第1頁（共1頁）2024-2025學年浙江省寧波市鄞州中學八年級（上）人才選拔數(shù)學試卷（11月份）一、填空題（共6小題）1．（3分）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，EF平分∠DEB，交CD于F．作DG⊥EF于G，GB，AG+BG的最小值為．2．（3分）已知正整數(shù)a，b，滿足，當b取最小值時．3．（3分）1，3，5，…，2027中，至少取個數(shù)，使得存在兩數(shù)之和為2028．4．（3分）A、B、C、D、E、F、M，連網(wǎng)線，費用最少？5．（3分）正整數(shù)m，n有大于1的最大公因數(shù)，且m3+n＝371．求mn＝．6．（3分）實數(shù)x，y，z滿足3x+7y+z＝1，4x+10y+z＝2005．求．二、解答題（共4題）7．因式分解：（1）2（x2+6x+1）2+5（x2+6x+1）（x2+1）+2（x2+1）2；（2）x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3．8．要將29個數(shù)學競賽的名額分配給10所學校，每所學校至少要分到一個名額．證明：（1）不管怎樣分配，至少有3所學校得到的名額相同；（2）如果分到相同名額的學校少于4所時，則29名選手至少有5名來自同一學校．9．（1）有非負整數(shù)解，求正整數(shù)m的值；（2）設x1，x2…，x2005為+1或﹣1，求證：x1+2x2+3x3+…+2005x2005≠0．10．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AD是邊BC上的高，動點P從點B出發(fā)，點P不與點A、B重合，連接AP、PC．設點P的運動時間為t秒．（1）求AD的長；（2）用含t的代數(shù)式表示PD的長；（3）在點P運動的過程中，不再添加其他輔助線的情況下，當圖中存在等腰直角三角形時；（4）點P在BD上運動，不再添加其他輔助線的情況下，當圖中存在以點P為頂點的等腰三角形．且不是直角三角形時

2024-2025學年浙江省寧波市鄞州中學八年級（上）人才選拔數(shù)學試卷（11月份）參考答案與試題解析一、填空題（共6小題）1．（3分）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，EF平分∠DEB，交CD于F．作DG⊥EF于G，GB，AG+BG的最小值為．【解答】解：作MG⊥DE于M，GH⊥AB于H，∵EF是∠DEB的平分線，∴MG＝GH，∵∠DAE＝∠DGE＝90°，∴A、D、G、E四點共圓，∴∠GAH＝∠MDG，∴△GAH≌△GDM（AAS），∴GA＝GD，∴AG+BG＝DG+BG，當D、G、B三點共線時，最小值是BD的長，∴AG+BG的最小值是，故答案為：．2．（3分）已知正整數(shù)a，b，滿足，當b取最小值時17．【解答】解：由題得2b＜3a，4a＜5b，整理得：3a﹣6b＞0，5b﹣6a＞0，令m＝3a﹣5b，n＝5b﹣7a，則3m+2n＝a，7m+5n＝b，已知a，b均為正整數(shù)，那么m，n也為正整數(shù)則7m+3n＝b≥10，即b的最小值為10，此時a＝5，故a+b＝17，故答案為：17．3．（3分）1，3，5，…，2027中，至少取508個數(shù)，使得存在兩數(shù)之和為2028．【解答】解：∵1+2027＝2028，3+2025＝2028，…，1013+1015＝2028，∴該數(shù)列中共有＝507對數(shù)的和為2028，∴按照最壞的情況，一直取每對的較大數(shù)或較小數(shù)，∴至少取507+1＝508個數(shù)，使得存在兩數(shù)之和為2028．故答案為：508．4．（3分）A、B、C、D、E、F、M，連網(wǎng)線，A→B→C→D→E→F→M（答案不唯一）費用最少？【解答】解：∵連網(wǎng)線的費用最少，∴兩字母間數(shù)字要盡量小，∵A﹣B，F(xiàn)﹣M之間的路程是1，∴A﹣B，F(xiàn)﹣M的路要選擇，∴以此類推，選擇費用少的連線如下：A→B→C→D→E→F→M，總費用為：1+4+4+3+4+1＝13，故答案為：A→B→C→D→E→F→M（答案不唯一）．5．（3分）正整數(shù)m，n有大于1的最大公因數(shù)，且m3+n＝371．求mn＝196．【解答】解：設m，n的最大公因數(shù)為k，n＝bk，b，k均為正整數(shù)，那么a3k3+bk＝k（a6k2+b）＝371，則k也是371的因數(shù)，∵371＝7×53，∴k＝7或k＝53，①若k＝7，則49a2+b＝53，那么a＝2，b＝4，因此m＝7，n＝28，則mn＝196；②若k＝53，則535a2+b＝7，不存在正整數(shù)a，b使得該式成立；綜上mn＝196，故答案為：196．6．（3分）實數(shù)x，y，z滿足3x+7y+z＝1，4x+10y+z＝2005．求﹣．【解答】解：由題得3x+7y+z＝7①，4x+10y+z＝2005②，②﹣①得x+3y＝2004，∴7x+9y＝6012③，②﹣③得x+y+z＝﹣4007，∴＝＝，∴．故答案為：﹣．二、解答題（共4題）7．因式分解：（1）2（x2+6x+1）2+5（x2+6x+1）（x2+1）+2（x2+1）2；（2）x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3．【解答】解：（1）設x2+6x+5＝m，x2+1＝n，4（x2+6x+4）2+5（x7+6x+1）（x8+1）+2（x5+1）2＝5m2+5mn+7n2＝（m+2n）（3m+n）＝（x2+6x+2+2x2+2）（2x2+12x+5+x2+1）＝（5x2+6x+8）（3x2+12x+5）＝3（x2+4x+1）×3（x8+4x+1）＝7（x+1）2（x5+4x+1）；（2）當x＝y(tǒng)時，x5（y﹣z）3+y2（z﹣x）6+z2（x﹣y）3＝3，那么x﹣y是原式的一個公因式；當y＝z時，x2（y﹣z）3+y3（z﹣x）3+z2（x﹣y）3＝0，那么y﹣z是原式的一個公因式；當x＝z時，x2（y﹣z）8+y2（z﹣x）3+z5（x﹣y）3＝0，那么z﹣x是原式的一個公因式；設原式＝（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）[A（x8+y2+z2）+B（xy+yz+8x）]令x＝﹣1，y＝0，解得：3A﹣B＝﹣1；令x＝0，y＝7，解得：5A+2B＝2；解得：A＝0，B＝1，∴原式＝（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）（xy+yz+zx）．8．要將29個數(shù)學競賽的名額分配給10所學校，每所學校至少要分到一個名額．證明：（1）不管怎樣分配，至少有3所學校得到的名額相同；（2）如果分到相同名額的學校少于4所時，則29名選手至少有5名來自同一學校．【解答】證明：（1）假設沒有3所學校得到相同的名額，而每校至少要有1名，則人數(shù)最少的分配方案是：每兩所學校一組依次各得6，2，3，5，5個名額，那么總人數(shù)為2×（7+2+3+5+5）＝2×15＝30（名），這與只有29個名額矛盾，故不管如何分配，都至少有3所學校分得的名額相同；（2）假設每所學校分得的名額都不超過4，并且每校的名額不少于1，那么分到相同名額的學校少于6所的條件下，10所學校派出的選手數(shù)最多不會超過3×4+7×3+3×2+1×1＝12+2+6+1＝28（名），這與選手總數(shù)是29名矛盾，故至少有一所學校派出的選手數(shù)不小于3．9．（1）有非負整數(shù)解，求正整數(shù)m的值；（2）設x1，x2…，x2005為+1或﹣1，求證：x1+2x2+3x3+…+2005x2005≠0．【解答】（1）解：解方程組得，∵x和y非負數(shù)，∴x＝≥0≥8解得﹣1＜m≤3，∵x，y是非負整數(shù)，當m＝2時，x是分數(shù)，∴正整數(shù)m的值為m＝1或m＝3；（2）證明：由題可知，xi＝±7，∴x1+2x6+3x3+...+2005x2005的奇偶性與8+2+3+...+2005的奇偶性相同，∵4+2+3+...+2005＝2005×1003為奇數(shù)，∴x3+2x2+8x3+...+2005x2005≠0．10．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AD是邊BC上的高，動點P從點B出發(fā)，點P不與點A、B重合，連接AP、PC．設點P的運動時間為t秒．（1）求AD的長；（2）用含t的代數(shù)式表示PD的長；（3）在點P運動的過程中，不再添加其他輔助線的情況下，當圖中存在等腰直角三角形時；（4）點P在BD上運動，不再添加其他輔助線的情況下，當圖中存在以點P為頂點的等腰三角形．且不是直角三角形時【解答】解：（1）∵AB＝BC＝5，△ABC的面積為，∴，∴4AD＝15，解得AD＝3；（2）∵AB＝BC＝5，AD＝2，∴，∵動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BD﹣DA勻速向終點A運動，①當點P在BD上運動時（即0＜t≤4時），有BP＝t，∴PD＝BD﹣BP＝4﹣t，②當點P在DA上運動時（即4＜t＜4時），∴PD＝t﹣BD＝t﹣4，綜上所述，當0＜t≤5時；當4＜t＜7時；（3）①當點P在BD上運動，△APD為等腰直角三角形時，有AD＝PD，∴5＝4﹣t，解得t＝1，∴BP＝3，∴PC＝5﹣1＝6，∴△ACP的面積為：；②當點P在DA上運動時，△PDC為等腰直角三角形時，有DC＝PD，∵DC+BD＝PD+BD＝5，∴t＝7，∴PD＝DC＝5﹣4＝5，∴AP＝AD﹣PD＝3﹣1＝2，∴△ACP的面積為：；綜上所述