幻燈片1：封面課程名稱：1.2一定是直角三角形嗎教材版本：2024北師大版數(shù)學(xué)年級(jí)：八年級(jí)上冊(cè)銜接提示：上節(jié)課我們深入學(xué)習(xí)了勾股定理，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。那反過(guò)來(lái)，若一個(gè)三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？本節(jié)課我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解勾股定理逆定理的內(nèi)容，能根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)度判斷該三角形是否為直角三角形。經(jīng)歷勾股定理逆定理的探索過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。能夠運(yùn)用勾股定理逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，提升邏輯推理和應(yīng)用能力?；脽羝?：情境導(dǎo)入展示問(wèn)題：小明家有一塊三角形的菜地，三邊長(zhǎng)度分別為3米、4米、5米。小明想知道這塊菜地的形狀是不是直角三角形，以便更好地規(guī)劃種植。你能幫小明判斷一下嗎？提問(wèn)引導(dǎo)：我們知道直角三角形三邊滿足勾股定理，那這個(gè)三角形三邊3、4、5之間有什么數(shù)量關(guān)系呢？32+42=9+16=25=52，它滿足兩邊平方和等于第三邊平方。那這樣的三角形真的是直角三角形嗎？帶著這個(gè)疑問(wèn)，我們開(kāi)始今天的探究。幻燈片4：探究活動(dòng)1——畫(huà)圖驗(yàn)證活動(dòng)內(nèi)容：讓學(xué)生分組進(jìn)行操作，按照以下要求畫(huà)出三角形：第一組：畫(huà)一個(gè)三角形，使三邊長(zhǎng)分別為2.5cm、6cm、6.5cm。第二組：畫(huà)一個(gè)三角形，使三邊長(zhǎng)分別為5cm、12cm、13cm。第三組：畫(huà)一個(gè)三角形，使三邊長(zhǎng)分別為4cm、5cm、6cm。操作步驟：學(xué)生利用直尺、圓規(guī)等工具畫(huà)圖。畫(huà)出三角形后，用量角器測(cè)量三角形最大角的度數(shù)。記錄測(cè)量結(jié)果，小組內(nèi)交流討論。提問(wèn)引導(dǎo)：觀察測(cè)量結(jié)果，哪些小組畫(huà)出的三角形最大角是直角？這些三角形的三邊長(zhǎng)度滿足什么共同特點(diǎn)？幻燈片5：探究活動(dòng)1結(jié)果分析小組匯報(bào)：各小組依次匯報(bào)測(cè)量結(jié)果。第一組和第二組畫(huà)出的三角形最大角為90°，是直角三角形，且它們的三邊滿足較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方（2.52+62=6.52，52+122=132）；第三組畫(huà)出的三角形最大角不是90°，且42+52≠62。教師總結(jié)：通過(guò)畫(huà)圖測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)滿足較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形；反之，則不是直角三角形。這只是我們通過(guò)幾個(gè)特殊例子得出的結(jié)論，接下來(lái)我們進(jìn)一步驗(yàn)證其普遍性。幻燈片6：探究活動(dòng)2——理論驗(yàn)證問(wèn)題提出：已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2。求證：△ABC是直角三角形。驗(yàn)證思路：采用“構(gòu)造法”，先構(gòu)造一個(gè)直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，根據(jù)勾股定理得出A'B'=c。然后通過(guò)“SSS”（邊邊邊）全等判定定理，證明△ABC≌△A'B'C'，從而得出∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形。詳細(xì)證明過(guò)程：構(gòu)造Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b。在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2。已知a2+b2=c2，且AB=c，所以A'B'2=AB2，即A'B'=AB（邊長(zhǎng)為正數(shù)）。在△ABC和△A'B'C'中，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b，AB=A'B'=c，所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）。由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得∠C=∠C'=90°，因此△ABC是直角三角形。教師強(qiáng)調(diào)：通過(guò)理論證明，我們確認(rèn)了“若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)滿足a2+b2=c2（c為最長(zhǎng)邊），則這個(gè)三角形是直角三角形”這一結(jié)論的正確性，這就是勾股定理的逆定理?；脽羝?：勾股定理逆定理的內(nèi)容與應(yīng)用要點(diǎn)內(nèi)容表述：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c（c為最長(zhǎng)邊）滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中∠C為直角。應(yīng)用要點(diǎn)：首先要確定三角形的最長(zhǎng)邊，計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方以及另外兩邊的平方和。比較最長(zhǎng)邊的平方與另外兩邊平方和的大小關(guān)系：若最長(zhǎng)邊的平方等于另外兩邊平方和，則該三角形是直角三角形。若最長(zhǎng)邊的平方大于另外兩邊平方和，則該三角形是鈍角三角形。若最長(zhǎng)邊的平方小于另外兩邊平方和，則該三角形是銳角三角形。勾股定理逆定理是判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的重要依據(jù)，常被用于幾何證明和實(shí)際問(wèn)題中?；脽羝?：例題講解1——判斷三角形形狀題目展示：判斷下列各組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)：6，8，107，24，251，2，3分析與解答過(guò)程：對(duì)于6，8，10：最長(zhǎng)邊為10，計(jì)算102=100，62+82=36+64=100。因?yàn)?02=62+82，所以這組數(shù)能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)。對(duì)于7，24，25：最長(zhǎng)邊為25，252=625，72+242=49+576=625。因?yàn)?52=72+242，所以這組數(shù)能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)。對(duì)于1，2，3：最長(zhǎng)邊為3，32=9，12+22=1+4=5。因?yàn)?≠5，所以這組數(shù)不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)?；脽羝?：例題講解2——實(shí)際應(yīng)用題目展示：某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里。它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？分析過(guò)程：先計(jì)算兩艘輪船離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后的航行距離：“遠(yuǎn)航”號(hào)航行距離：16×1.5=24（海里）。“海天”號(hào)航行距離：12×1.5=18（海里）。設(shè)港口P為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，東北方向?yàn)榈谝幌笙藿瞧椒志€方向，“遠(yuǎn)航”號(hào)的航行路線為線段PA，PA=24海里，“海天”號(hào)的航行路線為線段PB，PB=18海里，AB=30海里。計(jì)算PA2+PB2=242+182=576+324=900，AB2=302=900，所以PA2+PB2=AB2，根據(jù)勾股定理逆定理可知△PAB是直角三角形，且∠APB=90°。因?yàn)椤斑h(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，所以∠APx=45°（x軸正方向?yàn)闁|），則∠BPx=∠APB-∠APx=90°-45°=45°，或∠BPx=∠APB+∠APx=90°+45°=135°，即“海天”號(hào)沿西北方向或東南方向航行。解答過(guò)程：（根據(jù)上述分析，分步寫(xiě)出詳細(xì)解答步驟，規(guī)范解題格式）幻燈片10：課堂練習(xí)題目1：已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a=5k，b=12k，c=13k（k>0），判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由。解答：因?yàn)閍2+b2=(5k)2+(12k)2=25k2+144k2=169k2，c2=(13k)2=169k2，所以a2+b2=c2，△ABC是直角三角形。題目2：如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積。解答：連接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25，所以AC=5。在△ACD中，AC2+CD2=52+122=25+144=169=132=DA2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD=(3×4)/2+(5×12)/2=6+30=36。學(xué)生反饋：學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)后，同桌之間相互檢查答案，教師選取典型錯(cuò)誤進(jìn)行講解，強(qiáng)化對(duì)勾股定理逆定理的應(yīng)用?；脽羝?1：課堂總結(jié)知識(shí)梳理：勾股定理逆定理：若三角形三邊長(zhǎng)a、b、c（c為最長(zhǎng)邊）滿足a2+b2=c2，則該三角形為直角三角形。勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，已知直角三角形，得出三邊關(guān)系；勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，已知三邊關(guān)系，判斷三角形是否為直角三角形。聯(lián)系：兩者都與直角三角形的三邊關(guān)系相關(guān)，是互逆定理。思想方法總結(jié)：本節(jié)課在探究過(guò)程中運(yùn)用了從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造法等數(shù)學(xué)思想方法，這些方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要作用，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用?；脽羝?2：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：教材習(xí)題1.2第1、2、3題，鞏固勾股定理逆定理的基本應(yīng)用。拓展作業(yè)：已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為m2-n2，2mn，m2+n2（m>n>0），證明這個(gè)三角形是直角三角形。通過(guò)拓展作業(yè)，加深對(duì)勾股定理逆定理的理解和應(yīng)用，提升邏輯證明能力。2024北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師：

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時(shí)間：

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1.2一定是直角三角形嗎第一章

勾股定理aiTujmiaNg知識(shí)回顧1.勾股定理的前提條件是什么？直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方條件：在Rt△ABC

中，∠C=90°。結(jié)論：a2+b2=c2。ABCcabABCcab2.反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角形滿足了“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，那么它一定是直角三角形嗎？條件：△ABC

中a2+b2=c2。？結(jié)論：Rt△ABC

，∠C=90°。新知探索思考：1.這四組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？2.分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)畫(huà)出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？3，4，55，12，138，15，177，24，25下面的每組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c。3，4，54535，12，13121358，15，17151787，24，2524257如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形?？偨Y(jié)這個(gè)結(jié)論稱為“勾股定理的逆定理”。ABCcab符號(hào)語(yǔ)言：在△ABC

中，若a2+b2=c2則△ABC

是直角三角形。滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。ABCcab常見(jiàn)的勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等。勾股數(shù)拓展性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k（k為正整數(shù)），得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù)。方法總結(jié)：到今天為止，你能用哪些方法判斷一個(gè)三角形是直角三角形呢？判定三角形是否是直角三角形的兩種方法：邊角（1）找三角形的最長(zhǎng)邊；（2）計(jì)算較短兩邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方；（3）若兩者相等，則是直角三角形，若不相等，則不是直角三角形若三角形中有一個(gè)角為直角，則是直角三角形，否則不是直角三角形一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？例題解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD

是直角三角形，∠A

是直角。在△BCD

中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD

是直角三角形，∠DBC

是直角。因此，這個(gè)零件符合要求。隨堂練習(xí)【課本P11隨堂練習(xí)第1題】1.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)度？說(shuō)說(shuō)你的理由。（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39。解：（1）（4）可作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，因?yàn)檫@兩組數(shù)都滿足a2＋b2=c2。（2）（3）不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，因?yàn)檫@兩組數(shù)都不滿足a2＋b2=c2。2.如圖，在正方形ABCD

中，AB=4，AE=2，DF=1，

圖中有幾個(gè)直角三角形？你是如何判斷的？【課本P11隨堂練習(xí)第2題】解：圖中四個(gè)三角形都是直角三角形。△BAE，△EDF，△BCF

分別有一個(gè)角為正方形的內(nèi)角，是直角；在△BEF

中，可以計(jì)算出

BE2＝20，EF2＝5，BF2＝25，則BE2

+EF2＝BF2，從而可知△BEF

也是直角三角形。題型一判斷三角形的形狀如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊BC和CD

上的點(diǎn)，且AB

＝4，CE＝

BC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接AF，AE，EF，△AEF是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由。41解：△AEF為直角三角形。理由如下:因?yàn)樗倪呅蜛BCD

是正方形，所以AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°。因?yàn)镃E＝BC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以CE＝1，BE＝BC－CE＝3，CF

＝DF

＝CD＝2。所以在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝42＋32＝25；在Rt△ECF中，EF2＝CE2＋CF2＝12＋22＝5；在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝42＋22＝20，所以AE2＝EF2＋AF2，所以△AEF為直角三角形。1412題型二利用勾股定理及其逆定理求線段長(zhǎng)如圖，在△ABC中，D

為BC邊上的一點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的長(zhǎng)。ABDC解：因?yàn)锳B＝13，AD＝12，BD＝5，所以AD2＋BD2＝122＋52＝169＝132＝AB2。所以△ABD是直角三角形，∠ADB

＝90°。所以∠ADC＝180°－∠ADB＝90°。所以△ACD是直角三角形。根據(jù)勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，所以CD＝9。ABDC題型三利用勾股定理及其逆定理求不規(guī)則圖形的面積如圖，在四邊形ABCD

中，AB＝3，BC＝13，CD

＝12，AD＝4，且∠A＝90°，求四邊形ABCD的面積。ABCD解：如圖，連接BD。在Rt△ABD中，BD2=AD2+AB2=42+32=25，所以BD=5。在

△BCD中，BD2+CD2=52+122=169=132=BC2，所以△BCD為直角三角形，∠BDC=90°。所以S四邊形ABCD

=S△ABD

+S△BCD=AD·AB+BD·CD

=×4×3+×5×12=36。12121212ABCD題型四有關(guān)勾股數(shù)的探究我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”。

觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)。（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù):____________；（2）若滿足上面規(guī)律的一組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)用字母n(n為奇數(shù)，且n

≥3)表示，則后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式可分別表示為_(kāi)_______和_________。思路分析3，4

=，5=32-1232+125，12

=，13=52-1252+127，24

=，25=72-1272+12n，

，n2-12n2+12題型四有關(guān)勾股數(shù)的探究我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”。

觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)。（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù):____________；（2）若滿足上面規(guī)律的一組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)用字母n(n為奇數(shù)，且n

≥3)表示，則后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式可分別表示為_(kāi)_______和_________。11，60，61n2-12n2+121.如果三條線段

a，b，c

滿足

a2=c2－b2，那么這三條線段組成的三角形是直角三角形嗎？為什么？因?yàn)閍2=c2－b2，所以a2+b2=c2。這三條線段組成的三角形是直角三角形?！窘滩腜11習(xí)題1.2第1題】2.如果將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，那么得到的三角形還是直角三角形嗎？你還能提出什么問(wèn)題？得到的三角形還是直角三角形?！窘滩腜11習(xí)題1.