高中數(shù)學(xué)函數(shù)極值典型例題解析函數(shù)極值作為函數(shù)性態(tài)研究的重要組成部分，不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是解決實際問題中優(yōu)化決策的關(guān)鍵工具。理解并掌握函數(shù)極值的判定方法與求解技巧，對于提升數(shù)學(xué)思維能力和解決復(fù)雜問題的能力至關(guān)重要。本文將從函數(shù)極值的基本概念出發(fā)，結(jié)合典型例題，深入剖析解題思路與方法，旨在為同學(xué)們提供清晰的指引與實用的參考。一、函數(shù)極值的基本概念與判定定理在探討具體例題之前，我們有必要先回顧函數(shù)極值的相關(guān)概念和核心判定定理，這是解決一切極值問題的理論基礎(chǔ)。極值的定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任意異于\(x_0\)的點\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），則稱\(f(x_0)\)是函數(shù)\(f(x)\)的一個極大值（或極小值），點\(x_0\)稱為函數(shù)\(f(x)\)的一個極大值點（或極小值點）。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點。值得注意的是，極值是一個局部概念，它僅與函數(shù)在某點附近的函數(shù)值有關(guān)，因此極值不一定是函數(shù)在整個定義域上的最大值或最小值。極值的判定定理：1.必要條件（費馬引理）：如果函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)且取得極值，則\(f'(x_0)=0\)。滿足\(f'(x_0)=0\)的點稱為函數(shù)的駐點。此定理告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是其駐點，但駐點不一定是極值點。此外，函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不存在的點處也可能取得極值。2.第一充分條件：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)，且在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。*若當(dāng)\(x\)在\(x_0\)的左側(cè)鄰域內(nèi)時，\(f'(x)>0\)；在\(x_0\)的右側(cè)鄰域內(nèi)時，\(f'(x)<0\)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處取得極大值。*若當(dāng)\(x\)在\(x_0\)的左側(cè)鄰域內(nèi)時，\(f'(x)<0\)；在\(x_0\)的右側(cè)鄰域內(nèi)時，\(f'(x)>0\)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處取得極小值。*若當(dāng)\(x\)在\(x_0\)的左右鄰域內(nèi)時，\(f'(x)\)的符號保持不變，則\(f(x)\)在\(x_0\)處沒有極值。這個定理的核心在于通過考察導(dǎo)數(shù)在疑似極值點（駐點或?qū)?shù)不存在的點）左右兩側(cè)的符號變化來判斷函數(shù)是否取得極值以及取得何種極值。形象地說，就是看函數(shù)在該點附近是如何“拐彎”的。二、典型例題解析例題一：基本型——多項式函數(shù)的極值求解例1：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)的極值。分析：這是一道非常基礎(chǔ)的多項式函數(shù)求極值問題。對于這類問題，我們通常遵循“求導(dǎo)->找駐點->判斷駐點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號->確定極值”的步驟進(jìn)行。解析：1.求導(dǎo)：首先，對函數(shù)\(f(x)\)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)\(f'(x)\)。\[f'(x)=3x^2-6x-9\]2.找駐點：令\(f'(x)=0\)，解方程求出函數(shù)的駐點。\[3x^2-6x-9=0\impliesx^2-2x-3=0\implies(x-3)(x+1)=0\]解得\(x_1=-1\)，\(x_2=3\)。這兩個點是函數(shù)可能的極值點。3.判斷導(dǎo)數(shù)符號變化：我們需要考察在駐點\(x=-1\)和\(x=3\)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)\(f'(x)\)的符號變化情況?？梢酝ㄟ^選取適當(dāng)?shù)臏y試點來完成。*當(dāng)\(x<-1\)時，不妨取\(x=-2\)，則\(f'(-2)=3(-2)^2-6(-2)-9=12+12-9=15>0\)，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增。*當(dāng)\(-1<x<3\)時，不妨取\(x=0\)，則\(f'(0)=0-0-9=-9<0\)，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減。*當(dāng)\(x>3\)時，不妨取\(x=4\)，則\(f'(4)=3(16)-6(4)-9=48-24-9=15>0\)，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增。4.確定極值：*在\(x=-1\)處，導(dǎo)函數(shù)符號由正變負(fù)，根據(jù)第一充分條件，函數(shù)\(f(x)\)在\(x=-1\)處取得極大值。極大值為：\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=-1-3+9+5=10\]*在\(x=3\)處，導(dǎo)函數(shù)符號由負(fù)變正，函數(shù)\(f(x)\)在\(x=3\)處取得極小值。極小值為：\[f(3)=(3)^3-3(3)^2-9(3)+5=27-27-27+5=-22\]點評：本題完整展示了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本流程。關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出導(dǎo)函數(shù)，并正確判斷駐點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號變化。對于多項式函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)仍是多項式，駐點的求解相對直接。例題二：含參數(shù)型——參數(shù)對極值的影響分析例2：已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)在\(x=-1\)處取得極大值，在\(x=3\)處取得極小值，求\(a\)、\(b\)的值。分析：本題給出了函數(shù)的極值點位置，要求確定函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)。這需要我們將極值點與導(dǎo)函數(shù)的零點聯(lián)系起來，并利用極值點左右導(dǎo)數(shù)符號的性質(zhì)進(jìn)行分析。解析：1.求導(dǎo)并聯(lián)系駐點：函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)為：\[f'(x)=3x^2+2ax+b\]因為函數(shù)在\(x=-1\)和\(x=3\)處取得極值，根據(jù)極值的必要條件，這兩個點必為導(dǎo)函數(shù)的駐點，即\(f'(-1)=0\)且\(f'(3)=0\)。2.建立方程組求解參數(shù)：\[\begin{cases}f'(-1)=3(-1)^2+2a(-1)+b=0\\f'(3)=3(3)^2+2a(3)+b=0\end{cases}\]化簡得：\[\begin{cases}3-2a+b=0\quad(1)\\27+6a+b=0\quad(2)\end{cases}\]用方程(2)減去方程(1)：\[(27+6a+b)-(3-2a+b)=0-0\implies24+8a=0\implies8a=-24\impliesa=-3\]將\(a=-3\)代入方程(1)：\[3-2(-3)+b=0\implies3+6+b=0\impliesb=-9\]3.驗證極值類型（可簡述）：為確保正確性，我們可以簡要驗證導(dǎo)函數(shù)在\(x=-1\)和\(x=3\)兩側(cè)的符號。此時\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)\)。易知，當(dāng)\(x<-1\)時，\(f'(x)>0\)；\(-1<x<3\)時，\(f'(x)<0\)；\(x>3\)時，\(f'(x)>0\)。因此，\(x=-1\)為極大值點，\(x=3\)為極小值點，符合題意。點評：解決含參數(shù)的極值問題，關(guān)鍵在于利用已知的極值信息（如極值點、極值大小等）建立關(guān)于參數(shù)的方程或不等式。本題巧妙地將極值點轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點，從而構(gòu)建方程組求解參數(shù)。在實際解題中，求出參數(shù)后進(jìn)行簡要的驗證是一個良好的習(xí)慣，以確保結(jié)果滿足題目的所有條件。例題三：導(dǎo)數(shù)不存在點的極值判定例3：討論函數(shù)\(f(x)=(x-1)\sqrt[3]{x^2}\)的極值情況。分析：除了駐點，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是函數(shù)的極值點。本題就是一個典型例子，函數(shù)中含有開方運算，需要注意導(dǎo)函數(shù)是否存在以及在何處不存在。解析：1.函數(shù)變形與求導(dǎo)：首先將函數(shù)表達(dá)式變形，便于求導(dǎo)：\[f(x)=(x-1)x^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{5}{3}}-x^{\frac{2}{3}}\]對其求導(dǎo)：\[f'(x)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{5x^{\frac{2}{3}}}{3}-\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}=\frac{5x-2}{3x^{\frac{1}{3}}}\quad(x\neq0)\]可以看出，當(dāng)\(x=0\)時，導(dǎo)函數(shù)\(f'(x)\)的分母為零，因此導(dǎo)數(shù)不存在。2.尋找疑似極值點：令\(f'(x)=0\)，即分子\(5x-2=0\)，解得\(x=\frac{2}{5}\)。因此，函數(shù)的疑似極值點為\(x=0\)（導(dǎo)數(shù)不存在的點）和\(x=\frac{2}{5}\)（駐點）。3.判斷各點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號：*對于\(x=0\)：*當(dāng)\(x<0\)時，\(x^{\frac{1}{3}}<0\)，\(5x-2<0\)，所以\(f'(x)=\frac{負(fù)}{負(fù)}=正\)。*當(dāng)\(0<x<\frac{2}{5}\)時，\(x^{\frac{1}{3}}>0\)，\(5x-2<0\)，所以\(f'(x)=\frac{負(fù)}{正}=負(fù)\)。因此，在\(x=0\)處，導(dǎo)函數(shù)符號由正變負(fù)，函數(shù)取得極大值。*對于\(x=\frac{2}{5}\)：*當(dāng)\(0<x<\frac{2}{5}\)時，\(f'(x)<0\)。*當(dāng)\(x>\frac{2}{5}\)時，\(x^{\frac{1}{3}}>0\)，\(5x-2>0\)，所以\(f'(x)=\frac{正}{正}=正\)。因此，在\(x=\frac{2}{5}\)處，導(dǎo)函數(shù)符號由負(fù)變正，函數(shù)取得極小值。4.計算極值：*極大值：\(f(0)=(0-1)\sqrt[3]{0^2}=0\)。*極小值：\(f\left(\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}-1\right)\sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^2}=\left(-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}}\)。（具體數(shù)值可保留此形式，或根據(jù)題目要求進(jìn)一步計算）點評：本題的重點在于提醒我們，在尋找函數(shù)極值點時，不能僅僅關(guān)注駐點，還必須考慮導(dǎo)數(shù)不存在的點。對于這些點，同樣需要通過考察其左右鄰域內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性（即導(dǎo)數(shù)的符號變化，若導(dǎo)數(shù)在該點兩側(cè)附近存在且符號相反）來判斷是否為極值點。三、總結(jié)與解題策略提煉通過對上述典型例題的分析，我們可以總結(jié)出求解函數(shù)極值問題的一般策略與注意事項：1.牢固掌握核心概念與定理：深刻理解極值的定義，明確極值是局部概念。熟練運用極值的必要條件（導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在）尋找疑似極值點，以及第一充分條件（導(dǎo)數(shù)符號變化）判定極值。2.規(guī)范解題步驟：對于給定函數(shù)，通常遵循“求導(dǎo)->找疑似極值點（駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點）->列表或分區(qū)間考察各疑似點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號->依據(jù)符號變化判定極值并計算極值”的步驟進(jìn)行，確保條理清晰，避免遺漏。3.關(guān)注特殊情形：特別留意導(dǎo)數(shù)不存在的點是否可能成為極值點。對于含參數(shù)的函數(shù)極值問題，要善于利用已知條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式組，并注意對參數(shù)不同取值范圍的討論（如例2雖未涉及復(fù)雜討論，但思想