高等數(shù)學(xué)（工專版）教學(xué)課件北京大學(xué)出版社2023年版吳紀(jì)桃漆毅編著目錄01函數(shù)與極限數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)概念，建立函數(shù)思維和極限理論的認識框架02導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)的核心內(nèi)容，掌握變化率的數(shù)學(xué)表達和計算方法03不定積分反導(dǎo)數(shù)的概念和計算技巧，為定積分學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)04定積分及其應(yīng)用積分學(xué)的實際應(yīng)用，解決面積、體積等幾何問題05空間解析幾何三維空間的數(shù)學(xué)描述，建立空間想象能力06向量代數(shù)基礎(chǔ)向量運算的基本理論，工程中的重要數(shù)學(xué)工具07常微分方程簡介微分方程的基本概念，連接數(shù)學(xué)理論與實際問題復(fù)習(xí)與總結(jié)第一章函數(shù)與極限（1）函數(shù)的概念與表示方法函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，描述兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。我們將學(xué)習(xí)函數(shù)的定義、定義域、值域等基礎(chǔ)概念，以及函數(shù)的圖像表示、解析表示和表格表示方法。重要初等函數(shù)介紹掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等重要初等函數(shù)的性質(zhì)、圖像特征和基本運算規(guī)律，為后續(xù)學(xué)習(xí)建立堅實基礎(chǔ)。極限的定義與性質(zhì)極限是微積分學(xué)的核心概念，描述函數(shù)在某點附近的變化趨勢。學(xué)習(xí)ε-δ定義、極限的性質(zhì)和基本定理，建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析思維。函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性函數(shù)的單調(diào)性描述函數(shù)值隨自變量變化的增減趨勢，是判斷函數(shù)性質(zhì)的重要指標(biāo)。奇偶性反映函數(shù)圖像的對稱特征，周期性描述函數(shù)的重復(fù)規(guī)律。單調(diào)遞增：f(x?)<f(x?)當(dāng)x?<x?偶函數(shù)：f(-x)=f(x)周期函數(shù)：f(x+T)=f(x)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)是函數(shù)運算的重要形式，反函數(shù)描述原函數(shù)的逆向?qū)?yīng)關(guān)系。掌握這些概念對理解函數(shù)間的相互關(guān)系具有重要意義。復(fù)合函數(shù)：f(g(x))反函數(shù)：y=f(x)?x=f?1(y)例題：求函數(shù)的定義域與值域通過具體例題分析，掌握確定函數(shù)定義域和值域的系統(tǒng)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)分析能力。極限的計算技巧極限的四則運算當(dāng)兩個函數(shù)的極限都存在時，它們的和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商。掌握這一基本性質(zhì)是進行極限計算的前提條件。lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)(當(dāng)limg(x)≠0)無窮小與無窮大比較理解無窮小量與無窮大量的概念，掌握它們的階的比較方法。這對處理不定式極限計算具有重要意義，是洛必達法則應(yīng)用的基礎(chǔ)。夾逼定理應(yīng)用夾逼定理是計算極限的重要方法，特別適用于處理含有振蕩函數(shù)的極限問題。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳辖绾拖陆绾瘮?shù)來確定極限值。極限過程示意圖上圖展示了函數(shù)在某點處的極限過程。當(dāng)自變量x無限接近x?時，函數(shù)值f(x)趨近于極限值L。這種直觀的幾何解釋幫助我們理解極限的本質(zhì)含義。左極限當(dāng)x從左側(cè)趨近x?時，函數(shù)f(x)的趨近值右極限當(dāng)x從右側(cè)趨近x?時，函數(shù)f(x)的趨近值雙側(cè)極限左極限和右極限相等時，函數(shù)在該點的極限存在第二章導(dǎo)數(shù)與微分（1）導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某點處變化率的精確數(shù)學(xué)描述，定義為函數(shù)值增量與自變量增量比值的極限。從幾何角度看，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)曲線在該點處切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時速度在物理學(xué)中，導(dǎo)數(shù)描述物體運動的瞬時速度。位移函數(shù)s(t)的導(dǎo)數(shù)s'(t)就是速度v(t)，速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)v'(t)就是加速度a(t)。基本求導(dǎo)公式(x^n)'=nx^(n-1)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(e^x)'=e^x(lnx)'=1/x導(dǎo)數(shù)的運算法則和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和差：(u±v)'=u'±v'乘積法則：(uv)'=u'v+uv'商的導(dǎo)數(shù)：(u/v)'=(u'v-uv')/v2鏈?zhǔn)椒▌t詳解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)遵循鏈?zhǔn)椒▌t，這是微分學(xué)中最重要的求導(dǎo)技巧之一。如果y=f(u)，u=g(x)，則dy/dx=(dy/du)·(du/dx)。記憶口訣：從外到內(nèi)，逐層求導(dǎo)例題：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求y=sin(x2)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)u=x2，則y=sinudy/dx=(dy/du)·(du/dx)=cosu·2x=2xcos(x2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性判斷利用導(dǎo)數(shù)正負性判斷函數(shù)的單調(diào)性f'(x)>0，函數(shù)遞增f'(x)<0，函數(shù)遞減f'(x)=0，可能的極值點極值與最值問題通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值必要條件：f'(x?)=0充分條件：二階導(dǎo)數(shù)判別法實際應(yīng)用：優(yōu)化問題求解切線與法線方程利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線的切線和法線切線方程：y-y?=f'(x?)(x-x?)法線方程：y-y?=-1/f'(x?)(x-x?)函數(shù)曲線與切線示意圖此圖清晰展示了函數(shù)曲線上一點的切線。切線的斜率等于函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義的直觀體現(xiàn)。通過觀察不同點處切線斜率的變化，我們可以理解函數(shù)的變化特征。1切點坐標(biāo)確定曲線上需要求切線的具體點(x?,y?)2計算導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)在點x?處的導(dǎo)數(shù)值f'(x?)3寫出方程利用點斜式寫出切線方程：y-y?=f'(x?)(x-x?)第三章不定積分不定積分的概念與性質(zhì)不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運算，也稱為反導(dǎo)數(shù)。如果F'(x)=f(x)，則F(x)稱為f(x)的一個原函數(shù)，f(x)的不定積分記作∫f(x)dx=F(x)+C。不定積分的基本性質(zhì)包括線性性質(zhì)和分解性質(zhì)，這些性質(zhì)是積分計算的基礎(chǔ)?；痉e分公式掌握基本函數(shù)的積分公式是進行積分計算的前提。這些公式包括冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的積分形式?！襵^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C∫sinxdx=-cosx+C∫e^xdx=e^x+C積分方法換元積分法通過變量替換簡化積分計算分部積分法處理兩個函數(shù)乘積的積分典型不定積分例題多項式函數(shù)積分多項式函數(shù)的積分是最基礎(chǔ)的積分類型。利用冪函數(shù)的積分公式和線性性質(zhì)，可以逐項積分得到結(jié)果。例如：∫(3x2-2x+1)dx=x3-x2+x+C三角函數(shù)積分三角函數(shù)積分需要熟記基本公式，有時需要利用三角恒等式進行變形。常用技巧包括降冪公式、積化和差公式等。掌握sinx、cosx、tanx等基本三角函數(shù)的積分。指數(shù)與對數(shù)函數(shù)積分指數(shù)函數(shù)e^x的積分等于自身，對數(shù)函數(shù)的積分需要使用分部積分法。這類函數(shù)在實際應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，需要重點掌握其積分技巧和計算方法。第四章定積分及其應(yīng)用（1）01定積分的定義與幾何意義定積分是函數(shù)在某個區(qū)間上的"總量"概念，幾何上表示曲線與x軸之間的有向面積。通過分割、求和、取極限的過程來嚴(yán)格定義。02牛頓-萊布尼茲公式這是連接定積分與不定積分的橋梁公式：∫??f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函數(shù)。這個公式極大簡化了定積分的計算。03定積分的計算方法除了基本公式外，還需掌握換元法、分部積分法在定積分中的應(yīng)用，以及處理含有絕對值、分段函數(shù)的定積分計算技巧。定積分的應(yīng)用面積計算利用定積分計算平面圖形面積是最直接的應(yīng)用。包括曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積、兩曲線之間的面積等。需要注意函數(shù)正負性對面積計算的影響。旋轉(zhuǎn)體體積當(dāng)平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時形成旋轉(zhuǎn)體，其體積可通過定積分計算。圓盤法和環(huán)形法是兩種基本計算方法，適用于不同的旋轉(zhuǎn)情況?；￠L與物理應(yīng)用定積分在計算曲線弧長、物理中的功、液體壓力等問題中有廣泛應(yīng)用。這些應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理、工程的密切聯(lián)系。定積分幾何意義示意圖上圖生動展示了定積分的幾何意義。陰影部分的面積等于定積分∫??f(x)dx的值。當(dāng)函數(shù)在某些區(qū)間為負值時，該部分對積分貢獻負面積，這是理解定積分概念的關(guān)鍵。上和用矩形上邊界逼近曲線，所得面積總是大于等于真實面積下和用矩形下邊界逼近曲線，所得面積總是小于等于真實面積極限過程當(dāng)分割越來越細時，上和與下和的極限值相等，即為定積分值第五章空間解析幾何基礎(chǔ)空間直角坐標(biāo)系三維空間中的點用三個坐標(biāo)(x,y,z)表示，建立了空間位置的數(shù)量描述方法。右手定則確定坐標(biāo)系的方向，是空間幾何分析的基礎(chǔ)框架?？臻g點的表示方法坐標(biāo)軸的相互關(guān)系象限和卦限的劃分空間向量的概念空間向量既有大小又有方向，是描述空間幾何關(guān)系的重要工具。向量的表示方法包括坐標(biāo)表示和幾何表示，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。向量的模長計算方向角和方向余弦單位向量的概念平面與直線的方程空間中平面和直線的方程表示是解析幾何的核心內(nèi)容。掌握各種形式的方程及其相互轉(zhuǎn)換，為解決空間幾何問題提供計算工具。平面的一般方程直線的參數(shù)方程位置關(guān)系的判斷空間幾何體的性質(zhì)例題：空間點到平面距離點P(x?,y?,z?)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離公式：1球面、橢球面、圓錐面等空間中的二次曲面是重要的幾何對象，包括球面、橢球面、雙曲面、拋物面等。每種曲面都有特定的方程形式和幾何性質(zhì)。球面方程：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r22距離與角度計算空間中兩點間距離、點到直線距離、點到平面距離的計算公式是解決空間幾何問題的基本工具。角度計算包括線線角、線面角、面面角。兩點距離：d=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2+(z?-z?)2]第六章向量代數(shù)基礎(chǔ)向量的運算（加法、數(shù)乘）向量加法遵循平行四邊形法則或三角形法則，數(shù)乘運算改變向量的大小和方向。這些基本運算是向量代數(shù)的基礎(chǔ)。點積與叉積向量點積（數(shù)量積）結(jié)果為標(biāo)量，幾何意義為投影長度的乘積。向量叉積（向量積）結(jié)果為向量，方向垂直于原兩向量組成的平面。向量的幾何意義與應(yīng)用向量不僅是數(shù)學(xué)工具，更在物理學(xué)、工程學(xué)中有廣泛應(yīng)用。力的合成、速度疊加、空間定位等都需要向量方法。向量應(yīng)用實例判斷共線與共面兩向量共線的條件是它們成比例，即存在實數(shù)k使得a?=ka?。三向量共面的條件是其中一個向量可以用另外兩個向量線性表示，或者它們的混合積為零。共線：a?=kb?（k≠0）共面：a?·(b?×c?)=0計算平面法向量平面的法向量垂直于平面內(nèi)所有向量。如果已知平面上兩個不共線的向量a?和b?，則它們的叉積a?×b?就是平面的法向量。這是建立平面方程的關(guān)鍵步驟。例題解析通過具體例題演示向量方法在解決空間幾何問題中的應(yīng)用。包括求直線與平面的交點、計算二面角、確定點的投影位置等實際問題的解決方案。第七章常微分方程簡介常微分方程的基本概念微分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程。按未知函數(shù)的個數(shù)可分為常微分方程和偏微分方程。階數(shù)由最高階導(dǎo)數(shù)確定，線性性由未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次決定。一階微分方程的解法一階微分方程的常見類型包括可分離變量方程、齊次方程、線性方程等。每種類型都有相應(yīng)的求解方法和技巧，需要根據(jù)方程的特點選擇合適的解法。應(yīng)用舉例：人口增長模型人口增長的馬爾薩斯模型：dP/dt=kP，其中P為人口數(shù)量，k為增長率常數(shù)。解得：P(t)=P?e^(kt)這個模型說明在理想條件下，人口按指數(shù)規(guī)律增長。常微分方程的分類與解法可分離變量方程形如dy/dx=f(x)g(y)的方程可通過分離變量求解：dy/g(y)=f(x)dx，兩邊同時積分即可得到解。齊次方程形如dy/dx=f(y/x)的方程，通過變量替換v=y/x可轉(zhuǎn)化為可分離變量方程求解。線性微分方程一階線性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)有通解公式，使用積分因子μ(x)=e^∫P(x)dx求解。復(fù)習(xí)與總結(jié)（1）函數(shù)與極限掌握函數(shù)概念、性質(zhì)和極限理論導(dǎo)數(shù)應(yīng)用熟練運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題積分計算掌握不定積分和定積分的計算方法空間幾何理解空間坐標(biāo)系和向量運算微分方程了解基本微分方程的求解方法本章節(jié)重點回顧高等數(shù)學(xué)的核心知識點，幫助學(xué)生建立完整的知識框架，為考試和實際應(yīng)用奠定堅實基礎(chǔ)。常見易錯點分析極限計算中的不定式處理復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用定積分計算中被積函數(shù)正負性的影響空間向量運算中點積與叉積的區(qū)別學(xué)習(xí)建議與方法數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要理論與練習(xí)相結(jié)合，建議多做典型例題，總結(jié)解題規(guī)律，注重概念理解而非機械記憶。建立錯題本，定期回顧易錯知識點。復(fù)習(xí)與總結(jié)（2）典型例題匯總1極限計算綜合題包含洛必達法則、夾逼定理、重要極限的應(yīng)用2導(dǎo)數(shù)應(yīng)用優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，解決實際優(yōu)化問題3定積分幾何應(yīng)用計算平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積4空間幾何綜合題向量運算與空間位置關(guān)系判斷課后練習(xí)題推薦教材每章節(jié)后的基礎(chǔ)練習(xí)題同濟大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題集張宇《高等數(shù)學(xué)18講》練習(xí)題歷年考研數(shù)學(xué)真題（相關(guān)部分）參考書目與學(xué)習(xí)資源同濟大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》（第七版）華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》在線課程：中國大學(xué)MOOC高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)軟件：MATLAB、Mathematica教學(xué)輔助工具介紹計算器與數(shù)學(xué)軟件使用科學(xué)計算器是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，需要熟練掌握其各項功能。MATLAB、Mathematica、GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件能夠進行符號計算、數(shù)值計算和圖形繪制，大大提高學(xué)習(xí)效率。圖形計算器的使用技巧MATLAB在微積分中的應(yīng)用在線計算工具推薦圖形繪制技巧函數(shù)圖像是理解數(shù)學(xué)概念的重要手段。掌握手工繪制基本函數(shù)圖像的方法，了解利用軟件繪制復(fù)雜函數(shù)圖像的技巧，有助于直觀理解數(shù)學(xué)概念?；竞瘮?shù)圖像特征利用導(dǎo)數(shù)分析圖像性質(zhì)參數(shù)方程圖像繪制在線學(xué)習(xí)平臺推薦現(xiàn)代教育技術(shù)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了豐富的資源。KhanAcademy、Coursera、中國大學(xué)MOOC等平臺提供高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課程，可以作為課堂學(xué)習(xí)的有益補充。KhanAcademy微積分課程Coursera數(shù)學(xué)專項課程B站優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)視頻高數(shù)學(xué)習(xí)中的常見難點極限與連續(xù)的理解極限概念抽象，學(xué)生往往難以理解其ε-δ定義。建議從直觀幾何意義入手，通過大量例題練習(xí)，逐步建立嚴(yán)格的極限概念。連續(xù)性與極限密切相關(guān)，需要理解其幾何意義和分析意義。從數(shù)列極限過渡到函數(shù)極限利用圖像理解連續(xù)性概念間斷點的分類與判斷導(dǎo)數(shù)的物理與幾何意義導(dǎo)數(shù)既有幾何意義（切線斜率）又有物理意義（變化率），學(xué)生容易混淆。需要通過具體實例加深理解，建立導(dǎo)數(shù)概念與實際問題的聯(lián)系。瞬時速度與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系切線方程的求法導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用積分的計算與應(yīng)用積分計算技巧較多，需要根據(jù)被積函數(shù)特點選擇適當(dāng)方法。定積分應(yīng)用涉及建模能力，需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。積分方法的選擇策略變上限積分函數(shù)的性質(zhì)積分在幾何中的應(yīng)用學(xué)生提問與答疑常見問題匯總為什么要學(xué)習(xí)極限？極限是微積分的基礎(chǔ)，沒有極限概念就無法定義導(dǎo)數(shù)和積分。它描述了變化的精確數(shù)學(xué)表達。導(dǎo)數(shù)和微分有什么區(qū)別？導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某點的瞬時變化率，微分是函數(shù)增量的線性主部。它們在概念上有聯(lián)系但含義不同。定積分為什么能計算面積？定積分的本質(zhì)是求和的極限，通過分割-求和-取極限的過程，可以精確計算曲線下方的面積。解題思路指導(dǎo)理解題意：仔細分析題目條件，明確要求解的問題選擇方法：根據(jù)題目特點選擇合適的解題方法規(guī)范表達：解題過程要邏輯清晰，步驟完整檢驗結(jié)果：驗證答案的合理性和正確性互動討論建議鼓勵學(xué)生主動提問，課堂討論疑難問題。建立學(xué)習(xí)小組，相互討論交流。利用網(wǎng)絡(luò)平臺進行課后答疑，擴展學(xué)習(xí)時間。實際工程中的高數(shù)應(yīng)用機械運動分析在機械工程中，導(dǎo)數(shù)用于分析物體的運動狀態(tài)。位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出速度，速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出加速度。這些概念在機械設(shè)計、振動分析、控制系統(tǒng)中具有重要意義。例如，曲柄連桿機構(gòu)的運動分析需要用到三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，齒輪傳動的速度關(guān)系涉及函數(shù)的復(fù)合與求導(dǎo)。電路中的微積分應(yīng)用在電路分析中，電容器的電壓與電流關(guān)系涉及積分：i=C(dv/dt)，電感器的關(guān)系涉及導(dǎo)數(shù)：v=L(di/dt)。RC電路和RL電路的暫態(tài)分析需要求解微分方程。交流電路的功率計算、濾波器的頻率響應(yīng)分析都需要用到復(fù)數(shù)函數(shù)的微積分理論。結(jié)構(gòu)力學(xué)中的空間幾何建筑和橋梁結(jié)構(gòu)分析中，空間向量用于描述力的方向和大小。向量的點積用于計算功和投影，叉積用于計算力矩?？臻g桁架結(jié)構(gòu)的受力分析、建筑物的抗震設(shè)計都需要運用空間解析幾何的知識來建立數(shù)學(xué)模型。工程應(yīng)用場景示意圖上圖展示了機械臂運動軌跡的數(shù)學(xué)描述。每個關(guān)節(jié)的角度變化可以用時間的函數(shù)表示，通過導(dǎo)數(shù)計算可以得到各關(guān)節(jié)的角速度和角加速度。機械臂末端的位置坐標(biāo)需要用到三角函數(shù)和復(fù)合函數(shù)。1軌跡規(guī)劃利用多項式函數(shù)設(shè)計平滑的運動軌跡，確保速度和加速度連續(xù)2運動學(xué)分析通過向量運算和微分計算確定末端執(zhí)行器的位置、速度和加速度3控制