五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題04數(shù)列考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1等差、等比數(shù)列基本量運(yùn)算（5年3考）2025北京卷、2024北京卷、2022北京卷在高考的考查體系中，數(shù)列板塊呈現(xiàn)出相對(duì)穩(wěn)定的態(tài)勢(shì)。無(wú)論是考查內(nèi)容、考查頻率，還是題型設(shè)置與難度把控，都未出現(xiàn)明顯波動(dòng)。具體而言，等差數(shù)列和等比數(shù)列作為數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基本概念、公式及性質(zhì)的掌握與運(yùn)用。而數(shù)列新定義問(wèn)題則更具挑戰(zhàn)性，往往以解答題的形式呈現(xiàn)，旨在檢驗(yàn)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力?？忌鷤淇紩r(shí)需針對(duì)不同題型特點(diǎn)，做好針對(duì)性復(fù)習(xí)。考點(diǎn)2數(shù)列的遞推問(wèn)題（5年1考）2023北京卷考點(diǎn)3數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用（5年3考）2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷考點(diǎn)4數(shù)列的性質(zhì)（5年2考）2022北京卷、2021北京卷考點(diǎn)5數(shù)列新定義（5年4考）2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點(diǎn)01等差、等比數(shù)列基本量運(yùn)算1．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．182．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.3．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)02數(shù)列的遞推問(wèn)題4．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立考點(diǎn)03數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用5．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．6．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．7．（2021·北京·高考真題）《黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160考點(diǎn)04數(shù)列的性質(zhì)8．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．9．（2021·北京·高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12考點(diǎn)05數(shù)列新定義10．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫(xiě)出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．11．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．12．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．13．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．

1．（2025·北京大興·三模）已知數(shù)列為無(wú)窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，“存在，對(duì)于任意的，”是“存在，對(duì)于任意的”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025·北京海淀·三模）漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長(zhǎng)退休年齡．對(duì)于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲．如果男職工延遲法定退休年齡部分對(duì)照表如表所示：出生時(shí)間1965年1月－4月1965年5月－8月1965年9月－12月1966年1月－4月…新方案法定退休年齡60歲1個(gè)月60歲2個(gè)月60歲3個(gè)月60歲4個(gè)月…那么1970年5月出生的男職工退休年齡為（

）A．61歲4個(gè)月 B．61歲5個(gè)月C．61歲6個(gè)月 D．61歲7個(gè)月3．（2025·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）月相是指天文學(xué)中對(duì)于地球上看到的月球被太陽(yáng)照亮部分的稱呼．1854年，愛(ài)爾蘭學(xué)者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為，其將滿月等分成240份，（且）表示第天月球被太陽(yáng)照亮部分所占滿月的份數(shù)．例如，第1天月球被太陽(yáng)照亮部分占滿月的，即；第15天為滿月，即．已知的第1項(xiàng)到第5項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列，第5項(xiàng)到第15項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，且，均為正整數(shù)，則（

）．A．80 B．96 C．100 D．1124．（2025·北京·二模）小明在某印刷服務(wù)公司看到如下廣告：“本公司承接圖紙復(fù)印業(yè)務(wù)，規(guī)格可達(dá)A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1復(fù)印紙有多大呢？據(jù)查：所有的復(fù)印紙均為矩形，其長(zhǎng)與寬的比值不變，且兩張A4紙可以拼接成一張A3紙，兩張A3紙可以拼接成一張A2紙…….已知A4紙的寬為210mm，那么A1紙的長(zhǎng)和寬約為（

）A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm5．（2025·北京昌平·二模）在數(shù)列中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)B．當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)D．當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，6．（2025·北京通州·一模）已知等差數(shù)列滿足：，且，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．20237．（2025·北京東城·二模）某人工智能模型在語(yǔ)言訓(xùn)練時(shí)，每輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量會(huì)發(fā)生變化.記第一輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為，若從第二輪開(kāi)始，每一輪與它前一輪相比較，訓(xùn)練的模型參數(shù)增加的數(shù)量可以看成一個(gè)以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，則第五輪訓(xùn)練的模型參數(shù)的數(shù)量為（

）A． B． C． D．8．（2025·北京海淀·二模）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其中，則（

）A． B．C． D．9．（2025·北京朝陽(yáng)·二模）設(shè)無(wú)窮數(shù)列的前n項(xiàng)和為，定義，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，則D．當(dāng)時(shí)，10．（2025·北京東城·二模）設(shè)無(wú)窮數(shù)列滿足，則（）A．存在，為等差數(shù)列 B．存在，為等比數(shù)列C．存在，為遞減數(shù)列 D．存在，為遞增數(shù)列11．（2025·北京·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.則為；滿足的最小的整數(shù)為.12．（2025·北京·三模）為保證某水域內(nèi)魚(yú)類資源的可持續(xù)發(fā)展，需根據(jù)其自身再生能力等因素制定合理的捕撈方案.記為第n年初時(shí)該水域內(nèi)的魚(yú)類總量，根據(jù)研究，第n年魚(yú)類的自然繁殖量與成正比，自然死亡量與成正比，捕撈量與成正比，比例系數(shù)分別為，則和的關(guān)系式為；若，要保持每年年初時(shí)魚(yú)類總量始終不變，則一組符合條件的為.13．（2025·北京豐臺(tái)·二模）已知數(shù)列滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在唯一的正實(shí)數(shù)，使得是常數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；③若是遞增數(shù)列，則；④若對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．14．（2025·北京朝陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列滿足，則；設(shè)為的前項(xiàng)和，則使的的最小值為．15．（2025·北京大興·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（），給出下列四個(gè)結(jié)論：①長(zhǎng)度為，，1的三條線段可以圍成一個(gè)內(nèi)角為的三角形；②，；③，；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．16．（2025·北京海淀·三模）設(shè)是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，其中每一項(xiàng)均為集合中的元素．定義數(shù)列如下：若，則，其中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，其中記．(1)①若數(shù)列，則______；②若數(shù)列，則______．(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，若正整數(shù)滿足對(duì)任意，均有數(shù)列與為同一數(shù)列，則稱為“階好數(shù)”．（?。┣笞钚〉摹?階好數(shù)”．（ⅱ）求使得“階好數(shù)”存在的的所有可能取值．17．（2025·北京·三模）已知整數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m（m>2），且同時(shí)滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：①；②記(1)若m=3，且，寫(xiě)出的值；(2)記其中表示集合A中元素的最大值.（i）若，，求的最大值；（ii）當(dāng)時(shí)，若，求Q的最小值.18．（2025·北京通州·一模）已知數(shù)列（N是大于3的整數(shù)）為有窮數(shù)列，定義為“卷積核”數(shù)列滿足：(1)若數(shù)列，卷積核，求數(shù)列B.(2)設(shè)，已知且，，若.求證：數(shù)列B中最大的項(xiàng)為，（表示a，b中的最大值）.(3)已知且不全為0，卷積核，是否存在數(shù)列A，使得數(shù)列B的任意一項(xiàng)均為0?若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的數(shù)列A；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（2025·北京東城·二模）已知有窮整數(shù)數(shù)列，滿足.記集合為，或，或，.若數(shù)列，則稱數(shù)列是的“恒元”.(1)已知數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出中所有滿足的數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，是