高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)系統(tǒng)復(fù)習(xí)資料函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基石，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。掌握好函數(shù)的概念、性質(zhì)及基本初等函數(shù)，對于理解數(shù)學(xué)問題、解決實際應(yīng)用至關(guān)重要。本資料旨在對高一階段所學(xué)的函數(shù)知識進(jìn)行系統(tǒng)性梳理與復(fù)習(xí)，幫助同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，鞏固基礎(chǔ)，提升應(yīng)用能力。一、函數(shù)的概念與表示1.1函數(shù)的概念在一個變化過程中，我們常常關(guān)注兩個變量之間的依賴關(guān)系。函數(shù)的本質(zhì)就是描述這種依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。對函數(shù)概念的理解要點(diǎn)：*兩個非空數(shù)集：A和B必須是數(shù)集，這與初中階段對函數(shù)的描述一脈相承，但更強(qiáng)調(diào)集合的觀點(diǎn)。*對應(yīng)關(guān)系f：這是函數(shù)的核心，它規(guī)定了從自變量x到函數(shù)值y的轉(zhuǎn)換規(guī)則?？梢允墙馕鍪?、圖像、表格等形式。*任意性與唯一性：對于A中的“任意”一個x，在B中都有“唯一”確定的y與之對應(yīng)。“任意性”保證了定義域的完整性，“唯一性”是函數(shù)區(qū)別于一般映射的關(guān)鍵，也是判斷一個對應(yīng)是否為函數(shù)的重要依據(jù)（即一個x不能對應(yīng)多個y）。1.2函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，即集合A。它是函數(shù)的靈魂，沒有定義域，函數(shù)便無從談起。在研究函數(shù)時，必須首先考慮定義域。確定函數(shù)定義域的主要依據(jù)：*分式函數(shù)中，分母不能為零。*偶次根式函數(shù)中，被開方數(shù)必須大于或等于零。*對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。（高一可能初步接觸，需留意）*實際問題中，定義域還需考慮自變量的實際意義。*若函數(shù)由多個數(shù)學(xué)式子組合而成，則其定義域為各部分有意義的自變量取值的交集。注意：在求解函數(shù)相關(guān)問題時，若忽略定義域，往往會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。例如，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，定義域是首要的判斷標(biāo)準(zhǔn)。1.3函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法是函數(shù)概念的具體體現(xiàn)，常用的有解析法、圖像法和列表法。*解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式（解析式）來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如y=2x+1，y=x2-3x+2等。其優(yōu)點(diǎn)是簡潔、準(zhǔn)確，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。*圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來表示函數(shù)關(guān)系。圖像能夠直觀地反映函數(shù)的變化趨勢、對稱性等性質(zhì)?！皵?shù)形結(jié)合”是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要思想方法，很多函數(shù)問題結(jié)合圖像來解決會事半功倍。*列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如數(shù)學(xué)用表中的平方表、三角函數(shù)表等。其優(yōu)點(diǎn)是直觀明了，可直接查得函數(shù)值，但通常只能表示有限個點(diǎn)的函數(shù)值。分段函數(shù)：在定義域的不同區(qū)間上，對應(yīng)關(guān)系用不同解析式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)，其定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。處理分段函數(shù)問題時，要特別注意自變量所在的區(qū)間，選擇對應(yīng)的解析式進(jìn)行求解。1.4函數(shù)的值域函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}，即當(dāng)x在定義域A內(nèi)取遍所有值時，對應(yīng)的f(x)的全體構(gòu)成的集合。值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系f共同決定。求函數(shù)值域的常用方法：*觀察法：對于結(jié)構(gòu)簡單的函數(shù)，通過對解析式的分析和觀察直接得出值域。*配方法：主要適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的函數(shù)，通過配方結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域。*換元法：對于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的函數(shù)，可通過引入新的變量（換元）將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)形式，再求值域。換元時要注意新變量的取值范圍。*單調(diào)性法：若函數(shù)在其定義域上（或某個區(qū)間上）具有單調(diào)性，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求出其在該區(qū)間上的最值，進(jìn)而確定值域。*圖像法：畫出函數(shù)的圖像，通過觀察圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（如果存在）來確定函數(shù)的值域。二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是對函數(shù)行為特征的刻畫，掌握這些性質(zhì)有助于我們更深入地理解函數(shù)，并利用它們解決問題。高一階段主要學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。2.1函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?：*當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，D稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。*當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。如果函數(shù)y=f(x)在整個定義域I上是增函數(shù)或減函數(shù)，我們就說這個函數(shù)是單調(diào)函數(shù)。對單調(diào)性定義的理解要點(diǎn)：*區(qū)間D：單調(diào)性是函數(shù)在“某個區(qū)間上”的性質(zhì)，離開了具體區(qū)間談單調(diào)性是沒有意義的。一個函數(shù)可能在定義域的不同區(qū)間上具有不同的單調(diào)性。*任意性：定義中的x?，x?是區(qū)間D上的“任意”兩個值，不能用特殊值代替。*大小關(guān)系：自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系具有一致性（增函數(shù)）或相反性（減函數(shù)）。單調(diào)性的判斷與證明：*圖像法：觀察函數(shù)圖像，若圖像在某個區(qū)間上從左到右是上升的，則為增函數(shù)；若圖像是下降的，則為減函數(shù)。這是最直觀的方法。*定義法：這是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法，其步驟通常為：1.取值：在給定區(qū)間D上任取x?，x?，且設(shè)x?<x?。2.作差：計算f(x?)-f(x?)。3.變形：對差式進(jìn)行變形（因式分解、配方、通分等），以便判斷其符號。4.定號：根據(jù)變形結(jié)果判斷f(x?)-f(x?)的符號。5.結(jié)論：根據(jù)定義得出函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性。單調(diào)性的幾何意義：函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間上，其圖像的切線斜率（如果存在）為正；在單調(diào)遞減區(qū)間上，切線斜率為負(fù)。（導(dǎo)數(shù)觀點(diǎn)，高一可初步感知）單調(diào)性的應(yīng)用：比較函數(shù)值大小、解不等式、求函數(shù)的最值等。2.2函數(shù)的奇偶性定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有-x∈A，且：*f(-x)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù)。*f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)。對奇偶性定義的理解要點(diǎn)：*定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱：這是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么它一定既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。*任意性：對于定義域A中的“任意”x，-x也必須在A中，且滿足f(-x)與f(x)的特定關(guān)系。*f(-x)與f(x)的關(guān)系：偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)，圖像關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱。奇偶性的判斷步驟：1.首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。若不對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。2.若定義域?qū)ΨQ，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系：*若f(-x)=f(x)且f(-x)≠-f(x)，則為偶函數(shù)。*若f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x)，則為奇函數(shù)。*若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（此時函數(shù)解析式必為f(x)=0，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。*若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，則為非奇非偶函數(shù)。奇偶性的幾何意義：*偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。*奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。特別地，若奇函數(shù)y=f(x)在x=0處有定義，則必有f(0)=0。這是一個常用的結(jié)論。奇偶性的應(yīng)用：簡化函數(shù)圖像的繪制（可先畫一半，再利用對稱性畫出另一半）、簡化函數(shù)性質(zhì)的研究、簡化函數(shù)值的計算等。2.3函數(shù)的最值函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定區(qū)間上取得的最大值或最小值。它是函數(shù)單調(diào)性的一個重要應(yīng)用。定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：*對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；*存在x?∈I，使得f(x?)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。類似地，可以定義函數(shù)的最小值。求函數(shù)最值的常用方法：*圖像法：觀察函數(shù)圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。*單調(diào)性法：若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(a)為最小值，f(b)為最大值；若單調(diào)遞減，則f(a)為最大值，f(b)為最小值。若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有增減變化，則需結(jié)合極值點(diǎn)（高一階段主要通過觀察和單調(diào)性分析）來判斷。*配方法：主要用于二次函數(shù)求最值。*利用奇偶性：結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可簡化最值的求解。三、基本初等函數(shù)我們在高一階段學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)，以及初步接觸的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（若教材安排在此階段）。這里重點(diǎn)復(fù)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和冪函數(shù)。3.1一次函數(shù)與正比例函數(shù)正比例函數(shù)：形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)。其定義域和值域均為R。*圖像：是過原點(diǎn)(0,0)的一條直線。*性質(zhì)：當(dāng)k>0時，函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在R上是減函數(shù)。它是奇函數(shù)。一次函數(shù)：形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。其定義域和值域均為R。當(dāng)b=0時，一次函數(shù)即為正比例函數(shù)，所以正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。*圖像：是一條直線，斜率為k，在y軸上的截距為b。*性質(zhì)：*單調(diào)性：當(dāng)k>0時，函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在R上是減函數(shù)。*奇偶性：當(dāng)b=0時為奇函數(shù)；當(dāng)b≠0時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。*一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決線性問題的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)其他函數(shù)的參照。3.2二次函數(shù)二次函數(shù)是高中階段研究最為深入、應(yīng)用也最為廣泛的函數(shù)之一。定義：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其定義域為R。二次函數(shù)的解析式（三種形式）：*一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c分別為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。*頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。頂點(diǎn)式便于直接看出函數(shù)的最值和對稱軸。*交點(diǎn)式（兩根式）：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)，其中x?，x?是二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程ax2+bx+c=0的兩個實根。交點(diǎn)式便于直接看出函數(shù)的零點(diǎn)。二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)：*圖像：拋物線。*開口方向：由a的符號決定。a>0時，拋物線開口向上；a<0時，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線開口越窄；|a|越小，拋物線開口越寬。*頂點(diǎn)坐標(biāo)：一般式通過配方可化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)（a<0）或最低點(diǎn)（a>0）。*對稱軸：直線x=-b/(2a)，或x=h（頂點(diǎn)式）。拋物線關(guān)于對稱軸對稱。*與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：*與y軸交點(diǎn)：(0,c)。*與x軸交點(diǎn)：令y=0，解一元二次方程ax2+bx+c=0。判別式Δ=b2-4ac。Δ>0時，有兩個不相等的實根，拋物線與x軸有兩個不同交點(diǎn)。Δ=0時，有兩個相等的實根，拋物線與x軸相切（頂點(diǎn)在x軸上）。Δ<0時，沒有實根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。*性質(zhì)：*定義域：R。*值域：當(dāng)a>0時，函數(shù)有最小值，y≥(4ac-b2)/(4a)，值域為[(4ac-b2)/(4a),+∞)。當(dāng)a<0時，函數(shù)有最大值，y≤(4ac-b2)/(4a)，值域為(-∞,(4ac-b2)/(4a)]。*單調(diào)性：當(dāng)a>0時，在對稱軸x=-b/(2a)的左側(cè)（即x<-b/(2a)），函數(shù)單調(diào)遞減；在對稱軸的右側(cè)（即x>-b/(2a)），函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)a<0時，在對稱軸x=-b/(2a)的左側(cè)（即x<-b/(2a)），函數(shù)單調(diào)遞增；在對稱軸的右側(cè)（即x>-b/(2a)），函數(shù)單調(diào)遞減。*奇偶性：當(dāng)b=0時，二次函數(shù)為偶函數(shù)（y=ax2+c），圖像關(guān)于y軸對稱；當(dāng)b≠0時，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值：這是一個重點(diǎn)和難點(diǎn)。由于二次函數(shù)在整個定義域R上只有一個最值點(diǎn)（頂點(diǎn)），但在閉區(qū)間[m,n]上，其最值可能在頂點(diǎn)處取得，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。具體求解時，需結(jié)合函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸與區(qū)間[m,n]的