高二下數(shù)學(xué)期中考試卷子及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.復(fù)數(shù)\(z=3-4i\)的虛部是（）A.\(-4\)B.\(4\)C.\(-4i\)D.\(3\)2.曲線\(y=x^{2}\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.已知\(a=(1,-2,3)\)，\(b=(-1,1,-2)\)，則\(a\cdotb\)的值為（）A.\(-8\)B.\(8\)C.\(-6\)D.\(6\)4.函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)在區(qū)間\([-1,1]\)上的最大值是（）A.\(0\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(4\)5.已知\(\int_{0}^{1}f(x)dx=1\)，\(\int_{0}^{2}f(x)dx=3\)，則\(\int_{1}^{2}f(x)dx\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于\(60^{\circ}\)”時，反設(shè)正確的是（）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于\(60^{\circ}\)B.假設(shè)三內(nèi)角都大于\(60^{\circ}\)C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于\(60^{\circ}\)D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于\(60^{\circ}\)7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，且\(a=2\)，\(c=8\)，則\(b\)的值為（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(\pm4\)D.\(6\)8.已知\(x\)與\(y\)之間的一組數(shù)據(jù)：\((1,1)\)，\((2,3)\)，\((3,5)\)，\((4,7)\)，則\(y\)與\(x\)的線性回歸方程\(\hat{y}=\hatx+\hat{a}\)必過點(diǎn)（）A.\((2,3)\)B.\((2.5,4)\)C.\((3,5)\)D.\((3.5,5)\)9.若函數(shù)\(f(x)=e^{x}-ax\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((-\infty,1]\)B.\((-\infty,0]\)C.\([1,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)\(f^\prime(x)\)的圖象如圖所示，則\(f(x)\)的圖象可能是（）（選項(xiàng)略）二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則當(dāng)\(a=0\)時，\(z\)為純虛數(shù)B.復(fù)數(shù)\(z_{1}\)，\(z_{2}\)滿足\(\vertz_{1}\vert=\vertz_{2}\vert\)，則\(z_{1}^{2}=z_{2}^{2}\)C.復(fù)數(shù)\(z\)的共軛復(fù)數(shù)為\(\overline{z}\)，則\(\vertz\vert=\vert\overline{z}\vert\)D.復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z^{2}\inR\)，則\(z\inR\)2.下列求導(dǎo)正確的是（）A.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)3.已知向量\(a=(1,2)\)，\(b=(-2,1)\)，則（）A.\(a\perpb\)B.\(\verta\vert=\vertb\vert\)C.\(a\)與\(b\)的夾角為\(90^{\circ}\)D.\(a+b=(-1,3)\)4.關(guān)于函數(shù)\(y=f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(y=f^\prime(x)\)，下列說法正確的是（）A.\(f^\prime(x_{0})\)表示函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_{0}\)處的切線斜率B.\(f^\prime(x)\)的值域就是函數(shù)\(y=f(x)\)的切線斜率的取值范圍C.若\(f^\prime(x_{0})=0\)，則\(x=x_{0}\)是函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點(diǎn)D.函數(shù)\(y=f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間就是\(f^\prime(x)>0\)的解集5.下列推理屬于合情推理的是（）A.由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)B.由“正方形面積為邊長的平方”推出“正方體體積為棱長的立方”C.由\(a_{n}=2n-1\)，求出\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，進(jìn)而猜想出\(S_{n}\)的表達(dá)式D.因?yàn)楫?dāng)\(a>b\)，\(c>d\)時，\(a+c>b+d\)，所以\(5+8>3+6\)6.已知函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x\)，則（）A.\(f(x)\)有兩個極值點(diǎn)B.\(f(x)\)的極大值為\(2\)C.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)D.\(f(x)\)在區(qū)間\((-\infty,-1)\)上單調(diào)遞增7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)滿足\(c\ltb\lta\)且\(ac\lt0\)，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是（）A.\(ab\gtac\)B.\(c(b-a)\lt0\)C.\(cb^{2}\ltab^{2}\)D.\(ac(a-c)\lt0\)8.已知\(\int_{0}^{1}f(x)dx=2\)，\(\int_{0}^{2}f(x)dx=5\)，則（）A.\(\int_{1}^{2}f(x)dx=3\)B.\(\int_{0}^{2}2f(x)dx=10\)C.\(\int_{0}^{1}3f(x)dx=6\)D.\(\int_{1}^{2}3f(x)dx=9\)9.用數(shù)學(xué)歸納法證明\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}\ltn\)（\(n\inN^{}\)，\(n>1\)）時，從\(n=k\)到\(n=k+1\)，左邊需要增加的項(xiàng)數(shù)為（）A.\(2^{k}\)B.\(2^{k}-1\)C.\(2^{k+1}\)D.以上都不對10.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象在點(diǎn)\((x_{0},f(x_{0}))\)處的切線方程為\(y=-x+8\)，則（）A.\(f(x_{0})=-x_{0}+8\)B.\(f^\prime(x_{0})=-1\)C.\(f(x_{0})+x_{0}=8\)D.\(f^\prime(x_{0})\)的值無法確定三、判斷題（每題2分，共20分）1.若復(fù)數(shù)\(z_{1}=1+2i\)，\(z_{2}=3-4i\)，則\(z_{1}+z_{2}=4-2i\)。（）2.函數(shù)\(f(x)=x^{2}\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=2x\)。（）3.向量\(a=(1,0)\)，\(b=(0,1)\)，則\(a\cdotb=0\)，所以\(a\)與\(b\)垂直。（）4.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)\(f^\prime(x)>0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（）5.用反證法證明命題“若\(a^{2}+b^{2}=0\)，則\(a=b=0\)”時，應(yīng)假設(shè)\(a\neq0\)且\(b\neq0\)。（）6.數(shù)列\(zhòng)(1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(\cdots\)的一個通項(xiàng)公式是\(a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}\)。（）7.\(\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}\)。（）8.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數(shù)列，則\(2b=a+c\)。（）9.函數(shù)\(f(x)=e^{x}-x\)在\(R\)上單調(diào)遞增。（）10.歸納推理是從一般到特殊的推理。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}+2\)的單調(diào)區(qū)間。答：對函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x\lt0\)或\(x>2\)，此時函數(shù)單調(diào)遞增；令\(y^\prime\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此時函數(shù)單調(diào)遞減。所以單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。2.已知復(fù)數(shù)\(z=(1+2i)(3-i)\)，求\(\vertz\vert\)。答：先化簡\(z=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^{2}=5+5i\)。復(fù)數(shù)模\(\vertz\vert=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5\sqrt{2}\)。3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：\(1\times2+2\times3+3\times4+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)（\(n\inN^{}\)）。答：當(dāng)\(n=1\)時，左邊\(=1\times2=2\)，右邊\(=\frac{1\times(1+1)\times(1+2)}{3}=2\)，等式成立。假設(shè)\(n=k\)時等式成立，即\(1\times2+2\times3+\cdots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}\)。當(dāng)\(n=k+1\)時，左邊\(=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)，等式也成立。所以原等式對任意\(n\inN^{}\)都成立。4.已知向量\(a=(1,-2)\)，\(b=(3,4)\)，求\(a\cdotb\)以及\(\verta-b\vert\)。答：\(a\cdotb=1\times3+(-2)\times4=3-8=-5\)。\(a-b=(1-3,-2-4)=(-2,-6)\)，則\(\verta-b\vert=\sqrt{(-2)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=x^{3}-ax\)的單調(diào)性與\(a\)的取值關(guān)系。答：對\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^{2}-a\)。當(dāng)\(a\leqslant0\)時，\(f^\prime(x)\geqslant0\)恒成立，\(f(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(a>0\)時，令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm\sqrt{\frac{a}{3}}\)。在\((-\infty,-\sqrt{\frac{a}{3}})\)和\((\sqrt{\frac{a}{3}},+\infty)\)上\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增，在\((-\sqrt{\frac{a}{3}},\sqrt{\frac{a}{3}})\)上\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減。2.結(jié)合實(shí)例談?wù)勀銓锨橥评砗脱堇[推理的理解。答：合情推理是從特殊到一般或特殊到特殊的推理，像類比三角形性質(zhì)推測四面體性質(zhì)。演繹推理是從一般到特殊，如大前提“所有金屬能導(dǎo)電”，小前提“鐵是金屬”，得出“鐵能導(dǎo)電”結(jié)論。合情推理用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。3.探討復(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答：復(fù)數(shù)在電學(xué)中用于分析交流電路，如計(jì)算電流、電壓等。在信號處理領(lǐng)域，復(fù)數(shù)能簡化信號的表示和運(yùn)算。在量子力學(xué)里，描述微觀粒子狀態(tài)也會用到復(fù)數(shù)。它為解決一些復(fù)雜的實(shí)際問題提供了有力的數(shù)學(xué)工具。4.已知函數(shù)\(f(x)\)在某區(qū)間上的極值點(diǎn)和單調(diào)性，如何確定函數(shù)的大致圖象？答：先根據(jù)極值點(diǎn)確定函數(shù)圖象的“峰”與“谷”位置。再依據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)圖象的上升或下降趨勢。比如有極大值點(diǎn)\(x_1\)，極小值點(diǎn)\(x_2\)，在\((-\infty,x_1)\)遞增，\((x_1,x_2)\)遞減，\((x_2,+\inft