只要曲線與雙曲線上支存在兩個交點(diǎn)即可。雙曲線上支是下凹的，而曲線是上凸的，這樣一定存在一個臨界值使得曲線與雙曲線上支有一個公切線（如上圖紅線），當(dāng)參數(shù)超過這個臨界時，一定存在兩個交點(diǎn)。因此，該題的關(guān)鍵就在于求曲線與雙曲線上支存在公切線時，的值。求公切線的一般方法是設(shè)切點(diǎn)，公切線與曲線相切，則，所公切線可設(shè)為。又公切線與雙曲線相切，則由極點(diǎn)極線理論可知公切線方程為，則，即，又切點(diǎn)在上，則，聯(lián)立解得因此公切線為，所以當(dāng)時，曲線與雙曲線上支存在公切線，也即曲線與圓有三條