3平行線的判定典型例題題型一利用平行線的判定方法識(shí)別作圖依據(jù)例1如圖1所示，小迪將兩個(gè)完全相同的三角尺拼在一起，沿著三角板的斜邊，畫(huà)出線段AB，CD.則我們可以判定AB∥CD的依據(jù)是.圖1答案：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行題型二根據(jù)“三線八角”的關(guān)系證明兩線平行例2(2020·湖北咸寧中考)如圖2，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)一個(gè)條件，使結(jié)論成立：∵，∴a∥b.圖2分析：要使得a∥b，判別兩條直線平行的方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.依此即可求解.解：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，∴a∥b.故填∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°.點(diǎn)撥：考查了平行線的判定，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行.題型三一題多法證明兩直線平行例3如圖3所示，直線a，b被直線c所截，且∠1+∠2＝180°.求證：a∥b.圖3分析：可利用“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”“同位角相等，兩直線平行”或“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”證明.證明：(方法1)∵∠1＝∠3(對(duì)頂角相等)，∠1+∠2＝180°(已知)，∴∠3+∠2＝180°(等量代換).∴a∥b(同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行).(方法2)∵∠1+∠4＝180°(平角的定義)，∠1+∠2＝180°(已知)，∴∠2＝∠4(同角的補(bǔ)角相等).∴a∥b(同位角相等，兩直線平行).(方法3)∵∠1+∠5＝180°(平角的定義)，∠1+∠2＝180°(已知)，∴∠2＝∠5(同角的補(bǔ)角相等).∴a∥b(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).點(diǎn)撥：證明兩直線平行除常用的平行線的判定的基本事實(shí)、定理外，有時(shí)也會(huì)用到另外三方面的知識(shí)：(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.(2)平行于同一條直線的兩條直線相互平行.(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行.題型四利用平行線的判定證明兩直線的位置關(guān)系例4如圖4所示，∠BAF＝38°，DC⊥CE，∠ACE＝128°.試判斷AB與DC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.圖4分析：(方法1)本題中的條件較為分散，要判斷AB與DC的位置關(guān)系，從圖中可以看出，有一對(duì)相關(guān)的內(nèi)錯(cuò)角∠DCA與∠CAB，只要求出這兩個(gè)角的度數(shù)，看是否相等即可，若∠DCA＝∠CAB，則AB∥DC；若∠DCA≠∠CAB，則AB與DC不平行.(方法2)也可通過(guò)作輔助線構(gòu)造相等的同位角，從而說(shuō)明兩條直線平行.解：(方法1)AB∥DC.理由：因?yàn)椤螧AF＝38°，∠BAF+∠CAB＝180°，所以∠CAB＝142°.因?yàn)镈C⊥CE，所以∠DCE＝90°.又因?yàn)椤螪CE+∠ACE+∠DCA＝360°，∠ACE＝128°，所以∠DCA＝142°.所以∠DCA＝∠CAB.所以AB∥DC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).(方法2)AB∥DC.理由：如圖5所示，反向延長(zhǎng)射線CD到點(diǎn)G.因?yàn)镈C⊥CE，所以∠ECG＝90°.圖5因?yàn)椤螦CG+∠ECG＝∠ACE＝128°，所以∠ACG＝38°.因?yàn)椤螧AF＝∠ACG＝38°，所以AB∥DC(同位角相等，兩直線平行).點(diǎn)撥：判定兩直線平行的一般步驟第一步：找“三線八角”，尋找兩直線及截線，確定所形成的角，學(xué)會(huì)在較復(fù)雜圖形中，找出基本圖形.第二步：確定關(guān)系，利用已知或相關(guān)計(jì)算，得出能推出兩直線平行的同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，注意確定第三條直線(截線).第三步：判定平行，根據(jù)兩角的關(guān)系，選擇合適的判定方法判定兩直線平行.例5如圖6所示，已知∠AFC＝70°，∠B＝110°，直線CD與BE平行嗎？為什么？圖6解：平行.證明如下：(方法1)∵∠AFD＝180°-∠AFC＝110°(平角的定義)，∠B＝110°(已知)，∴∠AFD＝∠B(等量代換)，∴CD∥BE(同位角相等，兩直線平行).(方法2)∵∠CFB＝180°-∠AFC＝110°(平角的定義)，∠B＝110°(已知)，∴∠CFB＝∠B(等量代換)，∴CD∥BE(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).(方法3)∵∠BFD＝∠AFC＝70°(對(duì)頂角相等)，∠B＝110°(已知)，∴∠BFD+∠B＝180°(等式的性質(zhì))，∴CD∥BE(同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行).點(diǎn)撥：利用平行線的判定方法證明兩直線平行的方法證明兩直線平行，一般先找到截線和被截線，然后說(shuō)明同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，或說(shuō)明同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，從而得出兩直線平行.例6一輛汽車(chē)在公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來(lái)的方向上行駛，那么兩次拐彎的角度可能為()A.先右轉(zhuǎn)50°，后右轉(zhuǎn)40° B.先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)40°C.先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)130° D.先右轉(zhuǎn)50°，后左轉(zhuǎn)50°圖7解析：汽車(chē)的方向不變，即汽車(chē)拐彎前與兩次拐彎后的方向所在的直線互相平行，如圖7所示，先右轉(zhuǎn)后左轉(zhuǎn)的兩個(gè)角是同位角，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，選項(xiàng)D正確.答案：D點(diǎn)撥：解答本題的關(guān)鍵是先畫(huà)出示意圖，準(zhǔn)確地找到拐角，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.題型五平行線判定的基本事實(shí)、定理的實(shí)際應(yīng)用例7在一次加工中，王師傅切割了一塊如圖8所示的鐵板，按要求，這塊鐵板應(yīng)對(duì)邊分別平行才符合標(biāo)準(zhǔn).經(jīng)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)其中∠A＝∠C＝142°，∠B＝∠D＝38°，王師傅切割的這塊鐵板符合標(biāo)準(zhǔn)嗎？說(shuō)明理由.圖8分析：解：符合標(biāo)準(zhǔn).理由：∵∠A＝∠C＝142°，∠B＝∠D＝38°(已知)，∴∠A+∠D＝142°+38°＝180°，∠A+∠B＝142°+38°＝180°.∴AB∥CD，AD∥BC(同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行).∴王師傅切割的這塊鐵板符合標(biāo)準(zhǔn).點(diǎn)撥：熟練掌握平行線判定的基本事實(shí)、定理是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.例8實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：光線從空氣射入玻璃中，會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，光線從玻璃射入空氣中，同樣也會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象.如圖9所示，光線從空氣中射入玻璃中再?gòu)牟Ａ淙肟諝庵?，已知?＝∠2，∠3＝∠4，那么光線AB與CD是否平行？說(shuō)明理由.圖9解：平行.理由：∵∠3＝∠4(已知)，∠3+∠5＝∠4+∠6＝180°(平角的定義)，∴∠5＝∠6(等角的補(bǔ)角相等).又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠5＝∠2+∠6(等式的性質(zhì))，即∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).點(diǎn)撥：利用平行線的判定方法解決實(shí)際問(wèn)題的方法利用平行線的判定方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要把實(shí)物圖抽象為“三線八角”的基本圖形，再根據(jù)平行線的判定方法進(jìn)行解題.例9如圖10，小東和小明分別在河的兩岸，他們想知道河的兩岸EF和MN是否平行，每人拿來(lái)了一個(gè)測(cè)角儀和四根標(biāo)桿.請(qǐng)問(wèn)就現(xiàn)有的條件，小東和小明能否判斷河的兩岸EF和MN是否平行呢？說(shuō)說(shuō)你的方案.圖10分析：利用平行線的判定方法去解決.解：通過(guò)目測(cè)使四個(gè)標(biāo)桿在同一條直線上，如圖10所示，四根標(biāo)桿分別立在A，B，C，D所在的位置，再用測(cè)角器分別測(cè)出∠ABE和∠DC的大小，若∠ABE+∠DCM＝180°，則EF∥MN，若∠ABE+∠DCM≠180°，則EF不平行于MN.點(diǎn)撥：本題利用的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定方法，要善于利用幾何模型解決實(shí)際問(wèn)題.題型六添加輔助線判定兩直線平行例10如圖11所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，試說(shuō)明AB∥EF.解：(方法1)如圖11所示，在∠BCD的內(nèi)部作∠BCM＝25°，在∠CDE的內(nèi)部作∠EDN＝10°.圖11∵∠B＝25°，∠E＝10°，∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN.∴AB∥CM，EF∥DN(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.∴∠DCM＝∠CDN.∴CM∥DN(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).∵AB∥CM，∴AB∥DN(平行于同一條直線的兩直線平行).又∵EF∥DN，∴AB∥EF.(方法2)如圖12所示，分別向兩方延長(zhǎng)線段CD交E