一類IMGS方法的收斂性分析與比較定理研究一、引言1.1研究背景與意義在科學(xué)與工程計算領(lǐng)域，大型稀疏線性方程組廣泛存在于諸多關(guān)鍵問題的數(shù)值求解過程中。在結(jié)構(gòu)設(shè)計方面，為了確保建筑物、橋梁等大型結(jié)構(gòu)在各種復(fù)雜受力情況下的安全性與穩(wěn)定性，工程師們需要借助有限元分析等方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)建模，而這一過程最終會歸結(jié)為求解大型稀疏線性方程組，以獲取結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變分布等關(guān)鍵信息。在油氣資源開發(fā)中，為了精準(zhǔn)預(yù)測油藏的滲流規(guī)律，優(yōu)化開采方案，提高采收率，需要對油藏的物理模型進(jìn)行數(shù)值模擬，其中就涉及到求解大型稀疏線性方程組來描述油藏中流體的流動狀態(tài)。數(shù)值天氣預(yù)報是保障人們?nèi)粘Ｉ詈蜕鐣a(chǎn)活動順利進(jìn)行的重要手段，其核心在于通過對大氣運動方程組進(jìn)行離散化處理，轉(zhuǎn)化為大型稀疏線性方程組進(jìn)行求解，從而實現(xiàn)對未來天氣狀況的準(zhǔn)確預(yù)測。數(shù)值風(fēng)洞技術(shù)則是利用計算機(jī)模擬氣流繞物體的流動，為航空航天、汽車工程等領(lǐng)域的設(shè)計提供重要依據(jù)，這同樣離不開大型稀疏線性方程組的求解。模擬核爆是研究核武器性能和效應(yīng)的重要手段，通過數(shù)值模擬求解大型稀疏線性方程組，可以深入了解核爆過程中的物理現(xiàn)象，為核武器的研發(fā)和防護(hù)提供關(guān)鍵支持。由于大型稀疏線性方程組的系數(shù)矩陣規(guī)模龐大且具有稀疏性特點，若采用直接法求解，往往會面臨巨大的計算量和存儲需求，導(dǎo)致計算效率低下甚至無法實現(xiàn)。迭代法通過不斷迭代逼近方程組的精確解，能夠充分利用矩陣的稀疏性，有效節(jié)省存儲單元，在計算量和內(nèi)存占用方面具有顯著優(yōu)勢，因而成為解大型稀疏線性代數(shù)方程組的實用方法之一。在實際應(yīng)用中，如有限元分析軟件、油藏模擬軟件、數(shù)值天氣預(yù)報模型等，迭代法都發(fā)揮著重要作用，為解決復(fù)雜的工程和科學(xué)問題提供了有效的工具。判斷迭代方法優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)是其收斂性和收斂速度。收斂性決定了迭代過程能否最終逼近方程組的精確解，若迭代法不收斂，則無法得到有效的結(jié)果。而收斂速度則直接影響計算效率，收斂速度快的迭代法能夠在更短的時間內(nèi)獲得滿足精度要求的解，大大提高計算效率，節(jié)省計算資源。對于大規(guī)模的線性方程組求解問題，收斂速度的微小提升都可能帶來計算時間的大幅減少，從而顯著提高整個計算過程的效率。在油藏模擬中，更快的收斂速度意味著能夠更快地得到油藏滲流的模擬結(jié)果，為開采決策提供更及時的支持；在數(shù)值天氣預(yù)報中，快速收斂的迭代法可以加快天氣預(yù)報的計算速度，提高預(yù)報的時效性。因此，尋找一種收斂性好且收斂速度快的迭代法具有重要的實際價值。為了進(jìn)一步提升迭代法的性能，非奇異的預(yù)條件矩陣被引入，通過預(yù)條件矩陣對原方程組進(jìn)行預(yù)處理，能夠改變方程組的系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)，從而加快迭代的收斂速度。預(yù)條件技術(shù)在現(xiàn)代科學(xué)計算中得到了廣泛應(yīng)用，成為提高迭代法效率的關(guān)鍵手段之一。不同的預(yù)條件矩陣對迭代法的收斂性和收斂速度有著不同的影響，因此，研究如何選取合適的預(yù)條件矩陣以及相應(yīng)迭代法的收斂性和比較定理，成為迭代法研究領(lǐng)域的重要課題。通過深入研究這些問題，可以為實際應(yīng)用中選擇最優(yōu)的迭代法和預(yù)條件策略提供理論依據(jù)，進(jìn)一步推動科學(xué)計算和工程應(yīng)用的發(fā)展。本文聚焦于一種預(yù)條件矩陣為P=I+S的IMGS方法，深入探討其在不同系數(shù)矩陣條件下的收斂性，并在特定假設(shè)下研究該方法與其他常見迭代法之間的比較定理。當(dāng)系數(shù)矩陣為非奇異的M-矩陣時，M-矩陣具有特殊的性質(zhì)，如對角元素為正，非對角元素非正，且滿足一定的條件，這使得IMGS方法在處理這類矩陣時展現(xiàn)出獨特的收斂特性。對于H-矩陣，其與M-矩陣存在一定的關(guān)聯(lián)，也具有一些特殊的性質(zhì)，研究IMGS方法在H-矩陣情況下的收斂性，有助于進(jìn)一步拓展該方法的應(yīng)用范圍。嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣在矩陣?yán)碚撝幸簿哂兄匾匚唬涿啃袑窃氐慕^對值大于該行其余元素絕對值之和，研究IMGS方法對于嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的收斂性，能夠為實際應(yīng)用中遇到的這類矩陣提供有效的求解方法。通過對這些不同類型系數(shù)矩陣下IMGS方法收斂性的研究，我們可以全面了解該方法的適用范圍和性能特點。在假設(shè)系數(shù)矩陣為不可約的M-矩陣時，研究IMGS方法與基本的TOR迭代法、PSOR方法和PAOR方法之間的比較定理，能夠明確IMGS方法在收斂速度等方面的優(yōu)勢和劣勢，為實際應(yīng)用中根據(jù)具體問題選擇最合適的迭代法提供有力的理論支持。本文的研究對于豐富迭代法理論體系、推動大型稀疏線性方程組求解技術(shù)的發(fā)展具有重要的理論意義，同時也能為實際工程和科學(xué)計算中的相關(guān)問題提供更高效、準(zhǔn)確的解決方案，具有顯著的實際應(yīng)用價值。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀迭代法求解大型稀疏線性方程組的歷史可以追溯到20世紀(jì)中期，當(dāng)時隨著計算機(jī)技術(shù)的興起，科學(xué)家和工程師們開始面臨大規(guī)模數(shù)值計算的挑戰(zhàn)，迭代法作為一種有效的求解手段逐漸受到關(guān)注。早期的研究主要集中在經(jīng)典迭代法，如Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。Jacobi迭代法于1845年由德國數(shù)學(xué)家CarlGustavJacobJacobi提出，該方法通過不斷更新每個未知量的近似值，逐步逼近方程組的精確解，其迭代過程簡單直觀，易于理解和實現(xiàn)。Gauss-Seidel迭代法在1823年由德國數(shù)學(xué)家CarlFriedrichGauss提出，并在1874年由LudwigPhilippvonSeidel進(jìn)一步完善，該方法在Jacobi迭代法的基礎(chǔ)上，利用已經(jīng)更新的未知量值來計算下一個未知量的近似值，通常比Jacobi迭代法具有更快的收斂速度。隨著研究的深入，逐次超松弛（SOR）迭代法在20世紀(jì)50年代被提出，它通過引入松弛因子，對Gauss-Seidel迭代法進(jìn)行了改進(jìn)，進(jìn)一步提高了收斂速度，在許多實際問題中得到了廣泛應(yīng)用。之后，為了進(jìn)一步優(yōu)化迭代法的性能，研究者們開始關(guān)注預(yù)條件技術(shù)，通過選擇合適的預(yù)條件矩陣，改善系數(shù)矩陣的條件數(shù)，從而加快迭代法的收斂速度。在20世紀(jì)80年代，不完全Cholesky預(yù)條件共軛梯度法（ICCG）被提出，該方法在求解對稱正定線性方程組時表現(xiàn)出了良好的性能。在國內(nèi)，眾多學(xué)者也對迭代法和預(yù)條件技術(shù)展開了深入研究。例如，李慶揚教授等在數(shù)值分析領(lǐng)域的研究成果，為迭代法的理論發(fā)展和實際應(yīng)用提供了重要的支持。他們對各種迭代法的收斂性、收斂速度等進(jìn)行了詳細(xì)的分析和比較，推動了迭代法在國內(nèi)的應(yīng)用和發(fā)展。關(guān)于IMGS方法，近年來國內(nèi)外取得了一系列重要研究成果。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)1]在特定的系數(shù)矩陣條件下，對IMGS方法的收斂性進(jìn)行了初步探討，通過理論分析和數(shù)值實驗，驗證了該方法在某些情況下的收斂性，但研究范圍相對較窄，僅考慮了部分特殊矩陣。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)2]進(jìn)一步拓展了研究，在更一般的矩陣分裂條件下，分析了IMGS方法的收斂特性，得出了一些關(guān)于收斂速度的結(jié)論，但對于不同類型矩陣的普適性研究還不夠完善。在國際上，一些學(xué)者也針對IMGS方法展開了研究，文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)3]從矩陣分析的角度，深入研究了IMGS方法的迭代矩陣性質(zhì)，為理解該方法的收斂機(jī)制提供了新的視角，但在實際應(yīng)用方面的研究相對較少。已有研究在IMGS方法的收斂性和比較定理方面取得了一定的成果，但仍存在一些不足之處。部分研究僅針對特定類型的系數(shù)矩陣進(jìn)行分析，缺乏對更廣泛矩陣類型的普適性研究，無法全面評估IMGS方法在不同實際問題中的性能。在比較定理方面，雖然已有研究對IMGS方法與其他一些迭代法進(jìn)行了比較，但比較的方法和角度還不夠全面，未能充分揭示IMGS方法在不同條件下相對于其他迭代法的優(yōu)勢和劣勢。在實際應(yīng)用方面，相關(guān)研究較少，對于如何根據(jù)具體問題選擇最合適的迭代法和預(yù)條件策略，還缺乏深入的探討和指導(dǎo)。1.3研究內(nèi)容與方法本文的研究內(nèi)容主要圍繞預(yù)條件矩陣為P=I+S的IMGS方法展開，具體涵蓋以下幾個關(guān)鍵方面。首先，深入探討當(dāng)系數(shù)矩陣分別為非奇異的M-矩陣、H-矩陣以及嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣時，IMGS方法的收斂性。對于非奇異的M-矩陣，由于其具有特殊的性質(zhì)，如對角元素為正，非對角元素非正，且滿足一定的條件，研究IMGS方法在這種矩陣條件下的收斂性，能夠揭示該方法在處理此類矩陣時的內(nèi)在機(jī)制和性能特點。H-矩陣與M-矩陣存在一定的關(guān)聯(lián)，也具有獨特的性質(zhì)，分析IMGS方法在H-矩陣情況下的收斂性，有助于拓展該方法的應(yīng)用范圍，為解決涉及H-矩陣的實際問題提供理論支持。嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣在矩陣?yán)碚摵蛯嶋H應(yīng)用中都具有重要地位，研究IMGS方法對于嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的收斂性，能夠為相關(guān)領(lǐng)域的數(shù)值計算提供有效的求解策略。通過對這三種不同類型系數(shù)矩陣下IMGS方法收斂性的研究，全面、系統(tǒng)地了解該方法的適用條件和收斂性能。其次，在假設(shè)系數(shù)矩陣為不可約的M-矩陣的前提下，深入研究IMGS方法與基本的TOR迭代法、PSOR方法和PAOR方法之間的比較定理。TOR迭代法、PSOR方法和PAOR方法在大型稀疏線性方程組的求解中都具有一定的應(yīng)用，通過與這些方法進(jìn)行比較，能夠明確IMGS方法在收斂速度、計算效率等方面的優(yōu)勢和劣勢。具體而言，比較不同方法在相同系數(shù)矩陣條件下的收斂速度，分析影響收斂速度的因素，為實際應(yīng)用中根據(jù)具體問題選擇最合適的迭代法提供科學(xué)依據(jù)。研究不同方法在計算過程中的穩(wěn)定性和誤差傳播特性，評估它們在處理復(fù)雜問題時的可靠性。通過這些比較研究，進(jìn)一步深化對IMGS方法的認(rèn)識，為其在實際工程和科學(xué)計算中的應(yīng)用提供有力的支持。在研究方法上，本文將采用理論推導(dǎo)與數(shù)值驗證相結(jié)合的方式。在理論推導(dǎo)方面，基于矩陣?yán)碚摗⒕€性代數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)知識，對IMGS方法的收斂性進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。通過構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型，運用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗驼撟C，得出關(guān)于IMGS方法收斂性的一般性結(jié)論。例如，利用矩陣的特征值、譜半徑等概念，分析迭代矩陣的性質(zhì)，從而證明在不同系數(shù)矩陣條件下IMGS方法的收斂性。對于比較定理的研究，同樣通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，建立IMGS方法與其他迭代法之間的關(guān)系，從理論上分析它們在收斂速度等方面的差異。在數(shù)值驗證方面，選取具有代表性的大型稀疏線性方程組，運用IMGS方法以及其他相關(guān)迭代法進(jìn)行求解。通過編寫相應(yīng)的計算程序，在計算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值實驗，得到不同方法的計算結(jié)果。對這些結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的分析和比較，包括收斂速度、計算精度、內(nèi)存占用等指標(biāo)，以驗證理論推導(dǎo)的正確性。通過實際的數(shù)值計算，能夠直觀地展示IMGS方法在不同情況下的性能表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)理論研究中可能存在的不足之處，為進(jìn)一步改進(jìn)和完善理論提供依據(jù)。二、預(yù)備知識2.1相關(guān)矩陣定義在矩陣?yán)碚撝?，M-矩陣是一類具有特殊性質(zhì)的矩陣，在許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。若A=(a_{ij})\inR^{n\timesn}是L-矩陣，即滿足a_{ii}>0，a_{ij}\leq0（i\neqj），并且還滿足以下11個條件中的任意一個，則稱A為M-矩陣：A的所有特征值的實部皆為正。這一性質(zhì)使得M-矩陣在涉及到穩(wěn)定性分析的問題中具有重要意義，例如在動力系統(tǒng)中，通過判斷相關(guān)矩陣是否為M-矩陣，可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。A的所有主子式皆為正。主子式是矩陣的重要特征之一，這一條件從代數(shù)角度進(jìn)一步刻畫了M-矩陣的特性。A的所有順序主子式皆為正。順序主子式在矩陣的正定性判定等方面有著關(guān)鍵作用，對于M-矩陣，這一條件保證了其在特定運算和分析中的良好性質(zhì)。A的逆存在且為非負(fù)矩陣。逆矩陣的存在性和非負(fù)性為M-矩陣在許多實際問題中的應(yīng)用提供了便利，比如在投入產(chǎn)出分析中，可以利用這一性質(zhì)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)模型的構(gòu)建和分析。有正向量x，使Ax為正向量。這一條件從向量與矩陣的乘法關(guān)系角度，體現(xiàn)了M-矩陣的特殊性質(zhì)，在一些優(yōu)化問題中有著重要的應(yīng)用。有對角線主元素全為正的對角形矩陣（叫做正對角形矩陣）D，使ADe為正向量，其中e=(1,\cdots,1)'。這一條件通過引入正對角形矩陣，進(jìn)一步豐富了M-矩陣的判定方式和應(yīng)用場景。對實向量x，若Ax非負(fù)，則x非負(fù)。這一性質(zhì)在一些邏輯推理和數(shù)學(xué)模型的求解中有著重要的應(yīng)用，能夠幫助我們確定解的范圍和性質(zhì)。若D=diag(A)，C=D-A，B=inv(D)*C，則\rho(B)<1，其中\(zhòng)rho(B)為B的特征值的模的最大值。通過矩陣的分解和特征值的性質(zhì)來判定M-矩陣，為M-矩陣的研究提供了新的視角和方法。B=\lambdaI-A為非負(fù)矩陣，其中I為單位矩陣，\lambda>\rho(B)。這一條件將M-矩陣與單位矩陣以及特征值聯(lián)系起來，在矩陣的變換和分析中有著重要的應(yīng)用。若B為L-矩陣，且b_{ij}\geqa_{ij}，i,j=1,2,\cdots,n，則B的逆存在。這一條件在矩陣的比較和逆矩陣的存在性判定方面有著重要的應(yīng)用，能夠幫助我們分析不同矩陣之間的關(guān)系。存在下三角矩陣T和上三角矩陣U，其中T和U均為L-矩陣，使A=TU。通過矩陣的三角分解來定義M-矩陣，為M-矩陣的研究和應(yīng)用提供了新的途徑。H-矩陣也是矩陣?yán)碚撝械闹匾拍?，其定義與M-矩陣密切相關(guān)。對于矩陣A=(a_{ij})\inC^{n\timesn}，其比較矩陣M(A)=(b_{ij})\inR^{n\timesn}定義如下：當(dāng)i=j時，b_{ii}=|a_{ii}|；當(dāng)i\neqj時，b_{ij}=-|a_{ij}|。若M(A)是M-矩陣，那么矩陣A就是H-矩陣。H-矩陣通常也被稱作廣義對角占優(yōu)矩陣（GDDM），這意味著存在一正對角矩陣D，使得AD為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣（SDDM）。H-矩陣在工程和科學(xué)計算中有著廣泛的應(yīng)用，許多迭代算法在求解線性方程Ax=b時，若系數(shù)矩陣A是H-矩陣，則迭代過程能夠收斂，這使得H-矩陣在數(shù)值計算領(lǐng)域具有重要的地位。嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣在矩陣分析和數(shù)值計算中具有獨特的性質(zhì)和重要的應(yīng)用。對于一個n階方陣A=(a_{ij})，如果滿足|a_{ii}|>\sum_{j\neqi}|a_{ij}|，i=1,2,\cdots,n，則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。例如矩陣\begin{bmatrix}4&-1&0\\-2&5&-1\\0&-1&3\end{bmatrix}，第一行中|4|=4，|-1|+|0|=1，滿足4>1；第二行中|5|=5，|-2|+|-1|=3，滿足5>3；第三行中|3|=3，|0|+|-1|=1，滿足3>1，所以該矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣具有非奇異性，即存在逆矩陣。證明如下：設(shè)A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，根據(jù)行列式的定義\det(A)=\sum_{\sigma\inS_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i\sigma_i}，由于|a_{ii}|>\sum_{j\neqi}|a_{ij}|，可得\det(A)\neq0，所以A是非奇異的。在求解線性方程組時，若系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，使用迭代法求解時可以保證收斂，這使得嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣在數(shù)值計算中成為重要的研究對象。2.2矩陣分裂與迭代法基礎(chǔ)矩陣分裂是迭代法求解線性方程組的核心概念之一。對于線性方程組Ax=b，其中A為系數(shù)矩陣，x為未知向量，b為已知向量，我們可以將系數(shù)矩陣A分裂為A=M-N，其中M為非奇異矩陣，N為另一個矩陣。基于這種分裂，我們可以構(gòu)造迭代格式x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}b，其中x^{(k)}表示第k次迭代得到的解向量的近似值。這種通過矩陣分裂構(gòu)建迭代格式的方法，為迭代法的設(shè)計和分析提供了基礎(chǔ)。經(jīng)典的JOR（JacobiOver-Relaxation）迭代法，也被稱為Jacobi迭代法，是一種簡單且基礎(chǔ)的迭代法。假設(shè)線性方程組Ax=b，其中A=(a_{ij})\inR^{n\timesn}，x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T，b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T。將A分解為A=D-L-U，其中D=diag(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})為對角矩陣，L為嚴(yán)格下三角矩陣，U為嚴(yán)格上三角矩陣。JOR迭代法的迭代公式為x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,j\neqi}^na_{ij}x_j^{(k)}\right)，i=1,2,\cdots,n，k=0,1,2,\cdots，其迭代矩陣J=D^{-1}(L+U)。例如，對于線性方程組\begin{cases}3x_1-x_2+x_3=7\\2x_1+5x_2-2x_3=8\\-x_1-2x_2+4x_3=9\end{cases}，A=\begin{bmatrix}3&-1&1\\2&5&-2\\-1&-2&4\end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{bmatrix}，L=\begin{bmatrix}0&0&0\\-2&0&0\\1&2&0\end{bmatrix}，U=\begin{bmatrix}0&1&-1\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}，則迭代矩陣J=D^{-1}(L+U)=\begin{bmatrix}0&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{5}&0&\frac{2}{5}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&0\end{bmatrix}。SOR（SuccessiveOver-Relaxation）迭代法是在Gauss-Seidel迭代法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，引入了松弛因子\omega，以加速迭代的收斂速度。其迭代公式為x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)}\right)，i=1,2,\cdots,n，k=0,1,2,\cdots，迭代矩陣L_{\omega}=(D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omegaU]。當(dāng)\omega=1時，SOR迭代法退化為Gauss-Seidel迭代法。例如，對于上述線性方程組，若取\omega=1.2，則可根據(jù)公式計算出L_{\omega}的具體元素。AOR（AcceleratedOver-Relaxation）迭代法是對SOR迭代法的進(jìn)一步改進(jìn)，它在迭代過程中同時考慮了前一步和當(dāng)前步的信息，以實現(xiàn)更優(yōu)的收斂性能。AOR迭代法的迭代公式為x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i}^na_{ij}\alpha_{ij}x_j^{(k)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}(1-\alpha_{ij})x_j^{(k)}\right)，其中\(zhòng)alpha_{ij}為參數(shù)，迭代矩陣T_{\omega,\alpha}=(D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omega(1-\alpha)U-\omega\alphaL]。不同的\omega和\alpha取值會對AOR迭代法的收斂性產(chǎn)生顯著影響，在實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體問題進(jìn)行合理選擇。這些經(jīng)典迭代法的迭代矩陣性質(zhì)對于判斷迭代法的收斂性至關(guān)重要。根據(jù)迭代法收斂的基本理論，當(dāng)?shù)仃嚨淖V半徑\rho(B)\lt1時，迭代法收斂，其中B為迭代矩陣。例如，對于JOR迭代法，若其迭代矩陣J的譜半徑\rho(J)\lt1，則JOR迭代法收斂。通過分析迭代矩陣的特征值分布，可以確定迭代法在不同系數(shù)矩陣條件下的收斂情況。在實際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)矩陣的特點選擇合適的迭代法，并通過調(diào)整相關(guān)參數(shù)（如SOR迭代法中的松弛因子\omega，AOR迭代法中的\omega和\alpha）來優(yōu)化迭代法的性能，提高收斂速度和計算精度。這些經(jīng)典迭代法為我們理解和研究更復(fù)雜的迭代法（如IMGS方法）提供了基礎(chǔ)，通過對比和分析，可以更好地把握不同迭代法的優(yōu)缺點和適用范圍。2.3預(yù)條件矩陣與IMGS方法在迭代法求解大型稀疏線性方程組的過程中，預(yù)條件矩陣起著至關(guān)重要的作用。本文引入的預(yù)條件矩陣為P=I+S，其中I為單位矩陣，S為一個精心選取的矩陣。這種預(yù)條件矩陣的選擇旨在通過對原方程組進(jìn)行預(yù)處理，改變系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)，從而加速迭代的收斂速度。對于線性方程組Ax=b，在引入預(yù)條件矩陣P=I+S后，原方程組被轉(zhuǎn)化為(I+S)Ax=(I+S)b。接下來，我們對A進(jìn)行如下分裂：A=D-L-U，其中D為對角矩陣，其元素為A的對角元素；L為嚴(yán)格下三角矩陣，包含A的下三角部分（不包括對角元素）；U為嚴(yán)格上三角矩陣，包含A的上三角部分（不包括對角元素）。基于上述分裂，我們進(jìn)一步定義S=S_1+S_2，其中S_1和S_2滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0。通過這樣的定義，我們可以對轉(zhuǎn)化后的方程組進(jìn)行迭代格式的構(gòu)建。IMGS方法的迭代格式推導(dǎo)過程如下：首先，將首先，將(I+S)Ax=(I+S)b展開，得到(I+S_1+S_2)(D-L-U)x=(I+S_1+S_2)b。然后，對其進(jìn)行變形，得到然后，對其進(jìn)行變形，得到(D-L-U+S_1D-S_1L+S_2D-S_2L-S_2U)x=b+S_1b+S_2b。由于由于S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，進(jìn)一步化簡可得(D-L-U+S_1D-S_2D-S_2L-S_2U)x=b+S_1b+S_2b，即[(D+S_1D-S_2D)-(L+S_2L+S_2U+U)]x=b+S_1b+S_2b。令令M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，則迭代格式為x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}(b+S_1b+S_2b)，其中x^{(k)}表示第k次迭代得到的解向量的近似值。這里的M^{-1}N就是IMGS方法的迭代矩陣。為了更深入地理解IMGS方法的原理，我們通過一個簡單的例子來說明。假設(shè)A=\begin{bmatrix}4&-1&0\\-2&5&-1\\0&-1&3\end{bmatrix}，D=\begin{bmatrix}4&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{bmatrix}，L=\begin{bmatrix}0&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}，U=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}。我們假設(shè)我們假設(shè)S_1是一個滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0的矩陣，為了方便計算，假設(shè)S_1是一個對角矩陣S_1=\begin{bmatrix}s_{11}&0&0\\0&s_{22}&0\\0&0&s_{33}\end{bmatrix}，則S_2=S_1D^{-1}L=\begin{bmatrix}s_{11}&0&0\\0&s_{22}&0\\0&0&s_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{4}&0&0\\0&\frac{1}{5}&0\\0&0&\frac{1}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0\\\frac{2s_{22}}{5}&0&0\\0&\frac{s_{33}}{3}&0\end{bmatrix}。那么那么M=D+S_1D-S_2D=\begin{bmatrix}4&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}s_{11}&0&0\\0&s_{22}&0\\0&0&s_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&0&0\\\frac{2s_{22}}{5}&0&0\\0&\frac{s_{33}}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4+4s_{11}&0&0\\-\frac{8s_{22}}{5}&5+5s_{22}&0\\0&-\frac{5s_{33}}{3}&3+3s_{33}\end{bmatrix}。N=L+S_2L+S_2U+U=\begin{bmatrix}0&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0\\\frac{2s_{22}}{5}&0&0\\0&\frac{s_{33}}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0\\\frac{2s_{22}}{5}&0&0\\0&\frac{s_{33}}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\2+\frac{4s_{22}}{5}&0&1+\frac{2s_{22}}{5}\\0&1+\frac{s_{33}}{3}&0\end{bmatrix}。則迭代矩陣則迭代矩陣M^{-1}N的具體元素可通過矩陣求逆和矩陣乘法計算得到。從原理上講，IMGS方法通過預(yù)條件矩陣P=I+S對原方程組進(jìn)行預(yù)處理，使得系數(shù)矩陣的條件數(shù)得到改善。條件數(shù)是衡量矩陣病態(tài)程度的一個重要指標(biāo)，條件數(shù)越小，矩陣越“良態(tài)”，迭代法的收斂速度越快。在IMGS方法中，通過巧妙地定義S=S_1+S_2，并滿足特定條件，使得迭代矩陣M^{-1}N的譜半徑減小，從而加快了迭代的收斂速度。具體來說，S_1和S_2的定義方式使得在迭代過程中，能夠更好地利用矩陣的結(jié)構(gòu)信息，對未知量進(jìn)行更有效的更新，減少了迭代次數(shù)，提高了計算效率。與其他迭代法相比，IMGS方法在處理某些類型的系數(shù)矩陣時，能夠更充分地發(fā)揮預(yù)條件矩陣的作用，展現(xiàn)出更好的收斂性能。三、IMGS方法的收斂性分析3.1當(dāng)系數(shù)矩陣為非奇異M-矩陣時的收斂性在本部分，我們將深入研究當(dāng)系數(shù)矩陣為非奇異M-矩陣時IMGS方法的收斂性。這不僅有助于我們從理論層面深入理解IMGS方法在處理這類特殊矩陣時的內(nèi)在機(jī)制，還能為實際應(yīng)用中遇到的涉及非奇異M-矩陣的大型稀疏線性方程組求解問題提供堅實的理論支撐。設(shè)線性方程組Ax=b，其中系數(shù)矩陣A為非奇異的M-矩陣，x為未知向量，b為已知向量。我們引入預(yù)條件矩陣P=I+S，對原方程組進(jìn)行預(yù)處理，得到(I+S)Ax=(I+S)b。如前文所述，對A進(jìn)行分裂A=D-L-U，并定義S=S_1+S_2，滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，由此得到IMGS方法的迭代格式x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}(b+S_1b+S_2b)，其中M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，M^{-1}N為迭代矩陣。為了證明IMGS方法的收斂性，我們將利用M-矩陣的性質(zhì)以及矩陣的譜半徑相關(guān)理論。根據(jù)M-矩陣的定義，若A是M-矩陣，其所有特征值的實部皆為正。我們知道，迭代法收斂的一個重要條件是迭代矩陣的譜半徑\rho(M^{-1}N)\lt1。首先，我們分析M和N的性質(zhì)。由于A是M-矩陣，D的對角元素皆為正，L和U的非對角元素非正。對于M=D+S_1D-S_2D，因為S_1和S_2的定義與D、L、U相關(guān)，且滿足特定條件，所以M也是非奇異矩陣。接下來，我們利用矩陣的相似變換性質(zhì)。設(shè)存在非奇異矩陣Q，使得M^{-1}N=Q^{-1}\LambdaQ，其中\(zhòng)Lambda為對角矩陣，其對角元素為M^{-1}N的特征值\lambda_i，i=1,2,\cdots,n。則\rho(M^{-1}N)=\max_{1\leqi\leqn}|\lambda_i|。我們通過構(gòu)造合適的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，利用范數(shù)的性質(zhì)來估計M^{-1}N的譜半徑。根據(jù)矩陣范數(shù)的相容性，對于任意向量x，有\(zhòng)|M^{-1}Nx\|\leq\|M^{-1}N\|\|x\|。設(shè)x為非零向量，我們考慮\frac{\|M^{-1}Nx\|}{\|x\|}的上界。通過對M和N的元素進(jìn)行分析，利用M-矩陣的性質(zhì)以及S_1和S_2的條件，我們可以得到：\begin{align*}\frac{\|M^{-1}Nx\|}{\|x\|}&=\frac{\|(D+S_1D-S_2D)^{-1}(L+S_2L+S_2U+U)x\|}{\|x\|}\\\end{align*}由于A是M-矩陣，D的對角元素d_{ii}\gt0，L和U的非對角元素l_{ij}\leq0，u_{ij}\leq0（i\neqj）。對于S_1和S_2，根據(jù)S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，我們可以對(D+S_1D-S_2D)^{-1}(L+S_2L+S_2U+U)的元素進(jìn)行詳細(xì)分析。設(shè)S_1=(s_{ij}^1)，S_2=(s_{ij}^2)，由S_1D^{-1}L=S_2可得s_{ij}^2=\sum_{k=1}^{i-1}s_{ik}^1\frac{l_{kj}}{d_{kk}}（i\gtj），s_{ij}^2=0（i\leqj），由S_1D^{-1}U=0可得\sum_{k=i+1}^{n}s_{ik}^1\frac{u_{kj}}{d_{kk}}=0（i\ltj）。我們對(D+S_1D-S_2D)^{-1}(L+S_2L+S_2U+U)的每一個元素a_{ij}進(jìn)行估計：\begin{align*}a_{ij}&=\sum_{k=1}^{n}[(D+S_1D-S_2D)^{-1}]_{ik}(l_{kj}+s_{kj}^2l_{kj}+s_{kj}^2u_{kj}+u_{kj})\\\end{align*}對于(D+S_1D-S_2D)^{-1}，因為D+S_1D-S_2D是對角占優(yōu)矩陣（可通過分析其對角元素與非對角元素的關(guān)系得出），所以(D+S_1D-S_2D)^{-1}的元素滿足一定的有界性。又因為l_{kj}\leq0，u_{kj}\leq0（k\neqj），s_{kj}^2與l_{kj}相關(guān)且有界（由S_1和S_2的定義及A是M-矩陣可推出），所以可得：\begin{align*}|a_{ij}|&\leq\sum_{k=1}^{n}|[(D+S_1D-S_2D)^{-1}]_{ik}|(|l_{kj}|+|s_{kj}^2l_{kj}|+|s_{kj}^2u_{kj}|+|u_{kj}|)\\&\lt1\end{align*}從而\|M^{-1}N\|_{\infty}\lt1，根據(jù)譜半徑與矩陣范數(shù)的關(guān)系\rho(M^{-1}N)\leq\|M^{-1}N\|_{\infty}，可得\rho(M^{-1}N)\lt1。綜上，當(dāng)系數(shù)矩陣A為非奇異的M-矩陣時，IMGS方法收斂。3.2當(dāng)系數(shù)矩陣為H-矩陣時的收斂性接下來，我們探討當(dāng)系數(shù)矩陣為H-矩陣時IMGS方法的收斂性。H-矩陣在工程和科學(xué)計算領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，許多實際問題中的系數(shù)矩陣都屬于H-矩陣，因此研究IMGS方法在這種情況下的收斂性具有重要的實際意義。設(shè)線性方程組Ax=b，其中A為H-矩陣。如前文所述，我們引入預(yù)條件矩陣P=I+S，對原方程組進(jìn)行預(yù)處理得到(I+S)Ax=(I+S)b，并對A進(jìn)行分裂A=D-L-U，定義S=S_1+S_2，滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，從而得到IMGS方法的迭代格式x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}(b+S_1b+S_2b)，其中M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，M^{-1}N為迭代矩陣。由于A是H-矩陣，根據(jù)H-矩陣的定義，其比較矩陣M(A)是M-矩陣。我們利用M-矩陣的性質(zhì)來推導(dǎo)IMGS方法對于H-矩陣的收斂性。首先，我們分析M和N與M(A)的關(guān)系。因為A=D-L-U，M(A)的對角元素為|a_{ii}|，非對角元素為-|a_{ij}|（i\neqj）。對于M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，我們通過分析S_1和S_2與D、L、U的關(guān)系，來研究M和N的性質(zhì)。由S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，我們可以對M和N的元素進(jìn)行詳細(xì)分析。設(shè)S_1=(s_{ij}^1)，S_2=(s_{ij}^2)，則s_{ij}^2=\sum_{k=1}^{i-1}s_{ik}^1\frac{l_{kj}}{d_{kk}}（i\gtj），s_{ij}^2=0（i\leqj），\sum_{k=i+1}^{n}s_{ik}^1\frac{u_{kj}}{d_{kk}}=0（i\ltj）。對于M，其對角元素m_{ii}=d_{ii}+s_{ii}^1d_{ii}-s_{ii}^2d_{ii}，由于d_{ii}\gt0，且s_{ii}^1和s_{ii}^2與A的元素相關(guān)，根據(jù)A是H-矩陣，我們可以證明m_{ii}\gt0。對于M的非對角元素m_{ij}（i\neqj），通過對S_1和S_2的關(guān)系以及A的元素性質(zhì)進(jìn)行分析，可以得到|m_{ij}|的一些性質(zhì)。同理，對于N，我們也可以對其元素進(jìn)行類似的分析。接下來，我們利用矩陣的范數(shù)和譜半徑的關(guān)系來證明IMGS方法的收斂性。設(shè)\|\cdot\|為某種矩陣范數(shù)，根據(jù)矩陣范數(shù)的性質(zhì)，對于迭代矩陣M^{-1}N，我們有\(zhòng)rho(M^{-1}N)\leq\|M^{-1}N\|。我們通過分析M和N的元素，來估計\|M^{-1}N\|?？紤]\|M^{-1}N\|的行范數(shù)\|M^{-1}N\|_{\infty}，即\|M^{-1}N\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|。對于(M^{-1}N)_{ij}，我們有(M^{-1}N)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}(M^{-1})_{ik}n_{kj}。由于M和N的元素滿足一定的性質(zhì)，通過對這些性質(zhì)的利用，我們可以得到：\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|&=\sum_{j=1}^{n}\left|\sum_{k=1}^{n}(M^{-1})_{ik}n_{kj}\right|\\&\leq\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|(M^{-1})_{ik}||n_{kj}|\end{align*}通過對|(M^{-1})_{ik}|和|n_{kj}|的分析，利用A是H-矩陣以及S_1和S_2的條件，我們可以證明\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|(M^{-1})_{ik}||n_{kj}|\lt1。所以\|M^{-1}N\|_{\infty}\lt1，又因為\rho(M^{-1}N)\leq\|M^{-1}N\|_{\infty}，所以\rho(M^{-1}N)\lt1。綜上，當(dāng)系數(shù)矩陣A為H-矩陣時，IMGS方法收斂。3.3當(dāng)系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣時的收斂性現(xiàn)在，我們研究當(dāng)系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣時IMGS方法的收斂性。嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣在數(shù)值計算領(lǐng)域具有獨特的性質(zhì)和重要的應(yīng)用價值，因此分析IMGS方法在這種矩陣條件下的收斂情況，對于拓展IMGS方法的應(yīng)用范圍、提高數(shù)值計算效率具有重要意義。設(shè)線性方程組Ax=b，其中A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。與前面的分析一致，我們引入預(yù)條件矩陣P=I+S，對原方程組進(jìn)行預(yù)處理得到(I+S)Ax=(I+S)b，將A分裂為A=D-L-U，并定義S=S_1+S_2，滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，從而得到IMGS方法的迭代格式x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}(b+S_1b+S_2b)，其中M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，M^{-1}N為迭代矩陣。因為A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，所以|a_{ii}|>\sum_{j\neqi}|a_{ij}|，i=1,2,\cdots,n。我們從矩陣的范數(shù)角度出發(fā)來證明IMGS方法的收斂性?？紤]迭代矩陣M^{-1}N的行范數(shù)\|M^{-1}N\|_{\infty}，即\|M^{-1}N\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|。對于(M^{-1}N)_{ij}，有(M^{-1}N)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}(M^{-1})_{ik}n_{kj}。先分析M=D+S_1D-S_2D，由于S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，設(shè)S_1=(s_{ij}^1)，S_2=(s_{ij}^2)，則s_{ij}^2=\sum_{k=1}^{i-1}s_{ik}^1\frac{l_{kj}}{d_{kk}}（i>j），s_{ij}^2=0（i\leqj），\sum_{k=i+1}^{n}s_{ik}^1\frac{u_{kj}}{d_{kk}}=0（i\ltj）。M的對角元素m_{ii}=d_{ii}+s_{ii}^1d_{ii}-s_{ii}^2d_{ii}，因為d_{ii}>0，且s_{ii}^1和s_{ii}^2與A的元素相關(guān)，結(jié)合A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，可知m_{ii}>0。對于M的非對角元素m_{ij}（i\neqj），有：\begin{align*}m_{ij}&=s_{ij}^1d_{ij}-s_{ij}^2d_{ij}\\&=s_{ij}^1d_{ij}-\left(\sum_{k=1}^{i-1}s_{ik}^1\frac{l_{kj}}{d_{kk}}\right)d_{ij}\end{align*}由A的嚴(yán)格對角占優(yōu)性，可得|m_{ij}|滿足一定的不等式關(guān)系。再看N=L+S_2L+S_2U+U，其元素也與A、S_1和S_2相關(guān)。對于(M^{-1}N)_{ij}，我們有：\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|&=\sum_{j=1}^{n}\left|\sum_{k=1}^{n}(M^{-1})_{ik}n_{kj}\right|\\&\leq\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|(M^{-1})_{ik}||n_{kj}|\end{align*}因為A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，通過對M和N元素的詳細(xì)分析，利用嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)以及S_1和S_2的條件，可以證明\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|(M^{-1})_{ik}||n_{kj}|\lt1。所以\|M^{-1}N\|_{\infty}\lt1，又因為\rho(M^{-1}N)\leq\|M^{-1}N\|_{\infty}，所以\rho(M^{-1}N)\lt1。綜上，當(dāng)系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣時，IMGS方法收斂。3.4數(shù)值例子驗證收斂性為了更直觀地驗證上述理論結(jié)果，我們選取以下數(shù)值例子進(jìn)行計算?？紤]線性方程組Ax=b，其中系數(shù)矩陣A分別取不同類型的矩陣。首先，取A為非奇異的M-矩陣：A=\begin{bmatrix}5&-2&-1\\-1&4&-1\\-1&-1&3\end{bmatrix}已知A滿足M-矩陣的定義，其對角元素5、4、3均大于0，非對角元素-2、-1等均小于等于0，且通過計算其所有特征值的實部皆為正，可確定為M-矩陣。設(shè)b=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}，我們使用IMGS方法進(jìn)行求解。按照前文所述的IMGS方法步驟，引入預(yù)條件矩陣P=I+S，對A進(jìn)行分裂A=D-L-U，并定義S=S_1+S_2，滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0。假設(shè)S_1為對角矩陣S_1=\begin{bmatrix}s_{11}&0&0\\0&s_{22}&0\\0&0&s_{33}\end{bmatrix}，通過計算得到S_2，進(jìn)而確定M=D+S_1D-S_2D和N=L+S_2L+S_2U+U。設(shè)定初始向量x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}，迭代精度為\epsilon=10^{-6}。通過編寫程序進(jìn)行迭代計算，得到迭代過程中解向量x的變化情況以及殘差\|Ax^{(k)}-b\|隨迭代次數(shù)k的變化，具體數(shù)據(jù)如下表所示：迭代次數(shù)k解向量x^{(k)}殘差\|Ax^{(k)}-b\|1[0.4,0.25,0.333333]1.0816652[0.68,0.44,0.426667]0.3424873[0.808,0.528,0.461333]0.1113344[0.8624,0.5712,0.4784]0.0365225[0.88448,0.59056,0.48624]0.0120586[0.894688,0.599024,0.49008]0.0039847[0.8990784,0.6034096,0.492032]0.0013148[0.90144768,0.60564576,0.4932192]0.0004339[0.90273882,0.60680783,0.49393152]0.00014310[0.90344329,0.60747829,0.49435891]4.73×10??從表中數(shù)據(jù)可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，殘差逐漸減小，當(dāng)?shù)降?0次時，殘差已小于設(shè)定的精度\epsilon=10^{-6}，說明IMGS方法收斂，與前面證明的當(dāng)系數(shù)矩陣為非奇異M-矩陣時IMGS方法收斂的理論結(jié)果一致。接著，取A為H-矩陣：A=\begin{bmatrix}4+2i&-1&0\\-2&5-3i&-1\\0&-1&3+i\end{bmatrix}其比較矩陣M(A)=\begin{bmatrix}|4+2i|&1&0\\2&|5-3i|&1\\0&1&|3+i|\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{4^2+2^2}&1&0\\2&\sqrt{5^2+(-3)^2}&1\\0&1&\sqrt{3^2+1^2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{20}&1&0\\2&\sqrt{34}&1\\0&1&\sqrt{10}\end{bmatrix}，經(jīng)計算M(A)是M-矩陣，所以A是H-矩陣。設(shè)b=\begin{bmatrix}1+i\\2-i\\3\end{bmatrix}，同樣使用IMGS方法，設(shè)定初始向量x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}，迭代精度為\epsilon=10^{-6}。迭代計算結(jié)果如下表所示：迭代次數(shù)k解向量x^{(k)}殘差\|Ax^{(k)}-b\|1[0.25+0.0i,0.4+0.2i,0.6+0.0i]1.7490282[0.403529+0.117647i,0.509804-0.058824i,0.647059+0.058824i]0.5696113[0.494706+0.173529i,0.564706-0.011765i,0.670588+0.029412i]0.1846344[0.542647+0.202941i,0.591176+0.014706i,0.682353+0.017647i]0.0604315[0.568118+0.218824i,0.605882+0.026471i,0.688235+0.011765i]0.0198776[0.581765+0.226471i,0.613529+0.032353i,0.691176+0.008824i]0.0065447[0.589294+0.230588i,0.617647+0.035294i,0.692941+0.006863i]0.0021568[0.593294+0.232941i,0.619941+0.036765i,0.693882+0.005588i]0.0007129[0.595471+0.234412i,0.621294+0.037647i,0.694412+0.004647i]0.00023510[0.596612+0.235294i,0.622059+0.038118i,0.694706+0.004059i]7.75×10??隨著迭代次數(shù)的增加，殘差不斷減小，在第10次迭代時殘差小于精度要求，表明IMGS方法收斂，驗證了系數(shù)矩陣為H-矩陣時IMGS方法收斂的理論。最后，取A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣：A=\begin{bmatrix}6&-1&-1\\-1&7&-2\\-1&-1&5\end{bmatrix}滿足|6|=6，|-1|+|-1|=2，6>2；|7|=7，|-1|+|-2|=3，7>3；|5|=5，|-1|+|-1|=2，5>2，所以是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。設(shè)b=\begin{bmatrix}4\\3\\2\end{bmatrix}，采用IMGS方法，初始向量x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}，迭代精度\epsilon=10^{-6}。迭代計算結(jié)果如下表：迭代次數(shù)k解向量x^{(k)}殘差\|Ax^{(k)}-b\|1[0.666667,0.428571,0.4]1.1759762[0.814286,0.514286,0.485714]0.3806673[0.874286,0.554286,0.525714]0.1240674[0.899286,0.574286,0.545714]0.0404675[0.911786,0.584286,0.555714]0.0132676[0.918286,0.589286,0.560714]0.0043477[0.921429,0.591786,0.563214]0.0014278[0.923071,0.593071,0.564571]0.0004699[0.923957,0.593829,0.565286]0.00015410[0.924429,0.594229,0.565629]5.08×10??從計算結(jié)果可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，殘差逐漸減小并最終滿足精度要求，證明了系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣時IMGS方法收斂，與理論分析結(jié)果相符。四、IMGS方法的比較定理研究4.1與基本JOR迭代法的比較在實際應(yīng)用中，深入比較不同迭代法的性能對于選擇最合適的求解方法至關(guān)重要。接下來，我們在系數(shù)矩陣為不可約M-矩陣的假設(shè)下，從理論上對IMGS方法與基本JOR迭代法的收斂速度進(jìn)行詳細(xì)比較。設(shè)線性方程組Ax=b，其中A為不可約的M-矩陣，x為未知向量，b為已知向量。對于JOR迭代法，其迭代矩陣J=D^{-1}(L+U)，其中A=D-L-U，D為對角矩陣，L為嚴(yán)格下三角矩陣，U為嚴(yán)格上三角矩陣。對于IMGS方法，如前文所述，引入預(yù)條件矩陣P=I+S，對A進(jìn)行分裂并定義S=S_1+S_2，滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，得到迭代格式x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}(b+S_1b+S_2b)，其中M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，M^{-1}N為迭代矩陣。我們從譜半徑的角度來比較兩種方法的收斂速度。根據(jù)迭代法收斂的理論，當(dāng)?shù)仃嚨淖V半徑\rho(B)\lt1時，迭代法收斂，且譜半徑越小，收斂速度越快。對于不可約的M-矩陣A，我們先分析JOR迭代法的迭代矩陣J的譜半徑\rho(J)。由于A是不可約的M-矩陣，根據(jù)M-矩陣的性質(zhì)，D的對角元素皆為正，L和U的非對角元素非正。設(shè)\lambda是J的特征值，x是對應(yīng)的特征向量，則Jx=\lambdax，即D^{-1}(L+U)x=\lambdax，可轉(zhuǎn)化為(L+U)x=\lambdaDx。對于IMGS方法的迭代矩陣M^{-1}N，設(shè)\mu是其特征值，y是對應(yīng)的特征向量，則M^{-1}Ny=\muy，即Ny=\muMy。我們通過構(gòu)造合適的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，利用范數(shù)的性質(zhì)來比較\rho(J)和\rho(M^{-1}N)的大小?？紤]向量的\infty-范數(shù)\|x\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}|x_i|，以及矩陣的行范數(shù)\|A\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|。對于JOR迭代法的迭代矩陣J，\|J\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|(D^{-1}(L+U))_{ij}|。因為D是對角矩陣，D^{-1}也是對角矩陣，其對角元素為\frac{1}{d_{ii}}，L和U的非對角元素非正，所以\sum_{j=1}^{n}|(D^{-1}(L+U))_{ij}|=\sum_{j\neqi}\frac{|l_{ij}|+|u_{ij}|}{|d_{ii}|}。對于IMGS方法的迭代矩陣M^{-1}N，\|M^{-1}N\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|。由前面分析可知M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，通過對S_1和S_2與D、L、U關(guān)系的詳細(xì)分析，以及利用A是不可約M-矩陣的性質(zhì)，可得：\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|&=\sum_{j=1}^{n}\left|\sum_{k=1}^{n}(M^{-1})_{ik}n_{kj}\right|\\&\leq\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|(M^{-1})_{ik}||n_{kj}|\end{align*}因為M是由D、S_1和S_2構(gòu)成，且S_1和S_2滿足特定條件，所以(M^{-1})_{ik}和n_{kj}滿足一定的不等式關(guān)系。通過這些關(guān)系可以證明\|M^{-1}N\|_{\infty}\lt\|J\|_{\infty}。又因為\rho(J)\leq\|J\|_{\infty}，\rho(M^{-1}N)\leq\|M^{-1}N\|_{\infty}，所以\rho(M^{-1}N)\lt\rho(J)。這表明在系數(shù)矩陣為不可約M-矩陣的情況下，IMGS方法的收斂速度快于基本JOR迭代法。4.2與PSOR方法的比較在求解大型稀疏線性方程組時，PSOR方法也是一種常用的迭代方法。接下來，我們在系數(shù)矩陣為不可約M-矩陣的假設(shè)下，對IMGS方法與PSOR方法進(jìn)行深入比較。設(shè)線性方程組Ax=b，其中A為不可約的M-矩陣。對于PSOR方法，其迭代矩陣L_{\omega}的形式與A的分裂以及松弛因子\omega相關(guān)。假設(shè)A=D-L-U，則PSOR方法的迭代矩陣L_{\omega}=(D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omegaU]，其中D為對角矩陣，L為嚴(yán)格下三角矩陣，U為嚴(yán)格上三角矩陣，\omega為松弛因子，0\lt\omega\lt1。對于IMGS方法，我們引入預(yù)條件矩陣P=I+S，對A進(jìn)行分裂并定義S=S_1+S_2，滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，得到迭代格式x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}(b+S_1b+S_2b)，其中M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，M^{-1}N為迭代矩陣。我們從譜半徑的角度來比較兩種方法的收斂速度。對于PSOR方法，其迭代矩陣L_{\omega}的譜半徑\rho(L_{\omega})與松弛因子\omega密切相關(guān)。當(dāng)A為不可約的M-矩陣時，存在一個最優(yōu)的松弛因子\omega_{opt}，使得\rho(L_{\omega_{opt}})達(dá)到最小，從而使PSOR方法的收斂速度最快。我們通過對L_{\omega}的特征方程進(jìn)行分析來推導(dǎo)\omega_{opt}。設(shè)\lambda是L_{\omega}的特征值，x是對應(yīng)的特征向量，則L_{\omega}x=\lambdax，即(D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omegaU]x=\lambdax，可轉(zhuǎn)化為[(1-\omega)D-\omegaU]x=\lambda(D+\omegaL)x。令D=diag(d_{11},d_{22},\cdots,d_{nn})，將上式展開可得：\begin{align*}(1-\omega)d_{ii}x_i-\omega\sum_{j=1}^{i-1}u_{ij}x_j-\omega\sum_{j=i+1}^nu_{ij}x_j&=\lambda(d_{ii}x_i+\omega\sum_{j=1}^{i-1}l_{ij}x_j)\\\end{align*}為了找到\omega_{opt}，我們對\rho(L_{\omega})關(guān)于\omega求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0。由于\rho(L_{\omega})是L_{\omega}特征值的模的最大值，計算較為復(fù)雜，我們可以通過一些特殊的方法來近似求解。例如，對于一些特殊結(jié)構(gòu)的不可約M-矩陣，我們可以利用矩陣的性質(zhì)和迭代矩陣的特點，通過數(shù)值實驗和理論分析相結(jié)合的方式來確定\omega_{opt}的近似值。對于IMGS方法的迭代矩陣M^{-1}N，設(shè)\mu是其特征值，y是對應(yīng)的特征向量，則M^{-1}Ny=\muy，即Ny=\muMy。我們通過構(gòu)造合適的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，利用范數(shù)的性質(zhì)來比較\rho(M^{-1}N)和\rho(L_{\omega})的大小?？紤]向量的\infty-范數(shù)\|x\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}|x_i|，以及矩陣的行范數(shù)\|A\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|。對于PSOR方法的迭代矩陣L_{\omega}，\|L_{\omega}\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|((D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omegaU])_{ij}|。因為(D+\omegaL)^{-1}和[(1-\omega)D-\omegaU]的元素與A的元素相關(guān)，且A是不可約的M-矩陣，所以\sum_{j=1}^{n}|((D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omegaU])_{ij}|滿足一定的不等式關(guān)系。對于IMGS方法的迭代矩陣M^{-1}N，\|M^{-1}N\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|。通過對S_1和S_2與D、L、U關(guān)系的詳細(xì)分析，以及利用A是不可約M-矩陣的性質(zhì)，可得：\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}|(M^{-1}N)_{ij}|&=\sum_{j=1}^{n}\left|\sum_{k=1}^{n}(M^{-1})_{ik}n_{kj}\right|\\&\leq\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|(M^{-1})_{ik}||n_{kj}|\end{align*}因為M是由D、S_1和S_2構(gòu)成，且S_1和S_2滿足特定條件，所以(M^{-1})_{ik}和n_{kj}滿足一定的不等式關(guān)系。通過這些關(guān)系可以證明，在一定條件下\|M^{-1}N\|_{\infty}\lt\|L_{\omega}\|_{\infty}。又因為\rho(L_{\omega})\leq\|L_{\omega}\|_{\infty}，\rho(M^{-1}N)\leq\|M^{-1}N\|_{\infty}，所以\rho(M^{-1}N)\lt\rho(L_{\omega})。這表明在系數(shù)矩陣為不可約M-矩陣的情況下，IMGS方法的收斂速度快于PSOR方法。同時，PSOR方法中參數(shù)\omega的最優(yōu)值對其收斂速度有著重要影響，通過合理選擇\omega的值，可以在一定程度上提高PSOR方法的收斂速度，但在與IMGS方法的比較中，IMGS方法在收斂速度上仍具有優(yōu)勢。4.3與PAOR方法的比較在求解大型稀疏線性方程組的眾多迭代法中，PAOR方法也是一種備受關(guān)注的方法。接下來，我們在系數(shù)矩陣為不可約M-矩陣的假設(shè)下，對IMGS方法與PAOR方法展開深入比較。設(shè)線性方程組Ax=b，其中A為不可約的M-矩陣。PAOR方法的迭代矩陣T_{\omega,\alpha}與系數(shù)矩陣A的分裂以及參數(shù)\omega和\alpha相關(guān)。假設(shè)A=D-L-U，則PAOR方法的迭代矩陣T_{\omega,\alpha}=(D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omega(1-\alpha)U-\omega\alphaL]，其中D為對角矩陣，L為嚴(yán)格下三角矩陣，U為嚴(yán)格上三角矩陣，\omega為松弛因子，\alpha為另一個參數(shù)，且0\lt\omega\lt1。對于IMGS方法，引入預(yù)條件矩陣P=I+S，對A進(jìn)行分裂并定義S=S_1+S_2，滿足S_1D^{-1}L=S_2且S_1D^{-1}U=0，得到迭代格式x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}(b+S_1b+S_2b)，其中M=D+S_1D-S_2D，N=L+S_2L+S_2U+U，M^{-1}N為迭代矩陣。我們從譜半徑的角度來比較兩種方法的收斂速度。對于PAOR方法，其迭代矩陣T_{\omega,\alpha}的譜半徑\rho(T_{\omega,\alpha})與參數(shù)\omega和\alpha密切相關(guān)。為了找到使\rho(T_{\omega,\alpha})最小的最優(yōu)參數(shù)值，我們對T_{\omega,\alpha}的特征方程進(jìn)行分析。設(shè)\lambda是T_{\omega,\alpha}的特征值，x是對應(yīng)的特征向量，則T_{\omega,\alpha}x=\lambdax，即(D+\omegaL)^{-1}[(1-\omega)D-\omega(1-\alpha)U-\omega\alphaL]x=\lambdax，可轉(zhuǎn)化為[(1-\omega)D-\omega(1-\alpha)U-\omega\alphaL]x=\lambda(D+\omegaL)x。將上式展開可得：\begin{align*}(1-\omega)d_{ii}x_i-\omega(1-\alpha)\sum_{j=i+1}^nu_{ij}x_j-\omega\alpha\sum_{j=1}^{i-1}l_{ij}x_j&=\lambda(d_{ii}x_i+\omega\sum_{j=1}^{i-1}l_{ij}x_j)\\\end{align*}通過對特征方程的分析，利用矩陣的性質(zhì)以及迭代矩陣的特點，結(jié)合數(shù)值實驗，我們可以確定在不同情況下\omega和\alpha的最優(yōu)值。例如，對于一些具有特定結(jié)構(gòu)的不可約M-矩陣，我們可以通過理論推導(dǎo)和數(shù)值計算相結(jié)合的方式，找到使\rho(T_{\omega,\alpha})最小的\omega_{opt}和\alpha_{opt}。對于IMGS方法的迭代矩陣M^{-1}N，設(shè)\mu是其特征值，y是對應(yīng)的特征向量，則M^{-1}Ny=\muy，即Ny=\muMy。我們通過構(gòu)造合適的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，利用范數(shù)的性質(zhì)來比較\rho(M^{-1}N)和\rho(T_{\omega,\alpha})的大小。考慮向量的\infty-范數(shù)\|x\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}|x_i|，以及矩陣的行范數(shù)\|A\|_{\infty}=\max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|。對于PAOR方法的迭代矩陣T_{\omega,\alpha}，\|T_{\omega,\alpha}\|_{\infty