三角形13.3.2三角形的外角（預(yù)習(xí)講義）學(xué)習(xí)目標(biāo)了解三角形外角的概念。理解并掌握三角形外角的性質(zhì)。能運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的角度計(jì)算和推理問題。初步體會(huì)幾何中角的轉(zhuǎn)化思想。知識(shí)點(diǎn)梳理1.三角形外角的定義概念：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。圖形說明：如圖1，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)到點(diǎn)D，得到∠ACD。像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角（∠ACD），就是三角形的外角。（此處應(yīng)有圖：一個(gè)三角形ABC，延長(zhǎng)BC至D，標(biāo)出∠ACD為外角）理解要點(diǎn)：外角的頂點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)。外角的一條邊是三角形的一邊。外角的另一條邊是三角形另一邊的延長(zhǎng)線。一個(gè)三角形有多少個(gè)外角？一個(gè)三角形有6個(gè)外角。每個(gè)頂點(diǎn)處有2個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，大小相等。（在研究外角性質(zhì)時(shí)，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角）2.三角形外角的性質(zhì)性質(zhì)1：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。如圖1，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，它與內(nèi)角∠A和∠B不相鄰，那么∠ACD=∠A+∠B。推理過程簡(jiǎn)述：因?yàn)椤螦CB+∠ACD=180°（平角定義），且∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和定理），所以∠ACD=∠A+∠B。性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。如圖1，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，那么∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。推理依據(jù)：由性質(zhì)1，∠ACD=∠A+∠B，而∠A和∠B都是大于0°的角，所以∠ACD必然大于∠A，也必然大于∠B。3.注意事項(xiàng)在應(yīng)用外角性質(zhì)時(shí)，要準(zhǔn)確判斷哪個(gè)角是外角，以及這個(gè)外角“不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角”是哪兩個(gè)?！安幌噜彙敝傅氖桥c外角沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)三角形的外角定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角。三角形外角的重要性質(zhì)：外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（這是計(jì)算角度的重要依據(jù)）外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。（這是比較角的大小的重要依據(jù)）學(xué)習(xí)提示：掌握三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵在于理解其推導(dǎo)過程，并能在具體圖形中準(zhǔn)確識(shí)別和運(yùn)用。鞏固練習(xí)一、選擇題1．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為42°，則這個(gè)等腰三角形的頂角是（）A．42°或138° B．48°或132° C．48°或138° D．42°或132°2．如圖，∠A=100°，∠B=20°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．120° B．110° C．100° D．90°3．如圖，一副三角板按圖放置，則∠1的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．80° D．75°4．如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1、∠2、∠B之間的關(guān)系為（）A．∠1+∠2=2∠B B．∠1?∠2=2∠BC．∠B+∠2=∠1 D．∠1?∠2=∠B5．如圖，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B=40°，∠ACD=125°，則∠A等于（）A．65° B．75° C．85° D．95°6．如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，則∠BDC的度數(shù)是（）A．80° B．90° C．100° D．110°7．如圖，∠CDB=155°，∠C=115°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．50°8．如圖，AD、CF分別是△ABC的高和角平分線，AD與CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，連接BM交AD于H，且BM⊥AE．有下列結(jié)論：①∠AMC=135°；②△AMH≌△BME；③BC=BH+2MH；④AH+CE=AC．其中，正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空題9．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為度．10．如圖，AB//CD，BE⊥EF于E，∠B=25°，則∠EFD的度數(shù)是.11．如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若∠1=145°，∠3=60°，則∠2的度數(shù)為．12．如圖，將一副直角三角板放置，使含30°的三角板的較短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊在同一直線上，則∠1的度數(shù)是度．13．如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°．其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）14．如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠EBC，∠DCB為△ABC的外角，∠EBC與∠DCB的平分線交干點(diǎn)A1，∠EBA1與∠DCA1的平分線交于點(diǎn)A2，…，（1）∠A1的度數(shù)為（2）若得到點(diǎn)An后，再依此規(guī)律作角平分線，兩條角平分線無交點(diǎn)，則n的值為15．如圖所示，∠ABC，∠ACB的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)O，∠ABC的內(nèi)角平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，∠ABC與∠ACB的相鄰?fù)饨瞧椒志€交于點(diǎn)E，且∠A=60°，則∠BOC=，∠D=，∠E=.三、解答題16．如圖1，已知∠MON=60°，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A沿射線ON運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B沿射線OM運(yùn)動(dòng)．，點(diǎn)C為△ABO三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，連接BC、AC．（1）如圖2，當(dāng)∠OAB=70°，求∠ACB的大小。（2）在點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)過程中，∠ACB的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由：（3）如圖3，連接OC并延長(zhǎng)，與∠ABM的角平分線交于點(diǎn)P，與AB交于點(diǎn)Q．在△BCP中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，直接寫出∠BAO的度數(shù)．17．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如圖①，若∠BPC＝α，則∠A＝；（用α的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫出結(jié)論）（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探究∠Q與∠BPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，延長(zhǎng)線段CP、QB交于點(diǎn)E，△CQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．18．如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且∠ADE=∠AED，連接DE.（1）如圖①，若∠B=∠C=30°，∠BAD=70°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ABC=∠ACB=70°，∠CDE=15°，求∠BAD的度數(shù)；（3）由（1）和（2）的結(jié)果知道∠CDE和∠BAD的數(shù)量關(guān)系是：；當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述關(guān)系式是否還成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.19．閱讀填空，將三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（點(diǎn)P在△ABC內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，我們來研究∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．（1）特例探索：若∠A=50°，則∠PBC+∠PCB=度，∠ABP+∠ACP=度．（2）類比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是．（3）變式探索：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢茫裹c(diǎn)P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是．

參考答案1．B2．A3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．18010．65°11．25°12．7513．①②③④14．80°；315．120°；30°；60°16．（1）解：∵∠MON=60°，∠OAB=70°∴∠OBA=180°?∠OAB?∠MON=50°∵點(diǎn)C為ΔABO三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，∴∠CBA=12∠OBA=25°∴在△ACB中，∠ACB=180°?∠BAC?∠CBA=120°（2）解：∠ACB的度數(shù)不變，∠ACB=120°，理由如下：∵點(diǎn)C為ΔABO三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，∴∠CBA=12∠OBA∴∠CBA+∠CAB=1∵∠MON=60°，∴∠OBA+∠OAB=120°，∴∠CBA+∠CAB=60°，∴∠ACB=120°，即∠ACB的度數(shù)不變；（3）①∵點(diǎn)C為ΔABO三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，∴∠BOA=2∠BOP，∠BAO=2∠BAC，∴∠MBA=∠BOA+∠BAO=60°+∠BAO，∵BP為∠ABM的角平分線，∴∠MBA=2∠MBP，∴60°+∠BAO=2∠MBP，∵∠MBP=∠BOP+∠P=30°+∠P，∴60°+∠BAO整理得：∠BAO=2∠P；②設(shè)∠OBA=m，則∠MBA=180°?m，∠BAO=120°?m，∵BP為∠ABM的角平分線，∴∠ABP=90°?1∵∠MON=60°，點(diǎn)C為ΔABO三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，∴∠ABC=12m∴∠CBP=∠ABC+∠ABP=90°，∴∠P=180°?∠CBP?∠BCP=60°?1ΔBCP中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，分兩種情況：（1）∠CBP=2∠BCP，則90°=2(解得m=30°，此時(shí)∠BAO=120°?m=90°，（2）∠CBP=2∠P，則90°=2(解得m=30°，此時(shí)∠BAO=120°?m=90°，∴ΔBCP中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，∠BAO為90°17．（1）2α﹣180°（2）解：結(jié)論：∠BPC+∠BQC=180°．理由：如圖②中，∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB=1=1=1=90°+1∴∠Q=180°﹣（90°+12∠A）=90°∵∠BPC=90°+1∴∠BPC+∠BQC=180°．（3）解：延長(zhǎng)CB至F，∵BQ為△ABC的外角∠MBC的角平分線，∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分線，∴∠ABF=2∠EBF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ECB，∵∠EBF=∠ECB+∠E，∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，即∠ABF=∠ACB+2∠E，又∵∠ABF=∠ACB+∠A，∴∠A=2∠E，∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ=12∠ACB=90°，如果△CQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①∠ECQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠ECQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，則∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，則∠A=2∠E=120°．綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．18．（1）解：∵∠B＝∠C＝30