高中物理機(jī)械能守恒專題練習(xí)機(jī)械能守恒定律是高中物理力學(xué)部分的核心內(nèi)容之一，它不僅揭示了自然界中能量轉(zhuǎn)化與守恒的基本規(guī)律，也是解決許多復(fù)雜物理問題的有力工具。掌握這一定律，關(guān)鍵在于深刻理解其成立條件，并能準(zhǔn)確判斷在何種情境下可以應(yīng)用。本次專題練習(xí)將圍繞機(jī)械能守恒的條件、表達(dá)式及應(yīng)用展開，幫助同學(xué)們鞏固基礎(chǔ)，提升解題能力。一、機(jī)械能守恒定律要點(diǎn)回顧在開始練習(xí)之前，我們先來簡要回顧一下機(jī)械能守恒定律的核心內(nèi)容。1.守恒條件：機(jī)械能守恒的嚴(yán)格條件是：只有重力或彈力做功。這里的“彈力”特指像彈簧這類能夠儲(chǔ)存彈性勢(shì)能的物體所施加的力。需要特別注意的是，“只有重力或彈力做功”并不意味著物體只受重力或彈力，物體可以受其他力，但這些其他力必須不做功，或者做功的代數(shù)和為零。2.表達(dá)式：機(jī)械能守恒定律常見的表達(dá)式有以下幾種形式：*E??+E??=E??+E??：即系統(tǒng)在初狀態(tài)的動(dòng)能與勢(shì)能之和等于末狀態(tài)的動(dòng)能與勢(shì)能之和。這里的勢(shì)能可以是重力勢(shì)能，也可以是彈性勢(shì)能，或者兩者皆有。*ΔE?=-ΔE?：即系統(tǒng)動(dòng)能的增加量等于勢(shì)能的減少量（或動(dòng)能的減少量等于勢(shì)能的增加量），體現(xiàn)了動(dòng)能與勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化。*ΔE?=-ΔE?：若系統(tǒng)由多個(gè)物體組成，則其中一個(gè)物體機(jī)械能的增加量等于另一個(gè)（或幾個(gè)）物體機(jī)械能的減少量。這種表達(dá)式常用于分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)。3.應(yīng)用要點(diǎn)：應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題時(shí)，一般步驟為：1.確定研究對(duì)象和研究過程：明確是單個(gè)物體還是物體系（系統(tǒng)）。2.進(jìn)行受力分析，判斷守恒條件：分析物體或系統(tǒng)在過程中受哪些力，各力是否做功，判斷是否滿足機(jī)械能守恒條件。3.選取零勢(shì)能參考平面：通常選取初始位置或末位置，或運(yùn)動(dòng)軌跡的最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，以簡化計(jì)算。彈性勢(shì)能的零點(diǎn)一般選在彈簧原長處。4.寫出初、末狀態(tài)的機(jī)械能表達(dá)式。5.根據(jù)守恒定律列方程，并求解。二、專題練習(xí)（一）單個(gè)物體的機(jī)械能守恒這類問題通常涉及物體在重力場或彈力場中的運(yùn)動(dòng)，如自由落體、拋體運(yùn)動(dòng)、沿光滑曲面滑動(dòng)、彈簧振子等。例題1：一個(gè)質(zhì)量為m的小球，從離地面高度為h的A點(diǎn)由靜止開始下落，不計(jì)空氣阻力。求小球落到地面B點(diǎn)時(shí)的速度大小。分析與解答：研究對(duì)象為小球。從A到B的過程中，小球只受重力作用，空氣阻力不計(jì)，滿足機(jī)械能守恒條件。選地面B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)。初狀態(tài)（A點(diǎn)）：動(dòng)能E??=0，重力勢(shì)能E??=mgh，機(jī)械能E?=mgh。末狀態(tài)（B點(diǎn)）：動(dòng)能E??=(1/2)mv2，重力勢(shì)能E??=0，機(jī)械能E?=(1/2)mv2。由機(jī)械能守恒定律E?=E?得：mgh=(1/2)mv2解得：v=√(2gh)例題2：如圖所示，一光滑曲面固定在水平地面上，曲面頂端A點(diǎn)距地面高度為H。一小滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，沿曲面滑下，最終滑至水平地面上的B點(diǎn)。已知A點(diǎn)高度為H，求滑塊滑到B點(diǎn)時(shí)的速度大?。ú挥?jì)空氣阻力）。分析與解答：研究對(duì)象為小滑塊?；瑝K在曲面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，受重力、曲面的支持力。支持力始終垂直于滑塊的運(yùn)動(dòng)方向，因此不做功。只有重力做功，機(jī)械能守恒。選地面B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)。初狀態(tài)（A點(diǎn)）：E??=0，E??=mgH，E?=mgH。末狀態(tài)（B點(diǎn)）：E??=(1/2)mv2，E??=0，E?=(1/2)mv2。由機(jī)械能守恒定律：mgH=(1/2)mv2解得：v=√(2gH)*思考：本題中滑塊在曲面上的路徑是曲線，但若用牛頓定律求解會(huì)非常復(fù)雜，而機(jī)械能守恒定律只關(guān)注初末狀態(tài)，巧妙地避開了對(duì)中間復(fù)雜過程的分析，體現(xiàn)了其優(yōu)越性。*（二）連接體（系統(tǒng)）的機(jī)械能守恒當(dāng)研究對(duì)象是由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)時(shí)，判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒，需要看系統(tǒng)內(nèi)部及系統(tǒng)與外界之間的做功情況。若系統(tǒng)內(nèi)只有重力、彈力做功，且系統(tǒng)外力不做功或做功代數(shù)和為零，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。例題3：如圖所示，質(zhì)量分別為m?和m?（m?>m?）的兩個(gè)物塊，用一不可伸長的輕繩跨過一光滑定滑輪相連。開始時(shí)，m?靜止在地面上，m?離地面高度為h。現(xiàn)將系統(tǒng)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力及繩與滑輪間的摩擦。求m?下落到地面時(shí)，m?的速度大小。分析與解答：研究對(duì)象為m?和m?組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)受到的外力有：兩物塊的重力m?g、m?g，以及滑輪對(duì)繩的作用力（外力）?；唽?duì)繩的作用力不做功，因?yàn)槔K在該力的作用點(diǎn)沒有位移。系統(tǒng)內(nèi)力為繩的拉力，拉力對(duì)m?做正功，對(duì)m?做負(fù)功，但其代數(shù)和為零（因?yàn)檩p繩不可伸長，兩物塊位移大小相等，拉力大小相等）。因此，整個(gè)系統(tǒng)只有重力做功，機(jī)械能守恒。選地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)。初狀態(tài)時(shí)，m?在地面，E???=0，E???=0；m?在高度h處，E???=m?gh，E???=0。系統(tǒng)初態(tài)機(jī)械能E?=m?gh。末狀態(tài)時(shí)，m?落到地面，E???=0，E???=(1/2)m?v2；m?上升高度h，E???=m?gh，E???=(1/2)m?v2。系統(tǒng)末態(tài)機(jī)械能E?=(1/2)m?v2+m?gh+(1/2)m?v2。由機(jī)械能守恒定律E?=E?得：m?gh=(1/2)m?v2+m?gh+(1/2)m?v2整理得：(m?-m?)gh=(1/2)(m?+m?)v2解得：v=√[2(m?-m?)gh/(m?+m?)]（注意：由于m?>m?，這里的表達(dá)式根號(hào)下應(yīng)為正值，實(shí)際計(jì)算時(shí)取絕對(duì)值理解其大?。ㄈ┖瑥椈傻臋C(jī)械能守恒問題彈簧的彈性勢(shì)能是機(jī)械能的重要組成部分。在涉及彈簧的問題中，當(dāng)只有重力和彈簧的彈力做功時(shí)，系統(tǒng)（物體、彈簧、地球）的機(jī)械能守恒。例題4：一輕質(zhì)彈簧豎直固定在水平地面上，彈簧的勁度系數(shù)為k。將一質(zhì)量為m的物體從彈簧正上方距離彈簧上端（自然長度時(shí)）高h(yuǎn)處由靜止釋放，物體下落并壓縮彈簧。不計(jì)空氣阻力，求物體能將彈簧壓縮的最大距離x。分析與解答：研究對(duì)象為物體和彈簧組成的系統(tǒng)（或物體、彈簧、地球組成的系統(tǒng)，考慮重力勢(shì)能）。物體從開始下落到將彈簧壓縮至最短的過程中，受重力和彈簧彈力。只有重力和彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。選彈簧原長時(shí)的上端位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，同時(shí)也為彈簧彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。初狀態(tài)：物體在距離彈簧上端h處，速度為0。此時(shí)彈簧無形變，彈性勢(shì)能E?彈?=0；物體重力勢(shì)能E?重?=mgh（因?yàn)槲矬w在零點(diǎn)上方h處）；動(dòng)能E??=0。系統(tǒng)總機(jī)械能E?=mgh。末狀態(tài)：物體將彈簧壓縮至最大距離x，此時(shí)物體速度為0（瞬時(shí)靜止）。彈簧彈性勢(shì)能E?彈?=(1/2)kx2；物體位置在零點(diǎn)下方x處，重力勢(shì)能E?重?=-mgx；動(dòng)能E??=0。系統(tǒng)總機(jī)械能E?=(1/2)kx2-mgx。由機(jī)械能守恒定律E?=E?得：mgh=(1/2)kx2-mgx整理得：(1/2)kx2-mgx-mgh=0這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，解得：x=[mg±√(m2g2+2kmgh)]/k由于x為壓縮量，取正值，故x=[mg+√(m2g2+2kmgh)]/k*思考：本題若選擇物體壓縮彈簧至最低點(diǎn)時(shí)的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，方程形式會(huì)有所不同，但最終結(jié)果一致，同學(xué)們可以嘗試一下，體會(huì)參考平面選取的靈活性。*二、練習(xí)題請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成以下練習(xí)題，檢驗(yàn)自己的掌握程度。練習(xí)1：一個(gè)小球從半徑為R的光滑半圓形軌道的最高點(diǎn)A由靜止釋放，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，求小球滑到軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小和對(duì)軌道的壓力大小。練習(xí)2：質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球A、B，用一根長為L的輕桿相連，桿可繞其中點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)，桿處于水平位置，由靜止釋放。求當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，小球A和小球B的速度大小。練習(xí)3：在光滑的水平面上，有一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端連接一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊?，F(xiàn)用手將滑塊向左推，使彈簧壓縮x?，然后由靜止釋放。已知彈簧的勁度系數(shù)為k，求滑塊被釋放后能獲得的最大速度v???。練習(xí)4：如圖所示，傾角為θ的光滑斜面固定在水平地面上，斜面頂端有一光滑定滑輪。一輕繩跨過滑輪，兩端分別連接質(zhì)量為m?和m?的物塊（m?>m?），m?在斜面上，m?懸掛在空中。初始時(shí)，m?靜止在斜面上某點(diǎn)，m?離地面高度為h。現(xiàn)將系統(tǒng)由靜止釋放，不計(jì)滑輪質(zhì)量及一切摩擦。求m?下落到地面時(shí)的速度大小。三、練習(xí)解析與提示（以下為部分練習(xí)的簡要提示，詳細(xì)解析建議同學(xué)們自行完成后對(duì)照或與老師同學(xué)交流）練習(xí)1提示：小球在光滑軌道上運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒。選最低點(diǎn)B為重力勢(shì)能零點(diǎn)。A點(diǎn)勢(shì)能為mg(2R)，動(dòng)能為0；B點(diǎn)勢(shì)能為0，動(dòng)能為(1/2)mv2。求出速度后，在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律（向心力公式）求支持力，再由牛頓第三定律得壓力。練習(xí)2提示：兩球和桿組成的系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒。桿轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，A球下降L/2，B球上升L/2，且兩球的線速度大小相等（因?yàn)楣草S轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，半徑均為L/2）。設(shè)速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒列方程：mg(L/2)-mg(L/2)=(1/2)mv2+(1/2)mv2。注意初態(tài)兩球勢(shì)能之和與末態(tài)兩球勢(shì)能之和的差值。練習(xí)3提示：水平面上，只有彈簧彈力做功，滑塊和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒。彈簧壓縮量最大時(shí)彈性勢(shì)能最大，滑塊速度為0；彈簧恢復(fù)原長時(shí)，彈性勢(shì)能為0，滑塊動(dòng)能最大。因此有(1/2)kx?2=(1/2)mv???2。練習(xí)4提示：系統(tǒng)包括m?、m?和地球。m?沿斜面下滑距離h（因?yàn)閙?下降h），m?重力勢(shì)能減少m?ghsinθ，m?重力勢(shì)能減少m?gh，系統(tǒng)動(dòng)能增加(1/2)m?v2+(1/2)m?v2。注意m?的重力勢(shì)能變化是相對(duì)于其沿斜面的位移。四、總結(jié)與反思通過以上練習(xí)，我們可以看出，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的關(guān)鍵步驟是：1.明確研究對(duì)象和過程：是單個(gè)物體還是系統(tǒng)？過程的初末狀態(tài)是怎樣的？2.嚴(yán)格判斷守恒條件：這是能否應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的前提，務(wù)必仔細(xì)分析各力做功情況。3.靈活