第十三章三角形第三節(jié)三角形的中線、角平分線、高01體系構(gòu)建·思維可視 102核心突破·靶向攻堅 2知識點三角形中的主要線段 2題型精講1根據(jù)三角形中線求長度 4題型精講2根據(jù)三角形中線求面積 6題型精講3重心的概念 7題型精講4三角形角平分線的定義 9 題型精講5畫三角形的高 9題型精講6與三角形的高有關(guān)的計算問題 9 03拓展培優(yōu) 1204課堂檢測 18知識思維導圖課程學習目標明晰三角形中線、角平分線、高的定義，精準掌握其規(guī)范畫法，能用符號語言表述。借折疊、測量等活動，知曉三角形三條中線交于重心，歸納不同類型三角形高的位置特點，理解其幾何意義。3.經(jīng)觀察、操作、推理，洞悉三種線段與三角形面積、角度等要素的聯(lián)系，提升幾何直觀與邏輯推理能力，從容應對新中考相關(guān)題型?！拘轮獙W習】【知識點】三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.(5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點.【易錯提醒】0的絕對值是0。例題1：下列說法：①三角形的高、中線、角平分線都是線段；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；④“對頂角相等”的證明依據(jù)是等角的補角相等．其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【難度】0.85【來源】四川省成都市武侯區(qū)成都西川中學20232024學年七年級下學期期中數(shù)學試題【知識點】對頂角相等、兩直線平行同位角相等、三角形的識別與有關(guān)概念【分析】此題考查了三角形相關(guān)概念、平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等，熟練掌握三角形相關(guān)概念、平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形相關(guān)概念、平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等判斷求解即可．【詳解】解：①三角形的高、中線、角平分線都是線段，故①正確，符合題意；②在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故②錯誤，不符合題意;③兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故③錯誤，不符合題意；④“對頂角相等”的證明依據(jù)是同角的補角相等，故④錯誤，不符合題意；只有一個正確；故選：A．【變式訓練1】下列說法正確的是（）A．三角形的三條中線交于一點B．三角形的角平分線是射線C．三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內(nèi)就在三角形外D．三角形的一條角平分線能把三角形分成兩個面積相等的三角形【答案】A【難度】0.85【來源】四川省綿陽市涪城區(qū)綿陽東辰國際學校20222023學年八年級上學期期中數(shù)學試題【知識點】三角形的識別與有關(guān)概念、三角形角平分線的定義【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高線的定義和性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】A、三角形的三條中線交于一點，說法正確，符合題意；B、三角形的角平分線是線段，原說法錯誤，不符合題意；C、三角形的高所在的直線交于一點，當三角形為銳角三角形時，交點在三角形的內(nèi)部，當三角形為直角三角形時，交點在直角頂點上，當三角形為鈍角三角形時，交點在三角形的外部，原說法錯誤，不符合題意；D、三角形的一條中線能把三角形分成兩個面積相等的三角形，原說法錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查三角形的三條重要線段．熟練掌握三角形中的中線，角平分線和高線是三條線段，三角形的中線平分三角形的面積，以及高線所在的直線交于一點，該點可能在三角形的內(nèi)部，外部和三角形上，是解題的關(guān)鍵．題型精講1根據(jù)三角形中線求長度【答案】5【知識點】根據(jù)三角形中線求長度故答案為：5．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了中點的定義及線段的和差，根據(jù)圖中信息找到線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是邊上的中點，故選C．【答案】D【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了三角形中線的概念，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．根據(jù)中線的定義分析各個選項．故選：D．【答案】86【知識點】加減消元法、根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了三角形的中線定義，二元一次方程組的求解，利用加減消元法求解是解題的關(guān)鍵．故答案為：8；6．題型精講2根據(jù)三角形中線求面積【答案】A【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題主要考查了三角形的中線，故選：A.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形的中線和三角形的面積．根據(jù)等底同高的三角形的面積相等即可得到結(jié)論．故選：B．A．①對②錯 B．①錯②對 C．①②都對 D．①②都錯【答案】B【知識點】三角形三邊關(guān)系的應用、根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及三角形中線的應用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系及三角形中線，根據(jù)三角形三邊關(guān)系及三角形中線的定義求解并判斷即可．故①錯誤；故②正確，故選：B．【答案】15【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，熟知三角形中線平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，分別是，的中點，故答案為：15．【答案】見詳解【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題主要考查三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形面積公式同底等高面積相等即可，在三角形中分別找到對應邊的中點，再與相對點連接，形成三角形，如此每個三角形均為上一次三角形面積的一半．【詳解】解：如圖，題型精講3重心的概念例題1：三角形的三條高、三條角平分線、三條中線都分別相交于一點，且交點一定在三角形內(nèi)部的是（

）A．角平分線、高 B．中線、高C．角平分線、中線 D．以上都不對【答案】C【知識點】垂心、重心的概念、三角形角平分線的定義【分析】根據(jù)三角形的三條高、三條角平分線、三條中線交點的位置，即可進行解答．【詳解】解：銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)部，直角三角形的三條高的交點在斜邊上，鈍角三角形的三條高的交點在三角形外部；三角形三條角平分線的交點在三角形內(nèi)部；三角形三條中線的交點在三角形內(nèi)部；故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的三心位置，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)部，直角三角形的三條高的交點在斜邊上，鈍角三角形的三條高的交點在三角形外部；三角形三條角平分線的交點在三角形內(nèi)部；三角形三條中線的交點在三角形內(nèi)部．【變式訓練1】（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）閱讀材料，并解決問題．項目主題確定勻質(zhì)薄板的重心位置項目背景在學習三角形的重心時，小王向同桌小劉提出這樣一個問題：四邊形有沒有重心？如果有，它的重心如何確定呢？小劉在周末查閱了相關(guān)資料，得到如下的信息：①四邊形有重心；②在平面內(nèi)，圖形A與圖形B拼成一個圖形C（無縫隙、不重疊），那么圖形C的重心一定在圖形A的重心與圖形B的重心連接的線段上問題探究問題1請畫出所有符合要求的四邊形，并作出所畫四邊形的重心G（用有刻度的直尺作中線，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論）問題2如圖②，一個長方形缺損一個角（缺損部分也是長方形），請畫一條直線將該圖形分成面積相等的兩部分，并簡要說明理由【答案】問題1：見解析；問題2：見解析【知識點】重心的概念【分析】本題考查三角形的重心，四邊形的重心，熟練掌握三角形的重心是三角形的三條中線的交點，是解題的關(guān)鍵：問題1：分兩種情況畫出圖形，根據(jù)重心的定義，畫圖即可；【變式訓練2】（2425七年級下·遼寧阜新·階段練習）下列說法正確的是（

）A．三角形的角平分線是射線B．三角形的三條高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內(nèi)就在三角形外C．三角形的一條角平分線把三角形分成兩個面積相等的三角形D．三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心【答案】D【知識點】畫三角形的高、根據(jù)三角形中線求面積、重心的概念、三角形角平分線的定義【分析】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點．也考查了三角形的角平分線、中線和高．根據(jù)三角形的角平分線的定義和三角形重心的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、三角形的角平分線是線段，所以本選項不符合題意；B、三角形的高所在的直線交于一點，這一點在三角形內(nèi)或在三角形外或在三角形頂點，所以本選項不符合題意；C、三角形的一條中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，所以本選項不符合題意．D、三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心，所以本選項符合題意；故選：D．【答案】【知識點】根據(jù)三角形中線求面積、重心的概念【分析】本題主要考查三角形重心的定義，三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中線是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求解即可．故答案為：．【變式訓練4】（2526八年級上·全國·單元測試）下列命題是真命題的是（）C．三角形三條中線不一定交于一點 D．所有合數(shù)都是偶數(shù)【答案】A【知識點】兩直線平行同位角相等、重心的概念、判斷命題真假【分析】本題考查命題的真假判斷，根據(jù)平行線的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、偶數(shù)和三角形中線判斷即可．【詳解】解：A．兩直線平行，同位角相等，故此選項是真命題，符合題意；C．三角形三條中線一定交于一點，故此選項是假命題，不符合題意；D．合數(shù)不一定是偶數(shù)，如9，故此選項是假命題，不符合題意；故選A．題型精講4三角形角平分線的定義【答案】B【知識點】三角形角平分線的定義【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義求解即可．故選：B．

A． B． C． D．【答案】A【知識點】三角形角平分線的定義故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的角平分線將三角形的內(nèi)角平均分為兩份．【變式訓練2】（2025八年級上·全國·專題練習）下列說法中錯誤的是（

）A．三角形的角平分線有三條 B．三角形三條角平分線交于一點C．三角形的角平分線是射線 D．三角形的角平分線平分一個內(nèi)角【答案】C【知識點】三角形角平分線的定義【分析】本題考查了三角形的角平分線，根據(jù)三角形角平分線的定義逐一排除即可，正確理解三角形角平分線定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、三角形每個內(nèi)角都可作一條角平分線，原選項正確，不符合題意；、三角形的角平分線交于三角形內(nèi)的一點，原選項正確，不符合題意；、三角形的角平分線是線段，不是射線，原選項錯誤，符合題意；、三角形的角平分線平分一個內(nèi)角，原選項正確，不符合題意；故選：．【答案】/度【知識點】三角形角平分線的定義故答案為：【知識點】三角形的識別與有關(guān)概念、三角形角平分線的定義∴是線段的中點，題型精講5畫三角形的高A． B．C． D．【答案】D【知識點】畫三角形的高、折疊問題【詳解】故選：D．A． B．C． D．【答案】B【知識點】畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的高的概念，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．根據(jù)概念逐一判斷即可．故選：B．A． B． C． D．【答案】C【知識點】畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的高，熟練掌握三角形的高的定義是關(guān)鍵．由三角形的高的定義容易得出結(jié)論．【詳解】解：由三角形的高的定義可知，故選：C．A． B．C． D．【答案】D【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了畫三角形的高，過三角形的一個頂點作其對邊的垂線，頂點與垂足的連線段叫做對邊上的高，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由三角形高的定義可得，四個選項中只有D選項中的圖形符合題意，故選：D．

【答案】作圖見解析【知識點】畫三角形的高、無刻度直尺作圖【分析】本題考查作圖—復雜作圖，連接并延長交于，根據(jù)三角形的三條高相交于一點即可作出判斷．解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【詳解】解：如圖，連接并延長交于，∴線段為邊上的高，即線段即為所作．

題型精講6與三角形的高有關(guān)的計算問題【例題1】（2425七年級下·四川內(nèi)江·期中）已知一個三角形的面積是60，若三角形的底是10m，該底上的高是xm，則x的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．14【答案】C【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、與三角形的高有關(guān)的計算問題【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，正確得到方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形面積公式直接列方程求解．故選：C．

【答案】C【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積

故選C．【答案】(1)(2)【知識點】點到直線的距離、與三角形的高有關(guān)的計算問題、根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了三角形的中線和高線．（2）根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：是的中點點到的距離為．【變式訓練3】（2425黑龍江哈爾濱·期末）“等面積法”是數(shù)學中常用的、重要的解題方法，在下題中也有所體現(xiàn)．______．【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題【分析】本題考查了三角形的面積，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；【變式訓練4】（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．【性質(zhì)探究】【性質(zhì)應用】【答案】(1)(2)；(3)【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題【詳解】（1）解：如圖，過點A作AE⊥BC，∵AE=AE，【拓展培優(yōu)】【答案】【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查三角形的中線，連接，利用三角形的中線平分面積，同高三角形的面積比等于底邊比，進行求解即可．【詳解】解：連接，∵點F為中點，故答案為：．【答案】②③④⑥【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題、根據(jù)三角形中線求面積、根據(jù)等角對等邊證明邊相等、三角形角平分線的定義【分析】本題考查三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)判斷①和④和⑦；根據(jù)直角三角形的兩銳角互余以及對頂角相等判斷②；根據(jù)角平分線的定義判斷③，根據(jù)題意判斷⑤，根據(jù)三角形的面積公式判斷⑥．故④正確；是角平分線，故正確；故③正確；故⑤錯誤；F不一定是的中點，故錯誤；故⑦錯誤；故⑥正確；綜上可知，正確的有②③④⑥，故答案為：②③④⑥．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【知識點】根據(jù)三角形中線求面積、全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定故①正確，故②正確，故④正確，是中點，故⑤正確，故③錯誤，故選：C．(1)直接寫出點A，B，C的坐標；(3)點M為線段上一點（不與A，B兩點重合），點N為線段上一點（不與A，C兩點重合）．【知識點】立方根概念理解、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、根據(jù)三角形中線求面積、坐標與圖形綜合【分析】（1）根據(jù)b的立方根是它本身，求出負數(shù)b，再根據(jù)完全平方和絕對值的非負性求出n和c，即可得到三點坐標；（3）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和求解即可；【詳解】（1）解：∵負數(shù)b的立方根等于它本身，∵P在y軸正半軸上，【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和以及坐標與圖形性質(zhì)，根據(jù)坐標確定三角形面積是本題解題的關(guān)鍵．(2)當點P運動到中點時，求線段的長；(3)當點P與點Q到點B的距離相等時，求t的值；(2)7(3)2，(4)和【知識點】列代數(shù)式、幾何問題(一元一次方程的應用)、【分析】本題考查列代數(shù)式，與三角形的高有關(guān)的計算，一元一次方程的應用，正確的列出方程和代數(shù)式，是解題的關(guān)鍵：（2）求出點運動的時間，進而求出點的路程，利用線段的和差關(guān)系，進行求解即可；（3）分三種情況進行討論求解即可；故答案為：7；

(1)求a，b，c的長；(3)不存在，見解析【知識點】絕對值非負性、求一元一次不等式組的整數(shù)解、根據(jù)三角形中線求長度、等邊對等角【分析】（1）根據(jù)二元一次方程組的解法得出a，b的值，再利用不等式組的解法得出x的取值范圍，進而得出c的值；（3）分別根據(jù)AE平分三角形ABC的周長和平分面積時不能同時符合要求進而得出答案．（3）不存在．(1)直接寫出點C，D的坐標：C______，D______；【知識點】利用算術(shù)平方根的非負性解題、與三角形的高有關(guān)的計算問題、由平移方式確定點的坐標【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到m，n之間滿足的關(guān)系．將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，得到線段，

【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題、等邊三角形的性質(zhì)、折疊問題、解直角三角形的相關(guān)計算

【答案】8【知識點】利用平行線間距離解決問題、與三角形的高有關(guān)的計算問題【詳解】解：連接，故答案為：8，．(2)用含的代數(shù)式表示的長．【答案】(1)【知識點】動點問題（一元一次方程的應用）、列代數(shù)式、與三角形的高有關(guān)的計算問題【分析】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應用，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；故答案為：．∵點速度為每秒2個單位長度，【課堂檢測】（建議時間：40分鐘）一、單選題A． B． C． D．【答案】C【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了三角形高的定義，邊上的高是過點B向作垂線，垂足為E，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由三角形高的定義可知，只有C選項中的圖形是畫出邊上的高，故選：C．2．（2122全國·單元測試）三角形的三條高、三條角平分線、三條中線都分別相交于一點，且交點一定在三角形內(nèi)部的是（

）A．角平分線、高 B．中線、高C．角平分線、中線 D．以上都不對【答案】C【知識點】垂心、重心的概念、三角形角平分線的定義【分析】根據(jù)三角形的三條高、三條角平分線、三條中線交點的位置，即可進行解答．【詳解】解：銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)部，直角三角形的三條高的交點在斜邊上，鈍角三角形的三條高的交點在三角形外部；三角形三條角平分線的交點在三角形內(nèi)部；三角形三條中線的交點在三角形內(nèi)部；故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的三心位置，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)部，直角三角形的三條高的交點在斜邊上，鈍角三角形的三條高的交點在三角形外部；三角形三條角平分線的交點在三角形內(nèi)部；三角形三條中線的交點在三角形內(nèi)部．A．2 B．19 C．2或19 D．2或12【答案】D【知識點】根據(jù)三角形中線求長度綜上：的長為2或12，故選：D

A．只有①正確 B．只有②正確 C．①和②都正確 D．①和②都不正確【答案】A【知識點】根據(jù)三角形中線求長度、角平分線的性質(zhì)定理、角平分線的判定定理則E是是中點，而O不一定是的中點，故②錯誤．故選：A．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【知識點】畫三角形的高、根據(jù)三角形中線求長度、折疊問題、三角形角平分線的定義【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，涉及到圖形的翻折變換，三角形的角平分線、中線以及高線，掌握三角形的角平分線、中線以及高線的幾何意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．【詳解】解：①折疊使點與點重合，則：對折點即為的中點，則即為邊上的中線；②折疊使和重合，則：折痕即為的平分線；③折疊使和重合，則：折痕即為邊上的高；故選D．A．

B．

C．

D．

【答案】D【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了三角形的高線的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫