PAGE1PAGE2專題17幾何壓軸題（解析版)一、單選題1．（2025·安徽·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)．將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是 D．的最大值是【答案】A【分析】本題主要圍繞四邊形中的動點(diǎn)問題展開，解題思路是先通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相關(guān)線段和角的關(guān)系，再利用勾股定理建立線段之間的聯(lián)系，最后根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)來分別判斷各個(gè)結(jié)論的正確性．【詳解】解：∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，．又∵，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得延長交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴．∴，∴（），∴∴，即點(diǎn)在上運(yùn)動，∴四邊形和四邊形是矩形，∴，，，∵，，，，∴∴，∴最大時(shí)，最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與重合時(shí)，最小此時(shí)，，故錯(cuò)誤，符合題意；故B正確，不符合題意；作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接則，，過作于點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵∴四邊形是矩形，∴，，∴的最小值故正確，不符合題意；當(dāng)與重合時(shí)，當(dāng)與重合時(shí)，過作，則四邊形是矩形，如下圖，∴，，∵，∴，∴∴，綜上，最大值為．故項(xiàng)正確，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理以及幾何最值問題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，并能根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)準(zhǔn)確分析線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽·中考真題）如圖，是線段上一點(diǎn)，和是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為【答案】A【分析】延長，則是等邊三角形，觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí)，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則三點(diǎn)共線，各項(xiàng)都取得最小值，得出B，C，D選項(xiàng)正確，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

延長，依題意∴是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn)如圖所示，

設(shè)的中點(diǎn)分別為，則∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，在上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，即，則三點(diǎn)共線，取得最小值，此時(shí)，則，∴到的距離相等，則，此時(shí)此時(shí)和的邊長都為2，則最小，∴，∴∴，或者如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，

此時(shí)故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，則，故B選項(xiàng)正確；周長等于，即當(dāng)最小時(shí)，周長最小，如圖所示，作平行四邊形，連接，

∵，則如圖，延長,，交于點(diǎn)，則，∴是等邊三角形，∴，在與中，∴∴∴∴∴，則，∴是直角三角形，

在中，∴當(dāng)時(shí)，最短，∵∴周長的最小值為，故C選項(xiàng)正確；∵∴四邊形面積等于

∴當(dāng)?shù)拿娣e為0時(shí)，取得最小值，此時(shí)，重合，重合∴四邊形面積的最小值為，故D選項(xiàng)正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽·中考真題）已知點(diǎn)O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高和△PAB中AB邊上的高的值，當(dāng)P在CO的延長線時(shí)，OP取得最小值，OP=CP-OC，過O作OE⊥BC，求得OC=，則可求解．【詳解】解：如圖，，，∴=====，∴，設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，則，，∴，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴，，∴點(diǎn)P在平行于AB，且到AB的距離等于的線段上，∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，OP取得最小值，過O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，弄清題意，找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．4．（2021·安徽·中考真題）在中，，分別過點(diǎn)B，C作平分線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E，BC的中點(diǎn)是M，連接CD，MD，ME．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AD、BC交于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，連接EF．延長AC與BD并交于點(diǎn)G．由題意易證，從而證明ME為中位線，即，故判斷B正確；又易證，從而證明D為BG中點(diǎn)．即利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可求出，故判斷C正確；由、和可證明．再由、和可推出，即推出，即，故判斷D正確；假設(shè)，可推出，即可推出．由于無法確定的大小，故不一定成立，故可判斷A錯(cuò)誤．【詳解】如圖，設(shè)AD、BC交于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，連接EF．延長AC與BD并交于點(diǎn)G．∵AD是的平分線，，，∴HC=HF，∴AF=AC．∴在和中，，∴，∴，∠AEC=∠AEF=90°，∴C、E、F三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)E為CF中點(diǎn)．∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴ME為中位線，∴，故B正確，不符合題意；∵在和中，，∴，∴，即D為BG中點(diǎn)．∵在中，，∴，∴，故C正確，不符合題意；∵，，，∴．∵，，∴，∴．∵AD是的平分線，∴．∵，∴，∴，∴，故D正確，不符合題意；∵假設(shè)，∴，∴在中，．∵無法確定的大小，故原假設(shè)不一定成立，故A錯(cuò)誤，符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，較難．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2024·安徽·中考真題）如圖，現(xiàn)有正方形紙片，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，沿垂直于的直線折疊得到折痕，點(diǎn)B，C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點(diǎn)，處，然后還原．（1）若點(diǎn)N在邊上，且，則（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于的直線折疊得到折痕，點(diǎn)G，H分別在邊上，點(diǎn)D落在正方形所在平面內(nèi)的點(diǎn)處，然后還原．若點(diǎn)在線段上，且四邊形是正方形，，，與的交點(diǎn)為P，則的長為．【答案】/【分析】①連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)每個(gè)內(nèi)角為直角以及折疊帶來的折痕與對稱點(diǎn)連線段垂直的性質(zhì)，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解；②記與交于點(diǎn)K，可證：，則，，由勾股定理可求，由折疊的性質(zhì)得到：，，，，，則，，由，得，繼而可證明，由等腰三角形的性質(zhì)得到，故．【詳解】解：①連接，由題意得，，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴，，∴∴，故答案為：；②記與交于點(diǎn)K，如圖：∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，同理可證：，∴，，在中，由勾股定理得，由題意得：，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，由題意得，而，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·安徽·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G．連接DF，請完成下列問題：（1）°；（2）若，，則．【答案】45【分析】（1）先證△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度數(shù)．（2）先作FH⊥CD于H，利用平行線分線段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，證△MPF∽△NHF,即可求得NH的長度，MN=MH+NH即可得解．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵FG⊥AG，∴∠G=∠A=90°，∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=FE，∠BEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，∴∠FEG=∠EBA，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴AE=FG，AB=GE，在正方形ABCD中，AB=AD∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，∴AE=DG=FG，∴∠FDG=∠DFG=45°．故填：45°．（2）如圖，作FH⊥CD于H，∴∠FHD=90°又∵∠G=∠GDH=90°，∴四邊形DGFH是矩形，又∵DG=FG，∴四邊形DGFH是正方形，∴DH=FH=DG=2，∴∴，∴DM=，MH=，作MP⊥DF于P，∵∠MDP=∠DMP=45°，∴DP=MP，∵DP2+MP2=DM2，∴DP=MP=，∴PF=∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，∴∠MFP=∠NFH，∵∠MPF=∠NHF=90°，∴△MPF∽△NHF,∴，即，∴NH=，∴MN=MH+NH=+=．故填：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定，熟知相關(guān)知識點(diǎn)并能熟練運(yùn)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2025·安徽·中考真題）已知點(diǎn)在正方形內(nèi)，點(diǎn)E在邊上，是線段的垂直平分線，連接，．(1)如圖1，若的延長線經(jīng)過點(diǎn)D，，求的長；(2)如圖2，點(diǎn)F是的延長線與的交點(diǎn)，連接．①求證：；②如圖3，設(shè)，相交于點(diǎn)G，連接，，．若，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)詳見解析；為等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出，，證明，得出，結(jié)合正方形的性質(zhì)可判斷是等腰直角三角形，求出，然后根據(jù)勾股定理求出，即可求解；（2）①由正方形的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理可求出，即可求解；②（方法一）作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．根據(jù)三線合一的性質(zhì)得出M為的中點(diǎn)．可證，根據(jù)平行線分線段成比例判斷出N是的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出．根據(jù)證明，得出，則E為的中點(diǎn)．結(jié)合，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)得出．同理可證，得出，即可得出結(jié)論；（方法二）設(shè)，則．根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，由（1）中，得出，則．根據(jù)等邊對等角得出．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，由角的和差關(guān)系求出，，根據(jù)證明，得出，．結(jié)合①中求出，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，的延長線經(jīng)過點(diǎn)D，∴，，，由垂直平分線的性質(zhì)知，，，又，∴，∴．又，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．（2）解：①證明：由題意知，，∴，．∴，∴．②解：是等腰直角三角形．理由如下：（方法一）作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．∵，∴M為的中點(diǎn)．又，∴，∴，∴N是的中點(diǎn)，∴是的中位線，．∵，，且，∴，∴，即E為的中點(diǎn)．又，∴，∴．同理可證，∴．∴是等腰直角三角形．（方法二）設(shè)，則．∵，∴，∴，又∵，∴，∴．∵，∴．∴，∴．∴．∴，又，，∴．∴，．由①知，∴．又，∴為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形的中位線定理等知識，掌握相關(guān)性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．8．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是與，的交點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)H，連接，．（ⅰ）如圖2，若，求證：；（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．【答案】(1)見詳解(2)（ⅰ）見詳解，（ⅱ）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，再證明是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出，再利用證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得出．（2）（?。┯善叫芯€截線段成比例可得出，結(jié)合已知條件等量代換，進(jìn)一步證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性質(zhì)得出，進(jìn)一步得出，，進(jìn)一步可得出，進(jìn)一步得出，同理可求出，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．在與中，∴．∴．（2）（?。摺啵郑?，∴，∵，∴，∴，∴（ⅱ）∵是菱形，∴，又，，∴，∴，∵．，∴，∴，即，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，∴∴，故．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定以及性質(zhì)，全等三角形判定以及性質(zhì)，相似三角形的判定以及性質(zhì)，平行線截線段成比例以及菱形的性質(zhì)，掌握這些判定方法以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽·中考真題）在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大?。?2)已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足．（?。┤鐖D2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．【答案】(1)(2)（?。┮娊馕觯唬áⅲ痉治觥浚?）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對接等角得出，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即得出，進(jìn)而即可求解；（2）（ⅰ）延長交于點(diǎn)，證明四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出是的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得證；（ⅱ）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得出，，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，在中，∴（2）證明：（?。┳C法一：如圖，延長，交于點(diǎn)，則，

∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn)，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，∴．∴．∵，即，∴，即點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)．∴．證法二：∵，是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)在以為圓心，為直徑的上．

∵，∴垂直平分．∴．∴．∵，∴．∴．∴．證法三：∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn)，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)在以為圓心，為直徑的上．∴．（ⅱ）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，求正切，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽·中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．(1)如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．（ⅰ）求∠CED的大?。唬áⅲ┤鬉F＝AE，求證：BE＝CF．【答案】(1)見解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）見解析【分析】（1）先根據(jù)DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根據(jù)“AAS”證明，得出DE=BC，得出四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，得出四邊形BCDE為菱形；（2）（?。└鶕?jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一，證明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根據(jù)∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；（ⅱ）連接EF，根據(jù)已知條件和等腰三角形的性質(zhì)，算出，得出，證明，再證明，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，∵，∴，，∴（AAS），∴，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵CE⊥BD，∴四邊形BCDE為菱形．（2）（ⅰ）根據(jù)解析（1）可知，BO=DO，∴CE垂直平分BD，∴BE=DE，∵BO=DO，∴∠BEO=∠DEO，∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠DEO，∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，∴．（ⅱ）連接EF，∵EG⊥AC，∴，∴，∵∵AE=AF，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，，∴，，，，∴，，∴（AAS），．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線，得出，得出，是解題的關(guān)鍵．11．（2021·安徽·中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M，求的值．【答案】（1）見解析；（2）6；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證，，即可得，；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得，所以，根據(jù)SAS即可證得；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長BM、ED交于點(diǎn)G．易證，可得；設(shè)，，，由此可得，；再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即，解方程求得x的值，繼而求得的值．【詳解】（1）證明：，；，，，，，，，，，，四邊形AFCD是平行四邊形在與中．，（2），，在中，，，，又，，，在與中．，；；，；，；，，或（舍）；（3）延長BM、ED交于點(diǎn)G．與均為等腰三角形，，，，設(shè)，，，則，，，，；在與中，，；．；，，，，，，，，（舍），，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三角形全等及相似是解決問題的關(guān)鍵．12．（2021·安徽·中考真題）已知拋物線的對稱軸為直線．（1）求a的值；（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．【答案】（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)對稱軸，代值計(jì)算即可（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果（3）先根據(jù)求根公式計(jì)算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）由題意得：（2）拋物線對稱軸為直線，且當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．當(dāng)時(shí)，y1隨x1的增大而減小，時(shí)，，時(shí)，同理：時(shí)，y2隨x2的增大而增大時(shí)，．

時(shí)，

（3）令

令A(yù)B與CD的比值為【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點(diǎn)、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用交點(diǎn)的特點(diǎn)解題是重點(diǎn)一、單選題1．（2025·安徽淮南·三模）如圖，，是的角平分線，，且，平分交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)．下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三線合一平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形，，矩形的性質(zhì)與判定熟記知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．連接，，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得，，即可證；繼而證明四邊形是矩形，易證，從而可推，．由不一定成立，可得不一定成立．【詳解】如圖，連接，．∵，平分，∴，．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故選項(xiàng)A正確；∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是矩形，∴，易證，∴，，∴，即．∵，∴，∴，∴，∴，故選項(xiàng)C，D正確；若成立，則需四邊形為平行四邊形．則需要，顯然不一定成立，∴選項(xiàng)B不一定都成立．故選B．2．（2025·安徽亳州·三模）如圖，正方形ABCD中，，E為AD的中點(diǎn)，P為BC邊上一動點(diǎn)，連接DP，過P點(diǎn)作，且，連接EF，則線段EF長度的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，取的中點(diǎn)M，連接，，連接并延長交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，證明，，得出，進(jìn)而可得，即可得出的值，進(jìn)而可得點(diǎn)在上運(yùn)動，證明四邊形是平行四邊形，得出，則當(dāng)在上時(shí)，取得最小值，此時(shí)重合，進(jìn)而解直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)M，連接，，連接并延長交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)∵四邊形是正方形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴即，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∴∴點(diǎn)在上運(yùn)動，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∵，∴又∵∴四邊形是平行四邊形，∴又∵∴∴當(dāng)在上時(shí)，取得最小值，此時(shí)重合，∵，則，在中，，∴在中，∴∴∴，即的最小值為故選：A．3．（2025·安徽阜陽·三模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使，若是的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A．10 B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查幾何最值問題，矩形的性質(zhì)，利用對稱法求最短路徑，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，則是的延長線的定點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為垂足的的垂線上，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，連接與相交于點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為的長，由勾股定理求出的長即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，∴，是的延長線的定點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為垂足的的垂線上，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，，連接與相交于點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為的長，，故選：A．4．（2025·安徽阜陽·二模）如圖，是的角平分線，平分交于點(diǎn)，是的外角平分線，交的延長線于點(diǎn)，且，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)角平分線得到角度關(guān)系結(jié)合平角即可判斷A，根據(jù)平行及角平分線得到相應(yīng)的角度關(guān)系得到即可判斷B，再證明是平行四邊形即可判斷C，最后證明垂直平分即可判斷D，即可得到答案．【詳解】解平分，平分，，，，選項(xiàng)A正確，不符合題意；，平分，，，平分，，，，，，，，選項(xiàng)B正確，不符合題意；，，四邊形是平行四邊形．，，由上面知：，，均為等邊三角形，由三線合一易知，，在中，由角平分線定義知，，，易知，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；，平分，結(jié)合易證全等于，易知垂直平分，，又，，選項(xiàng)D正確，不符合題意；綜上，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線，平行四邊形判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是從選項(xiàng)出發(fā)，找相應(yīng)條件．5．（2025·安徽安慶·二模）如圖，動點(diǎn)在等邊的邊上，，連接，于點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作等邊，的延長線交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最小值是1 D．的最大值是2【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，由垂線段最短可得，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，再由勾股定理計(jì)算即可判斷A；作于，連接、，由，可得當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，的值最小，即可判斷B；證明、、、四點(diǎn)共圓，得出當(dāng)取最大值時(shí)，等于直徑，即可判斷D；再由垂線最短結(jié)合解直角三角形即可判斷C；熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵動點(diǎn)在等邊的邊上，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴的最小值為，故A正確，不符合題意；如圖：作于，連接、，則，，∵，∴當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，的值最小，∵，∴，∴的最小值為，故B正確；如圖，連接、，作，交的延長線于，∵和是等邊三角形，∴，，，∴，即，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴當(dāng)取最大值時(shí)，等于直徑，為，故D正確，不符合題意；由垂線最短可得，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，故C說法錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．6．（2025·安徽合肥·二模）在中，，點(diǎn)D為邊上一動點(diǎn)，以為邊作等邊，點(diǎn)C與點(diǎn)E位于的同一側(cè)，連接，則線段長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)等等，取的中點(diǎn)M，連接，則由直角三角形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可得，解直角三角形可得，據(jù)此證明為等邊三角形，得到，進(jìn)一步證明，得到，則當(dāng)時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)M，連接．，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，此時(shí)在中，，∴的最小值為，故選：A．7．（2023·安徽合肥·二模）矩形中，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，的角平分線交邊于點(diǎn)F，若于M點(diǎn)，連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】作，，證明，推出，當(dāng)D、M、B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值是的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作，，∵是的平分線，∴，∵，∴A、D、M、E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴，當(dāng)D、M、B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值是的長，∴的最小值是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，證明是解題的關(guān)鍵．8．（2025·安徽合肥·二模）正方形ABCD中，AB=4，P為對角線BD上一動點(diǎn)，F(xiàn)為射線AD上一點(diǎn)，若AP=PF，則△APF的面積最大值為(

)A．8 B．6 C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)AP=PF得到點(diǎn)P在AF的垂直平分線上，過P作PG⊥AF，G為垂足，則AG=GF，DG=PG，設(shè)DF=x，得到AG=，GD=PG=，利用三角形面積公式計(jì)算得到S△APF=，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案．【詳解】∵AP=PF，∴點(diǎn)P在AF的垂直平分線上，過P作PG⊥AF，G為垂足，則AG=GF，DG=PG，設(shè)DF=x，則AG=，∴GD=PG=，∴S△APF=≤4，所以△APF面積最大值為4；故選：C．．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，正確引出輔助線并設(shè)定未知數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵．9．（2025·安徽合肥·三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)G，連接，，，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③依次連接，，，的中點(diǎn)，，，，則四邊形為正方形；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定得到，可判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得到，設(shè)正方形的邊長為，利用勾股定理表示出、的長，可判斷②；根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，結(jié)合和，利用正方形的判定可判斷③；延長和交于點(diǎn)，通過證明，得到，利用斜邊中線定理得到，則有，再利用角的和差和等量代換可判斷④，即可得出答案．【詳解】解：正方形，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，，，故①正確；，，，，，即，設(shè)正方形的邊長為，則，，，，，故②正確；點(diǎn)，，，分別是，，，的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是菱形，，，即，菱形是正方形，故③正確；延長和交于點(diǎn)，，，，，，，，，，即，，，，，，故④正確；綜上所述，說法正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定、中點(diǎn)四邊形、勾股定理、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．本題屬于正方形綜合題，有一定難度，需要較強(qiáng)的幾何推理能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生．10．（2025·安徽合肥·二模）如圖，正方形的邊長為8，點(diǎn)E，P在邊上運(yùn)動，點(diǎn)F在邊上運(yùn)動，，連接交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，連接，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．的面積有最大值為16C．有最大值為 D．的最小值為【答案】D【分析】先證明得到，根據(jù)即可判斷A；取中點(diǎn)G，連接，證明，得到，設(shè)點(diǎn)G到的距離為h，根據(jù)，得到，據(jù)此可判斷B；證明，得到，則；設(shè)，由勾股定理得，再由三角形面積計(jì)算公式得到，即，則可求出，據(jù)此可判斷C；作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)N，連接，則當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為；過點(diǎn)O作于M，則四邊形是矩形，可得，利用勾股定理求出的長即可判斷D．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故A結(jié)論正確，不符合題意；如圖所示，取中點(diǎn)O，連接，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)點(diǎn)G到的距離為h，由垂線段最短可知，∴，∴的面積有最大值為16，故B結(jié)論正確，不符合題意；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；設(shè)，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴的最大值為，的最大值為，故C結(jié)論正確，不符合題意；如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)N，連接，∴，∴，∴當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為；如圖所示，過點(diǎn)O作于M，則四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為，故D結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等等，通過證明三角形全等轉(zhuǎn)換線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2025·安徽合肥·二模）如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上一個(gè)動點(diǎn)，且與點(diǎn)A、D不重合，連接、，過點(diǎn)B作，過點(diǎn)C作，交點(diǎn)為F，連接、交于點(diǎn)G、H，、、的面積分別記為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．若四邊形是矩形，則D．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則四邊形是菱形【答案】C【分析】過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，可證，再證明，可證四邊形是菱形，證明是的中位線，可證，證明，無法判定，解答即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，∴，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，故D正確；連接交于點(diǎn)O，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴，故A正確；當(dāng)四邊形是矩形，則，無法判定，故C錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．12．（2025·安徽合肥·二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)P為上一動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接，連接交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，，則的長為C．若，則長度的最小值為1.8D．和不可能全等【答案】B【分析】本題考查矩形與折疊，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)量關(guān)系和折疊的性質(zhì)，得到，判斷A，設(shè)，，得到，，根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及等角的余角相等，推出，進(jìn)而得到，求出，進(jìn)而得到，根據(jù)，得到，進(jìn)而推出，在中，由勾股定理求出的值，進(jìn)而求出的值，得到的值，再利用勾股定理求出的長，判斷B，連接，勾股定理求出的長，利用，判斷C，根據(jù)折疊的性質(zhì)，結(jié)合對頂角相等，得到當(dāng)時(shí)，，判斷D即可．【詳解】解：∵，∴，∵折疊，∴；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；同上可知：，，∵，∴設(shè)，，則：，，∴，∵折疊，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理，得：，解得：（舍去）或或（舍去）；∴，∴，在中，；故選項(xiàng)B正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，連接，則，∵折疊，∴，∴，∴的最小值為2；故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；∵折疊，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．13．（2025·安徽合肥·一模）點(diǎn)P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，Q是邊上的任意一點(diǎn)，連接、、、，已知，下列結(jié)論不正確的是（

）A．若，則的最小值是10B．若，則C．的最小值為20D．若，則的最小值為【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①如圖：若則，，，，的最小值是10，A正確；②如圖：若，則，則，，同理可得，那么，即B、P、D三點(diǎn)共線，BP是直角斜邊上的高，，根據(jù)面積公式可得，B項(xiàng)正確；③因?yàn)?，故?dāng)點(diǎn)P是矩形兩對角線的交點(diǎn)時(shí)，的值最小，則，所以的最小值為，C項(xiàng)正確；④如圖：若，則P在上，四邊形是矩形，，．根據(jù)三角形面積公式則，解得，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)共線且時(shí)，的值最小，即的長，在和中，，，，，，，的最小值為，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．14．（2025·安徽合肥·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在，邊上，將沿翻折得到，與相交于點(diǎn)，．若與面積相等，的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)E作于H，設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，則可證明是等腰直角三角形，得到；解直角三角形得到，，則，證明，得到，則，則，，可得方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作于H，設(shè)，∵，∴，∴由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；∵在中，，，，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵與面積相等，∴，解得或（舍去），∴故選：B．二、填空題15．（2025·安徽蕪湖·三模）如圖，的2個(gè)內(nèi)角與的角平分線相交于點(diǎn)．（1）設(shè)，則．（用含的式子表示）（2）過的直線分別交，于D，E兩點(diǎn)，，的面積分別記為，．若，的周長為8，則的值為．【答案】【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，和角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．（1）首先求出，然后由角平分線求出，，進(jìn)而求解即可；（2）如圖，連接，作于點(diǎn)于點(diǎn)于點(diǎn)，首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，然后表示出，，然后結(jié)合求解即可．【詳解】（1）與的平分線相交于點(diǎn)，；故答案為：．（2）如圖，連接，作于點(diǎn)于點(diǎn)于點(diǎn)，∵平分，，∴同理可得∴．的周長為．故答案為：．16．（2025·安徽蚌埠·三模）如圖，中，，，為邊的中點(diǎn)，將線段以點(diǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）若，則長為；（2）長最大為．【答案】2【分析】本題主要考查了勾股定理，借助于圓求線段的最值問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出圓來解決最值問題．（1）利用勾股定理和線段的中點(diǎn)即可求解；（2）過點(diǎn)作，使，以線段的中點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，連接并延長，交于點(diǎn)，此時(shí)長最大，最后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）由勾股定理得，∵為邊的中點(diǎn)，∴,故答案為：2；（2）如圖，以為直徑畫，則點(diǎn)在上，過點(diǎn)作，使，以線段的中點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，連接并延長，交于點(diǎn)，此時(shí)長最大，∴，∴，由勾股定理得，∴．17．（2025·安徽宣城·三模）如圖，現(xiàn)有正方形紙片，為的中點(diǎn)，連接，，沿對角線折疊正方形紙片，與重合，然后還原．連接分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．（）若，則．（用含的式子表示）（）若，則的長為．【答案】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，從而可證，所以可得；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證，根據(jù)，，可證，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可知，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)可以求出．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)知，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，，；故答案為：．（2）解：如下圖所示，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解．18．（2025·安徽淮北·三模）如圖，折疊正方形紙片，點(diǎn)A，C兩點(diǎn)均落在G處，分別得到抓痕，然后還原．已知．（1）的值為．（2）連接交于P，若，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了正方形與折疊問題，求角的正切值，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離計(jì)算，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，則．進(jìn)而得到．由勾股定理得，解方程即可得到答案；（2）以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以所在的直線為y軸，x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，求出直線解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)，則．∴．在直角中，由勾股定理得，解得，，，故答案為：．（2）如圖所示，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以所在的直線為y軸，x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由（1）可得，則，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得，∴，∴，故答案為：．19．（2025·安徽合肥·三模）如圖，在菱形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長線交邊于點(diǎn)，連接．則（1）；（2）若，則．【答案】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，掌握以上知識是關(guān)鍵．（1）如圖所示，過點(diǎn)作，可得，即點(diǎn)是中點(diǎn)，，根據(jù)平行線截線段成比例得到，即可求解；（2）如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，設(shè)，可證，得，，同理，，則，由，即可求解．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)作，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，即，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴；（2）如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，令，則，四邊形為菱形，，，又，，，，，，，同理，，，，，是的中線，，，故答案為：①；②．20．（2025·安徽阜陽·二模）如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．直線交正方形的兩邊于點(diǎn)．（1）若，則°．（2）若，則的值是．【答案】75【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，運(yùn)用外角性質(zhì)列式計(jì)算，即可作答．（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，證明再結(jié)合，故，證明，把數(shù)值代入，即，進(jìn)行化簡，即可作答．【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴即，．故答案為：75；（2）如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．．四邊形為正方形，．，∴與均為等腰直角三角形．．．設(shè)，．由題意，知，．，∴，∴，．，解得（負(fù)值舍去）．故答案為：．21．（2025·安徽安慶·一模）在中，，，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．（1）；（2）若，則長為．【答案】/【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)定理，掌握以上知識，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角得到，根據(jù)角平分線的定義得到，，由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）如圖所示，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，在中，，，，，由此即可求解．【詳解】解：（1）在中，，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，在中，；（2）如圖所示，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，∴平分，∴，∵是角平分線，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故答案為：①；②．22．（2025·安徽池州·三模）如圖，菱形中，是邊上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)．（1）若，則（用表示）；（2）若，則的最大值是．【答案】3【分析】（1）先證明是等邊三角形；得出，再利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)一步可得答案；（2）設(shè)，，根據(jù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，說明有最大值，求出最大值為3即可．【詳解】解：（1）∵四邊形是菱形，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴在和中，∵，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形；∴，∵，∴，∴；故答案為：（2）∵，∴，∴，設(shè)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴此時(shí)，∴此時(shí)，∵為等邊三角形，∴此時(shí)，，∴此時(shí)，∴平分，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最大值為3．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合．23．（2025·安徽合肥·三模）如圖，中，，，為邊的中點(diǎn)，將線段以點(diǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）若，則長為；（2）長最大為．【答案】2【分析】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，借助于圓求線段的最值問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出圓來解決最值問題．（1）利用勾股定理和線段的中點(diǎn)即可求解；（2）過點(diǎn)作，使，以線段的中點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，連接并延長，交于點(diǎn)，此時(shí)長最大，最后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）由勾股定理得，為邊的中點(diǎn)，，故答案為：2；（2）如圖，以為直徑畫，則點(diǎn)在上，過點(diǎn)作，使，連接以線段的中點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，，，，，∴點(diǎn)在以為直徑的圓弧上，連接并延長，交于點(diǎn)，此時(shí)長最大，，，由勾股定理得，，故答案為：．23．（2025·安徽合肥·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)D是延長線上一點(diǎn)，以為鄰邊作．（1）連接，則面積為．（2）連接，則的周長最小值為．【答案】/【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)易得，得到等底等高，即等底等高，由，，求出的面積，即可得到結(jié)果；（2）作，且，連接，先證得，得到點(diǎn)直線上運(yùn)動，當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，過點(diǎn)作的對稱點(diǎn)，連接、，則，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，的周長最小，進(jìn)而利用勾股定理計(jì)算即可；【詳解】解：（1）如圖，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴等底等高，∴等底等高，∴的面積相等，∵，，∴的面積為，∴面積為：；故答案為：；（2）作，且，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴∴點(diǎn)直線上運(yùn)動，∵，，∴為定值，∵的周長為，∴當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，過點(diǎn)作的對稱點(diǎn)，連接、，則：，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值為的長，此時(shí)的周長最小，∵，∴，∴三點(diǎn)共線，∵到的距離為，∴，在中，∴的周長最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，軸對稱求最小值．能夠正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題24．（2025·安徽淮南·三模）如圖，已知是正方形的邊上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，連接，使．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)已知證明，得，再證明，即可得；（2）根據(jù)已知證明，進(jìn)而可得，再根據(jù)相全等三角形性質(zhì)得出結(jié)論；（3）先證明，進(jìn)而可得，得，再證明，得，據(jù)此列方程求解即可．【詳解】（1）∵，，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵，∴，∴，即．（2）證明：由（1）得，，∴．∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵在正方形中，，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴，∴．∵由（2）得，，∴．∵，∴，∴．∴．設(shè)正方形的邊長為1，，∴，∴解并檢驗(yàn)得：或（舍去），∴．25．（2025·安徽蚌埠·三模）已知正方形中，E為邊上一點(diǎn)，E點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為F點(diǎn)，射線交的延長線于點(diǎn)G，連接交延長交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)M．(1)若，①求證：；②求的值；(2)求證：M為的中點(diǎn)．【答案】(1)①見解析；②(2)見解析【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)進(jìn)一步證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，最后利用軸對稱的性質(zhì)即可得出.②證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，即，設(shè)即，解得，再根據(jù)正切的定義求解即可.（2）延長、交于點(diǎn)P．由平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出進(jìn)而可得出M為的中點(diǎn).【詳解】（1）①證明：∵是正方形，∴，，，又，，在和中，，.又E點(diǎn)與F點(diǎn)關(guān)于對稱，；②，，，又∵，，，即，設(shè)，則，解得，；（2）證明：如圖，延長、交于點(diǎn)P．，，，∵，，，又，D為的中點(diǎn)，即，∵，∴，∴，，即M為的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正切值，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，掌握這些判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.26．（2025·安徽宣城·三模）如圖1，的兩條角平分線，相交于點(diǎn)I，．(1)求證：．(2)若，，求的長．(3)如圖2，交于點(diǎn)F，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定，等角對等邊的證明是解題的關(guān)鍵，（1）利用角平分線的性質(zhì)得到，，再由從而可推出，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得到答案；（2）在上截取，連接，易證，從而可推出，可得的長度，再利用相似三角形的判定可得，可得，進(jìn)而推出，代入可求得的長；（3）取中點(diǎn)M，連接，根據(jù)直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半可得到，利用角度轉(zhuǎn)化可得，進(jìn)而可推出．【詳解】（1）證明：∵平分，平分，∴，．∵，∴．∵，，∴．∴．（2）解：在上截取，連接，如圖1在和中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（3）解：取中點(diǎn)M，連接，如圖2在中，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．27．（2025·安徽池州·三模）如圖，已知在矩形中，點(diǎn)F，G分別在邊上，是的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)連接，求證：是等腰三角形；(3)連接，當(dāng)，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)，易證，即可證明結(jié)論；（2）延長交于點(diǎn)，利用矩形的性質(zhì)證明，推出，進(jìn)而得到即是的中點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得出結(jié)論；（3）先證明，推出，求出，設(shè)，則，進(jìn)而求出，證明，推出，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，；（2）證明：延長交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，，，，，又，即是的中點(diǎn)，即，在中，，是等腰三角形；（3）解：是的中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．28．（2025·安徽阜陽·三模）在中，，，是上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，作交直線點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)若E，H重合，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)在內(nèi)，作交于點(diǎn)，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等待，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）先由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到，則由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則，據(jù)此可證明，得到，再證明，得到，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接．由平行線的性質(zhì)得到，則，即有，進(jìn)而得到；進(jìn)而可得；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則可證明，得到，，則可證明，得到，則．【詳解】（1）證明：∵，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）解：，證明如下：如圖，取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接．∵，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴；∵，∴，∴；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．29．（2024·安徽宿州·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿著對疊，點(diǎn)恰好落在上，對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接．(1)求的長；(2)點(diǎn)是上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（?。┤鐖D2，當(dāng)時(shí)，求的值；（ⅱ）如圖3，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2)（?。?；（ⅱ）．【分析】本題考查解直角三角形、翻折變換的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識點(diǎn)，作出輔助線是正確解決本題的關(guān)鍵.（1）由折疊的性質(zhì)可得，由三角函數(shù)可求解；（2）（?。┳C明，求出即可知；（ⅱ）作，交于H，由平行線分線段成比例定理即可求出的值．【詳解】（1）解：在中，，，，，將沿著對疊，點(diǎn)恰好落在上，，，，即，，；（2）解：（?。?，，將沿著對疊，，，，；（ⅱ）作，交于H，，同理可得，，設(shè)，則，．30．（2025·安徽淮北·三模）如圖1，點(diǎn)在的平分線上．(1)若，求證：．(2)如圖2，若．①已知，求的度數(shù)．②點(diǎn)在上，若，求證：．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的意義，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．（1）先利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論成立；（2）①先利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，從而可證得，再根據(jù)等邊對等角證得，進(jìn)而求得；②先利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，從而可得結(jié)論成立．【詳解】解：（1）證明：，．平分，．又，，．（2）①如圖，在上截取，連接．平分，，∵，，．，∴，，，．．②證明：如圖，連接，在和中，，．，，，．31．（2025·安徽合肥·三模）如圖1，點(diǎn)E為矩形邊上一點(diǎn)，連接交對角線于點(diǎn)F，且(1)求證：(2)當(dāng)點(diǎn)E為中點(diǎn)時(shí)，如圖2，連接．（i）求證：（ii）求的值．【答案】(1)見解析(2)（i）見解析；（ii）【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證，得，即可解答；（2）（i）連接，證明四點(diǎn)共圓，可得，再證明即可解答；（ii）設(shè)，則，得，在利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得即可解答．【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，，，，，，；（2）證明：（i）如圖，連接，，四點(diǎn)共圓，如圖，，E為中點(diǎn)，,，，，，，解：（ii）如圖，設(shè)，則，由（1），得，在中，，，，，，，．32．（2025·安徽合肥·三模）已知正方形中，E為邊上一點(diǎn)，E點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為F點(diǎn)，射線交的延長線于點(diǎn)G，連接交延長交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)M．(1)若，①求證：；②求的值；(2)求證：M為的中點(diǎn)．【答案】(1)①見解析；②(2)見解析【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)進(jìn)一步證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，最后利用軸對稱的性質(zhì)即可得出．②證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，即，設(shè)即，解得，再根據(jù)正切的定義求解即可．（2）延長、交于點(diǎn)P．由平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出進(jìn)而可得出M為的中點(diǎn)．【詳解】（1）①證明：∵是正方形，∴，，，又，，在和中，，．又E點(diǎn)與F點(diǎn)關(guān)于對稱，；②，，，又∵，，，即，設(shè)，則，解得，；（2）證明：如圖，延長、交于點(diǎn)P．，，，∵，，，又，D為的中點(diǎn)，即，∵，∴，∴，，即M為的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正切值，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，掌握這些判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2025安徽淮北·三模）已知和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形；且，.

(1)，在線段上，連接并延長交于F，如圖1．①求證：；②求的長．(2)若，點(diǎn)B、D、E在一條直線上，F(xiàn)是中點(diǎn)，G是中點(diǎn)，連接、，如圖2，求的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①根據(jù)題目條件和等腰三角形的性質(zhì)可以找到兩條對應(yīng)邊相等，又有夾角，可以根據(jù)證明三角形全等；②根據(jù)全等，可以得到，然后證得：∽，，根據(jù)題目條件求出、的長，即可求出的長．（2）先求、的值，得到比值相等，然后證得，從而得到∽，然后根據(jù)相似對應(yīng)邊成比例，求出比值．【詳解】（1）①證明：∵在線段上，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴

，又∵，，∴；②解：由①可得，，∴，又∵，∴，∴，∵，，

∴，

，∴；（2）解：連接，

∵和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，，∴，∵F是中點(diǎn)，G是中點(diǎn)，∴，∴，，，∴，即．∵∴，，∴．∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是找到全等和相似的關(guān)系．34．（2025·安徽安慶·一模）已知：在矩形中，點(diǎn)是邊上中點(diǎn)．(1)如圖1，連接并延長交延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．①求證：②求的值；(2)如圖2，過點(diǎn)作直線分別與、的延長線交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接、．求證：．【答案】(1)①證明見解析；②；(2)證明見解析．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）①由矩形的性質(zhì)得到，再得出，由點(diǎn)是中點(diǎn)，得到，即可證明；②由，得到，再證明，即可求解；（2）延長交延長線于點(diǎn)，由

得到，，，，得出，再得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，在與中，，，②解：由①可知，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：延長交延長線于點(diǎn)，∵

∴，，，，∴，∵，∴，在矩形中，，∴，∴，∴，∴．35．（2025·安徽合肥·一模）如圖1，四邊形的對角線，相交于點(diǎn)O，．(1)在圖1中，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)E，求證：；(2)如圖2，將沿AB翻折得到．①求證：；②若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②【分析】（1）由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（2）①過點(diǎn)A作交于E，交于F，由題意易得，，則有，然后問題可求證；②由題意易得四邊形是平行四邊形，則有，然后可得，進(jìn)而可得，，最后根據(jù)方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，，，，，，，；（2）①證明：過點(diǎn)A作交于E，交于F，如圖2，由（1）知，．，是翻折得到的，，，，，；②解：，，∴四邊形是平行四邊形，，，，又，，，即，，，即，，，，，，，解得（負(fù)值舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及判定及折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及判定及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．36．（2025·安徽合肥·一模）如圖，矩形中為對角線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接、．(1)若，①求證：平分；②求證：；(2)已知，且為的中點(diǎn)，求矩形的周長．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)【分析】（1）①由矩形得到，然后根據(jù)等邊對等角和平行線得到，等量代換得到，然后結(jié)合即可求解；②證明出，得到，然后等量代換即可證明；（2）如圖所示，過點(diǎn)D作，由相似得到，代數(shù)求出，利用三線合一求出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）①∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；②∵，∴，∴，∵，，，∴，∴整理得，；（2）如圖所示，過點(diǎn)D作，∵，且為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴矩形的周長．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，三線合一性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．37．（2025·安徽蕪湖·三模）在平行四邊形中，E、F兩點(diǎn)分別在和邊上，，連接和，分別交于G，H兩點(diǎn)．(1)如圖1，若平行四邊形為菱形．①求證：．②若，求的長．(2)如圖2，分別記的面積為，求證：．【答案】(1)①見解析；②的長為(2)見解析【分析】（1）①先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再利用菱形的性質(zhì)得出，然后可利用等邊對等角，得出，再說明，從而可利用證明，再利用證明，從而可利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論成立；②先證明四邊形為平行四邊形，從而可得，列出比例式，得到關(guān)于的方程求解，求出的長；（2）先利用由平行線截得的線段成比例，列出比例式，，，從而可利用比例的性質(zhì)得出，結(jié)合兩點(diǎn)到的距離相等，得出結(jié)論成立．【詳解】（1）解：①證明：∵，．平行四邊形為菱形，．．在和中，．．在和中，，．②如圖，連接，，，四邊形為平行四邊形．∴，．設(shè)，則，解得或（不合題意，舍去）．即的長為．（2）證明：，，．又，．．又兩點(diǎn)到的距離相等，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角，全等三角形的判定與性質(zhì)，由平行線截得的線段成比例等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟悉上述知識，并能熟練運(yùn)用求解．38．（2025·安徽合肥·二模）如圖1，已知：中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、邊上，連接，和，，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，若．（?。┊?dāng)時(shí)，求的值；（ⅱ）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)得，，，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）證明得，（?。┊?dāng)時(shí)，則，設(shè)，，根據(jù)四邊形的一組對角為直角得四邊形內(nèi)接于直徑為的圓，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等得，證明可得，繼而得到，求即可；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，則，延長至點(diǎn)，使，設(shè)，，可得垂直平分，，，推出，，進(jìn)一步可得四邊形內(nèi)接于直徑為的圓，繼而得到，證明得，可得，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵點(diǎn)為邊中點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，（?。┊?dāng)時(shí)，則，設(shè)，，∵，∴，∴四邊形內(nèi)接于直徑為的圓，如圖，∵圓周角、所對的弧為，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∴，即，∴，整理，得：，解得：或（負(fù)值不符合題意，舍去），∴；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，則，如圖，延長至點(diǎn)，使，設(shè)，，∵即，∴垂直平分，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形內(nèi)接于直徑為的圓，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，整理，得：，解得：或（負(fù)值不符合題意，舍去），∴．39．（2025·安徽亳州·三模）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，為上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，已知．(1)求證：；(2)連接，若．（）如圖，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（）請就圖的情形求證：．【答案】(1)見解析(2)（i）；（ii）見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）證明即可；（2）（i）過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則，，得到，，設(shè)，則，，則，由（1）可得：，，再由勾股定理逆定理求解即可；（ii）在上取點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)作的平行線交延長線于點(diǎn)，先證明，由得到，導(dǎo)角證明，由相似得到，設(shè)，則，則，再由等邊對等角結(jié)合三角形的外角即可證明．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）（）解：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，∴，，∵，，∴，，設(shè)，則，，∴由（1）可得：，∴，∴，∵，，∴，∴；（ii）證明：在上取點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)作的平行線交延長線于點(diǎn)，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∴，∴．40．（2025·安徽阜陽·二模）已知點(diǎn)，分別在矩形的邊，上，以為折痕，將四邊形翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；若與全等，求和的長；(2)如圖，的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，求的長．【答案】(1)；，；(2)．【分析】（）由折疊性質(zhì)可知，，，設(shè)，則，，再由勾股定理得，即，求出的值即可；由四邊形是矩形，得，所以，則與全等的情況只能為，設(shè)，則，，由勾股定理，得，即，求出的值即可，再證明，所以，即，求出，再由折疊性質(zhì)即可求解；（）連接，，，由點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，則，證明，，設(shè)，則，在中，，在中，，求出的值即可．【詳解】（1）解：由折疊性質(zhì)可知，，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，由勾股定理，得，即，解得∴的長為；∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴與全等的情況只能為，∴，，設(shè)，則，，由勾股定理，得，即，解得或（舍去），∴的長為，∴，，．∴，∵，，∴，∴，即，∴，由折疊性質(zhì)可知，，∴，（2）如圖，連接，，，∵點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，又∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴垂直平分，∴，∵，，∴，設(shè)，則，在中，，在中，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程，軸對稱性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．41．（2025·安徽安慶·二模）如圖，正方形中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．(1)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，的值：(2)如圖3，若，求證：．【答案】(1)①見解析；②(2)見解析【分析】①證明，得出，再證出，即可得出；②如圖2，連接．交于點(diǎn)．證明四邊形是平行四邊形，得出，證明，得出，證明，得出，即可求解．（2）證明，得出，再證明，得出，證明，即可證明．【詳解】（1）解：①如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，；②如圖2，連接．交于點(diǎn)．四邊形是正方形，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，；（2）解：如圖3，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，用到的知識點(diǎn)較多，難度較大，屬于中考壓軸題．42．（2025·安徽合肥·二模）如圖1，中，，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為邊，中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)如圖2，是邊上一點(diǎn)，連接，且．求證：；若，，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析；【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜得出，根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出；（2）①先證明，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解．②連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】（1）證明：在中，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，；（2）①，是邊的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，即，，，．②連接，，分別為，中點(diǎn)，，，，，又，，，，即，，，，，，，，即，，．43．（2025·安徽合肥·二模）綜合實(shí)踐紙是由國際標(biāo)準(zhǔn)化組織的定義的，世界上多數(shù)國家所使用的紙張尺寸都是采用這一國際標(biāo)準(zhǔn)某數(shù)學(xué)興趣小組通過折疊紙來探究其中的數(shù)學(xué)奧秘．【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖1，矩形是一張標(biāo)準(zhǔn)的紙，取，邊的中點(diǎn)M、N，以直線為軸進(jìn)行對折，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)對折后的矩形與原矩形相似，由此我們得到：又因?yàn)?，所以于是我們得出如下結(jié)論：（1）紙的長與寬之比為_______．【探究與計(jì)算】矩形是一張標(biāo)準(zhǔn)的紙，E為邊上一點(diǎn)，以直線為軸，將進(jìn)行翻折，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．（2）如圖2，若點(diǎn)在邊上時(shí)，則的值為_______；（3）如圖3，若E為邊的中點(diǎn)，連接，求的值．【拓展與證明】（4）如圖4，矩形紙片中，，E為邊上一點(diǎn)，以直線為軸，將進(jìn)行翻折，C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)，然后把紙片展平，再以為軸，將進(jìn)行翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上的處，折痕與相交于點(diǎn)O，與相交于點(diǎn)F，若．求的面積．【答案】（1）紙的長與寬之比為；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)已有的過程得，整理得，即可作答．（2）結(jié)合矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，證明四邊形是正方形，，再代入數(shù)值進(jìn)行化簡，即可作答．（3）結(jié)合矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，得，則，故，在中，，代入數(shù)值化簡得，故，則，即可作答．（4）因?yàn)榕c關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱，得，證明四邊形是菱形，故是等腰直角三角形，證明，則，再證明