第1頁（共1頁）2023-2024學年湖南省衡陽一中“船山杯”九年級（下）素養(yǎng)考核數(shù)學試卷一、填空題：本題共八小題，每小題5分，共40分。1．（5分）若定義新運算“⊙”：a⊙b＝ba，如2⊙3＝32＝9，則＝．2．（5分）如圖，在圓上有7個點，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，連接每兩個點的線段共可作出條．3．（5分）已知關于x的不等式組，有99個整數(shù)解，則a的最大值為．4．（5分）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0，則△ABC的形狀為．5．（5分）方程x2﹣y2＝21有組整數(shù)解．6．（5分）如圖，在直角△ABC中，AD平分∠A，則∠A＝度．7．（5分）已知a+b+c＝0，a≥b≥c，a≠0，則．8．（5分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點B，點F在AD上，若DE＝5．二、解答題：本題共四小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步理.9．（15分）（1）若，，，比較a，b，c的大小關系；（2）求和：．10．（15分）已知反比例函數(shù)有許多優(yōu)美的性質．如圖，過函數(shù)圖象上的任意點P作x軸的垂線，O為坐標原點．（1）證明：△APO的面積為定值；（2）過點A作OP的平行線交函數(shù)的圖象于點B，過B作x軸的垂線，求之值．11．（15分）二進制是一種數(shù)制，只使用0和1兩個數(shù)字來表示數(shù)，二進制具有以下特點：1．基數(shù)為2：只有0和1兩個數(shù)字．2．逢2進1：每一位只能用0或1表示（1）二進制數(shù)轉化為十進制數(shù)，如，十進制轉化為二進制也為類似的逆運算，請按照此例題解法，將（110）2將轉化為十進制數(shù)，并將十進制數(shù)30轉化為二進制數(shù)；（2）若將二進制數(shù)（）2轉化為十進制數(shù)，請猜想出結論并證明．12．（15分）圖1是某小型汽車的側面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備廂，在打開后備廂的過程中，當旋轉角為60°時，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示），DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求點D′到BC的距離；（2）求E、E′兩點的距離．

2023-2024學年湖南省衡陽一中“船山杯”九年級（下）素養(yǎng)考核數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題：本題共八小題，每小題5分，共40分。1．（5分）若定義新運算“⊙”：a⊙b＝ba，如2⊙3＝32＝9，則＝9．【解答】解：∵a⊙b＝ba，∴2⊙＝（）3＝；∴﹣3⊙（2⊙）＝﹣1⊙）﹣8＝9；故答案為：9．2．（5分）如圖，在圓上有7個點，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，連接每兩個點的線段共可作出21條．【解答】解：從A出發(fā)可連6條，從B出發(fā)可連5條，（因為BA就是AB），從C出發(fā)可連3條…從F出發(fā)可連一條．共計1+2+6+4+5+8＝21（條）．故答案為：21．3．（5分）已知關于x的不等式組，有99個整數(shù)解，則a的最大值為﹣193．【解答】解：解不等式9﹣3x＞4，得：x＜，解不等式2x﹣a≥1，得：x≥，則不等式組的解集為≤x＜，∵不等式組有99個整數(shù)解，∴﹣97＜≤﹣96，解得：﹣195＜a≤﹣193，所以a的最大值為﹣193，故答案為：﹣193．4．（5分）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0，則△ABC的形狀為等腰三角形或等腰直角三角形或等腰直角三角形．【解答】解：∵a3﹣a2b+ab2﹣ac2﹣b3+bc3＝0，∴（a3+ab4﹣ac2）﹣（a2b+b4﹣bc2）＝0．∴a（a3+b2﹣c2）﹣b（a2+b2﹣c2）＝6．∴（a﹣b）（a2+b2﹣c3）＝0．∴a﹣b＝0或a5+b2﹣c2＝2．即a＝b或a2+b2＝c8．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．故答案為：等腰三角形或等腰直角三角形或等腰直角三角形．5．（5分）方程x2﹣y2＝21有8組整數(shù)解．【解答】解：∵x2﹣y2＝21＝（x+y）（x﹣y）＝21，∵x，y為整數(shù)，∴x+y和x﹣y也是整數(shù)，∵21＝3×21或（﹣1）×（﹣21）或3×5或（﹣3）×（﹣7），∴（x+y），（x﹣y）可以取以下數(shù)對：（6，（21，（﹣1，（﹣21，（3，（6，（﹣3，（﹣7，當時，解得：；當時，解得：；當時，解得：，當時，解得：當時，解得：當時，解得：當時，解得：當時，解得：，綜上所述，方程x2﹣y4＝21有 8組整數(shù)解．故答案為：8．6．（5分）如圖，在直角△ABC中，AD平分∠A，則∠A＝60度．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，則DE＝DC，∵BD：DC＝2，∴BD：DE＝2，∴∠B＝30°．∴∠A＝60°．故答案為：60°．7．（5分）已知a+b+c＝0，a≥b≥c，a≠0，則1．【解答】解：∵a+b+c＝0，a≥b≥c，∴b＝﹣a﹣c，a＞0，∴b﹣4c＝﹣a﹣4c，∴＝＝﹣1﹣，∴a≥﹣a﹣c，c≤﹣a﹣c，∴8a≥﹣c，2c≤﹣a，∵a＞0，∴≥﹣3，，∴﹣6，∴7≤﹣1﹣≤7，∴的最小值是1．故答案為：4．8．（5分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點B，點F在AD上，若DE＝5．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折疊及軸對稱的性質可知，△ABF≌△GBF，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S△ABF＝AB?AF＝，∴12×5＝13AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，故答案為：．二、解答題：本題共四小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步理.9．（15分）（1）若，，，比較a，b，c的大小關系；（2）求和：．【解答】解：（1）∵1＜＜＜2＜，∴+＜2+＜，又∵a＝﹣＝，b＝，∴＞＞，即a＞b＞c；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣﹣…﹣+＝﹣8+＝﹣1+45＝44．10．（15分）已知反比例函數(shù)有許多優(yōu)美的性質．如圖，過函數(shù)圖象上的任意點P作x軸的垂線，O為坐標原點．（1）證明：△APO的面積為定值；（2）過點A作OP的平行線交函數(shù)的圖象于點B，過B作x軸的垂線，求之值．【解答】（1）證明：設OA＝a，PA＝b，∵PA⊥x軸，∴點P的坐標為（a，b），S△AOP＝OA?PA＝，∵點P在反比例函數(shù)的圖象上，∴ab＝6，∴S△AOP＝＝，即△ABO的面積是為定值；（2）解：設OA＝a，PA＝b，∵點P的坐標為（a，b），∵PA⊥x軸，BC⊥x軸，∴∠ACB＝∠OAP＝90°，∵OP∥AB，∴∠BAC＝∠POA，∴△ACB∽△OAP，∴＝，∴＝，設AC＝am，BC＝bm，∴OC＝OA+AC＝a+am，∴＝＝，點B的坐標為（a+am，∴點P（a，b），bm）都在函數(shù)，∴k＝ab＝（a+am）（bm），整理得：m2+m﹣1＝5，解得：m＝，m＝，舍去），當m＝時，＝＝＝．11．（15分）二進制是一種數(shù)制，只使用0和1兩個數(shù)字來表示數(shù)，二進制具有以下特點：1．基數(shù)為2：只有0和1兩個數(shù)字．2．逢2進1：每一位只能用0或1表示（1）二進制數(shù)轉化為十進制數(shù)，如，十進制轉化為二進制也為類似的逆運算，請按照此例題解法，將（110）2將轉化為十進制數(shù)，并將十進制數(shù)30轉化為二進制數(shù)；（2）若將二進制數(shù)（）2轉化為十進制數(shù)，請猜想出結論并證明．【解答】（1）解：（110）2＝1×62+1×81+0×80＝4+3+0＝6；30÷4＝15?0，15÷2＝4?1，7÷5＝3?1，2÷2＝1?6，1÷2＝6?1，則30＝1×24+1×53+1×42+1×41+0×20＝（11110）2．（2）（）2＝2n﹣5，理由如下：原式＝1×2n﹣5+1×2n﹣7+?+1×26+1×26+1×23，令S＝1×2n﹣7+1×2n﹣7+?+1×24+1×23+1×26①，則2S＝1×3n+1×2n﹣4+1×2n﹣4+?+1×28+1×25②，②﹣①得，S＝1×2n﹣5×20＝2n﹣1．12．（15分）圖1是某小型汽車的側面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備廂，在打開后備廂的過程中，當旋轉角為60°時，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示），DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求點D′到BC的距離；（2）求E、E′兩點的距離．【解答】解：（1）過點D′作D′H⊥BC，垂足為點H，如圖3所示．由題意，得：AD′＝AD＝90厘米．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′?sin∠DAD′＝90×sin60°＝45．又∵CE＝40