2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與比例抽樣試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋（每小題4分，共20分）1.抽樣框2.抽樣誤差3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣4.比例抽樣5.抽樣平均誤差二、填空題（每空2分，共20分）1.抽樣調(diào)查是按照的原則從總體中抽取樣本，并根據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)做出推斷的一種統(tǒng)計(jì)方法。2.抽樣誤差是指在實(shí)際抽樣調(diào)查中，由于抽樣導(dǎo)致樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間存在的差別。3.在比例抽樣中，將總體N個(gè)單元按比例分為K層，每層包含N_h個(gè)單元，則從第h層中抽取的樣本量為n_h=n*(N_h/N)。4.影響必要樣本量確定的主要因素包括總體方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）、抽樣允許誤差、抽樣置信水平以及抽樣方法。5.在重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，樣本平均數(shù)的抽樣平均誤差為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ與樣本量n的平方根之比，即σ/sqrt(n)。三、簡(jiǎn)答題（每小題6分，共30分）1.簡(jiǎn)述抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查的主要優(yōu)點(diǎn)。2.簡(jiǎn)述影響抽樣誤差大小的因素有哪些？3.簡(jiǎn)述比例抽樣（PPS抽樣）的基本思想及其主要形式之一——等概率抽樣（PPS）的特點(diǎn)。4.簡(jiǎn)述分層抽樣的基本步驟。5.簡(jiǎn)述抽樣估計(jì)中置信區(qū)間與置信水平的含義。四、計(jì)算題（每小題10分，共20分）1.某工廠生產(chǎn)一批零件共10000個(gè)，為檢查該批零件的合格率，采用不重復(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽取400個(gè)零件進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)其中有10個(gè)不合格品。試估計(jì)該批零件的合格率及其抽樣平均誤差（假設(shè)合格品與不合格品可以區(qū)分，并視為無(wú)限總體處理）。2.假設(shè)某村有農(nóng)戶500戶，為估計(jì)該村年人均收入，按農(nóng)戶年收入從高到低排序，采用等距抽樣方法（系統(tǒng)抽樣）抽取樣本容量為50戶。已知樣本戶計(jì)算得到的人均收入標(biāo)準(zhǔn)差為800元，抽樣允許誤差為100元，置信水平為95%（查表得z=1.96）。試計(jì)算必要的樣本量（不考慮無(wú)回答等抽樣設(shè)計(jì)效應(yīng)），并根據(jù)樣本信息構(gòu)造該村年人均收入的95%置信區(qū)間。五、論述題（12分）試論述比例抽樣（按比例分配樣本量）的優(yōu)缺點(diǎn)及其在實(shí)踐中的應(yīng)用注意事項(xiàng)。試卷答案一、名詞解釋1.抽樣框：指包含總體所有單元并從中抽取樣本的名單或其它媒介。它是聯(lián)系總體與樣本的橋梁，理想的抽樣框應(yīng)覆蓋全部總體單元且單元信息準(zhǔn)確。**解析思路：*考察對(duì)抽樣框基本概念的掌握。需要答出抽樣框是名單或媒介，其作用是聯(lián)系總體與樣本，并強(qiáng)調(diào)其理想狀態(tài)是覆蓋完整且信息準(zhǔn)確。2.抽樣誤差：指樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本比例）與總體參數(shù)（總體均值、總體比例）之間存在的隨機(jī)誤差。它是抽樣調(diào)查中不可避免的誤差，主要來(lái)源于樣本的隨機(jī)性。**解析思路：*考察對(duì)抽樣誤差定義的理解。需明確誤差是樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之差，強(qiáng)調(diào)其隨機(jī)性（由抽樣引起）和不可避免性。3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：指從總體N個(gè)單元中，完全隨機(jī)地抽取n個(gè)單元構(gòu)成樣本，且每個(gè)可能的樣本被抽中的概率都相等的一種抽樣方法。常用方式有抽簽法或利用隨機(jī)數(shù)表/軟件。**解析思路：*考察對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣定義和特點(diǎn)的掌握。需答出從N個(gè)單元中完全隨機(jī)抽取n個(gè)，并強(qiáng)調(diào)樣本等概率被抽中。4.比例抽樣：指先將總體按某個(gè)標(biāo)志分層，然后在每層中按相同的抽樣比例（通常是等概率）抽取樣本的一種抽樣方法。其核心特征是在每層分配的樣本量與該層單元數(shù)在總體中的比例相同。**解析思路：*考察對(duì)比例抽樣（通常指分層比例抽樣）概念的理解。需答出先分層，再在各層按相同比例抽樣，并點(diǎn)明其核心是比例分配樣本量。5.抽樣平均誤差：指在重復(fù)抽樣條件下，樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值X?或樣本比例p?）的標(biāo)準(zhǔn)差。它反映了樣本統(tǒng)計(jì)量圍繞總體參數(shù)波動(dòng)的平均程度，是衡量抽樣誤差大小的指標(biāo)。**解析思路：*考察對(duì)抽樣平均誤差概念和意義的掌握。需答出其在重復(fù)抽樣下是樣本統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，并說(shuō)明其反映的是樣本統(tǒng)計(jì)量圍繞總體參數(shù)的平均波動(dòng)程度。二、填空題1.隨機(jī)2.系統(tǒng)性3.等比例4.抽樣設(shè)計(jì)5.n**解析思路：*填空題主要考察對(duì)基本概念、公式和原理的準(zhǔn)確記憶。第1空考察抽樣原則。第2空考察抽樣誤差的性質(zhì)。第3空考察比例抽樣樣本量計(jì)算公式中的特點(diǎn)。第4空考察影響樣本量的因素。第5空考察抽樣平均誤差公式中的分母。三、簡(jiǎn)答題1.答：抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查的主要優(yōu)點(diǎn)包括：*節(jié)省時(shí)間和經(jīng)費(fèi)：抽樣調(diào)查只需調(diào)查總體中的一部分單元，大大減少了工作量和成本。*可及性更高：對(duì)于某些無(wú)法進(jìn)行全面調(diào)查的總體（如破壞性試驗(yàn)、范圍過(guò)大的總體），抽樣調(diào)查是唯一可行的方法。*準(zhǔn)確性可能更高：全面調(diào)查易受人為因素、登記誤差等影響，而抽樣調(diào)查若設(shè)計(jì)合理、實(shí)施規(guī)范，結(jié)果可能更準(zhǔn)確。*及時(shí)性更好：抽樣調(diào)查周期相對(duì)較短，能更快地獲取所需信息。*便于深入分析：調(diào)查結(jié)果可以結(jié)合其他數(shù)據(jù)源進(jìn)行更深入的分析和推斷。**解析思路：*考察對(duì)抽樣調(diào)查核心優(yōu)勢(shì)的理解。需要從效率（時(shí)間、經(jīng)費(fèi)）、可行性、準(zhǔn)確性、及時(shí)性等方面進(jìn)行闡述。2.答：影響抽樣誤差大小的因素主要有：*總體變異程度：總體標(biāo)志值越分散（方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大），抽樣誤差越大。*樣本容量：樣本量n越大，抽樣誤差越?。粯颖玖吭叫?，抽樣誤差越大。*抽樣方法：不同抽樣方法的抽樣誤差通常不同，一般來(lái)說(shuō)，分層抽樣的誤差最小，整群抽樣誤差最大（在樣本量相同的情況下），簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和等距抽樣誤差介于兩者之間。*抽樣方式：重復(fù)抽樣比不重復(fù)抽樣的抽樣誤差要大一些（在樣本量較小，相對(duì)于總體較小時(shí)更為明顯）。**解析思路：*考察對(duì)影響抽樣誤差因素的認(rèn)識(shí)。需要列出主要因素，并簡(jiǎn)要說(shuō)明每個(gè)因素如何影響誤差大小。3.答：比例抽樣（PPS抽樣）的基本思想是將總體先按某個(gè)與調(diào)查變量相關(guān)的標(biāo)志劃分成K個(gè)互不重疊的層，確保每個(gè)層內(nèi)單元的某個(gè)輔助變量（如人口數(shù)、面積等）已知，然后在每層中按照該層單元輔助變量在總體輔助變量總量中的比例，以相同概率（通常為等概率）抽取樣本單元。其主要形式之一是等概率抽樣（ProbabilityProportionaltoSizeSampling,PPS），即在每個(gè)層中，每個(gè)單元被抽中的概率與其輔助變量值成正比。**解析思路：*考察對(duì)比例抽樣（分層比例抽樣）思想和方法的理解。需答出分層、按比例抽樣兩個(gè)步驟，并解釋等概率抽樣的含義（概率與輔助變量值成正比）。4.答：分層抽樣的基本步驟如下：*劃分層次：根據(jù)研究目的和總體特征，將總體按某個(gè)或某些標(biāo)志劃分為若干個(gè)互不重疊的層（Strata），每層內(nèi)的單元應(yīng)盡可能同質(zhì)，層間單元應(yīng)盡可能異質(zhì)。*確定各層樣本量：根據(jù)研究需要和各層單元數(shù)、變異程度等因素，確定從各層中抽取的樣本單元數(shù)量。常用的方法有按比例分配（比例抽樣）和最優(yōu)分配（考慮輔助變量）等。*獨(dú)立抽樣：在每個(gè)層內(nèi)獨(dú)立地、通常采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或等距抽樣方法抽取樣本。*合并樣本：將從各層抽得的樣本合并，構(gòu)成最終的樣本。*數(shù)據(jù)分析：對(duì)合并后的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并可根據(jù)分層情況對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行推斷。**解析思路：*考察對(duì)分層抽樣操作流程的掌握。需要按步驟清晰列出劃分層次、確定樣本量、獨(dú)立抽樣、合并樣本、數(shù)據(jù)分析。5.答：置信區(qū)間是指基于樣本信息，以一定的置信水平（ConfidenceLevel）估計(jì)總體參數(shù)所在的范圍。置信水平（通常用1-α表示）是指在重復(fù)抽樣的所有可能樣本中，構(gòu)造的置信區(qū)間包含總體真實(shí)參數(shù)的概率。例如，95%的置信水平意味著如果我們反復(fù)進(jìn)行抽樣并構(gòu)造95%的置信區(qū)間，大約有95%的區(qū)間會(huì)包含真實(shí)的總體參數(shù)。置信區(qū)間的寬度反映了估計(jì)的精確度，寬度越窄，估計(jì)越精確。**解析思路：*考察對(duì)置信區(qū)間和置信水平這兩個(gè)核心概念的理解。需分別解釋置信區(qū)間的含義（范圍）和置信水平的含義（概率），并簡(jiǎn)單提及區(qū)間寬度與精確度的關(guān)系。四、計(jì)算題1.解：*總體規(guī)模：N=10000，樣本量：n=400，不合格品數(shù)：10。*樣本合格率：p?=(400-10)/400=390/400=0.975。*估計(jì)總體合格率：P?=p?=0.975。*計(jì)算樣本不合格率：q?=1-p?=1-0.975=0.025。*由于總體規(guī)模較大（N>>n），可用樣本方差估計(jì)總體方差：s_p^2=p?*q?=0.975*0.025=0.024375。*不重復(fù)抽樣下，樣本比例的抽樣平均誤差公式為：σ_p?=sqrt[p?*q?/n*(1-n/N)]。*σ_p?=sqrt[0.024375/400*(1-400/10000)]=sqrt[0.024375/400*0.96]=sqrt[0.000024375*0.96]=sqrt(0.000023406)≈0.00484。*答：估計(jì)該批零件的合格率為97.5%，其抽樣平均誤差約為0.00484。**解析思路：*考察不重復(fù)抽樣下樣本比例的估計(jì)和抽樣平均誤差計(jì)算。關(guān)鍵步驟包括計(jì)算樣本比例、判斷是否可用樣本方差估計(jì)總體方差（因N>>n）、選用正確的抽樣平均誤差公式并代入數(shù)值計(jì)算。2.解：*總體規(guī)模：N=500，樣本量：n=50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s=800元，允許誤差：E=100元，置信水平：95%（z=1.96）。*計(jì)算必要的樣本量（不考慮設(shè)計(jì)效應(yīng)）：n_0=(z^2*s^2)/E^2=(1.96^2*800^2)/100^2=(3.8416*640000)/10000=2461.824/10000≈0.2461824。*由于樣本量必須為整數(shù)，且需保證達(dá)到允許誤差要求，應(yīng)向上取整，n_0=1。但通常樣本量不應(yīng)為1，此處計(jì)算結(jié)果異常小，很可能是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差s相對(duì)允許誤差E過(guò)小，導(dǎo)致所需樣本量極低，這在實(shí)際中不合理。可能題目數(shù)據(jù)設(shè)置有問(wèn)題，或隱含假設(shè)不成立。若按常規(guī)理解，需樣本量遠(yuǎn)大于1。此處按公式計(jì)算結(jié)果為1，但需注意其不合理性。*構(gòu)造置信區(qū)間：置信區(qū)間下限=X?-E=X?-100，置信區(qū)間上限=X?+E=X?+100。其中，X?為樣本人均收入，由題設(shè)未知。*答：必要的樣本量（不考慮設(shè)計(jì)效應(yīng)）按公式計(jì)算為1（注意此結(jié)果在實(shí)際應(yīng)用中極不合理，可能題目數(shù)據(jù)有誤）。根據(jù)樣本信息構(gòu)造的該村年人均收入的95%置信區(qū)間為（X?-100,X?+100），其中X?為樣本計(jì)算得到的人均收入。**解析思路：*考察重復(fù)抽樣下樣本量計(jì)算公式（基于方差和允許誤差）的應(yīng)用和置信區(qū)間的構(gòu)造。關(guān)鍵步驟包括代入公式計(jì)算樣本量（需注意結(jié)果合理性并向上取整）、寫(xiě)出置信區(qū)間的上下限表達(dá)式。注意區(qū)分重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣下樣本量計(jì)算公式的差異。五、論述題答：比例抽樣（按比例分配樣本量）是指在分層抽樣中，從每個(gè)層抽取的樣本量與該層單元數(shù)在總體中的比例相同的抽樣方法。優(yōu)點(diǎn)：1.簡(jiǎn)單易行：抽取樣本的過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，只需按預(yù)先確定的固定比例從各層抽取，操作方便，易于理解和執(zhí)行。2.成本效益可能較高：如果各層單元的抽樣成本大致相同，按比例分配可以簡(jiǎn)化成本預(yù)算和管理工作。3.對(duì)總體的代表性較好（當(dāng)層內(nèi)同質(zhì)性高）：如果總體各層內(nèi)部單元特征較為同質(zhì)，層間差異較大，按比例分配能較好地保證樣本結(jié)構(gòu)接近總體結(jié)構(gòu)，從而提高對(duì)總體的代表性。4.與現(xiàn)有信息結(jié)合方便：按比例分配需要知道各層單元數(shù)，這是進(jìn)行分層的基礎(chǔ)，通常較容易獲得。缺點(diǎn)：1.未能充分利用輔助信息：比例抽樣沒(méi)有考慮各層內(nèi)部的變異程度或各層的重要性（可以用輔助變量衡量）。它對(duì)所有層給予了相同的關(guān)注程度，即使某些層內(nèi)部變異較小或某些層對(duì)研究變量更重要，也未能體現(xiàn)出來(lái)。2.可能降低估計(jì)效率：當(dāng)各層內(nèi)部變異程度不同時(shí)，比例抽樣可能不是效率最高的抽樣方法。例如，如果某層內(nèi)部變異很小，從該層抽取較多樣本帶來(lái)的信息增益有限，而比例抽樣可能只分配了較少樣本；反之，如果某層內(nèi)部變異很大，比例抽樣可能分配了較少樣本，未能充分利用信息。最優(yōu)分配法則會(huì)考慮各層方差和抽樣成本，進(jìn)行樣本量重新分配，通常能獲得更精確（方差更?。┑墓烙?jì)。3.可能無(wú)法保證各層樣本量足夠：對(duì)于內(nèi)部變異很大或總體中占比較小的層，按比例分配的樣本量可能非常