數(shù)學(xué)等差數(shù)列例題詳解在數(shù)學(xué)的世界里，數(shù)列如同一條蜿蜒的河流，串聯(lián)起無(wú)數(shù)數(shù)字的奧秘。其中，等差數(shù)列以其均勻的節(jié)奏和明確的規(guī)律，成為我們探索數(shù)列性質(zhì)、解決實(shí)際問(wèn)題的重要基石。掌握等差數(shù)列，不僅能夠鍛煉我們的邏輯思維能力，更能為后續(xù)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鋪平道路。本文將通過(guò)一系列典型例題，由淺入深地剖析等差數(shù)列的核心知識(shí)點(diǎn)與解題技巧，助力讀者真正理解并靈活運(yùn)用這一基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。一、等差數(shù)列的核心概念與公式回顧在深入例題之前，我們先來(lái)重溫一下等差數(shù)列的核心定義與基本公式，這是解決所有問(wèn)題的“金鑰匙”。*定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母\(d\)表示。即對(duì)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，若\(a_{n}-a_{n-1}=d\)（\(n\geq2\)，\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)為等差數(shù)列。*通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的第\(n\)項(xiàng)\(a_n\)可以表示為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(a_1\)為首項(xiàng)，\(d\)為公差。*前\(n\)項(xiàng)和公式：等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)的和\(S_n\)有兩個(gè)常用公式：1.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)（已知首項(xiàng)和末項(xiàng)時(shí)常用）2.\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)（已知首項(xiàng)和公差時(shí)常用）*等差中項(xiàng)：若\(a\)，\(A\)，\(b\)成等差數(shù)列，則\(A\)叫做\(a\)與\(b\)的等差中項(xiàng)，且\(A=\frac{a+b}{2}\)。在等差數(shù)列中，任意連續(xù)三項(xiàng)也滿足類似關(guān)系，即\(a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\)。這些基本概念和公式是我們解題的出發(fā)點(diǎn)，務(wù)必熟練掌握，靈活運(yùn)用。二、典型例題詳解與分析例題一：基本量的計(jì)算與驗(yàn)證題目：已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1=3\)，公差\(d=2\)。（1）求該數(shù)列的第5項(xiàng)\(a_5\)和第10項(xiàng)\(a_{10}\)。（2）判斷數(shù)字21是否為該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，求出它是第幾項(xiàng)。分析與解答：（1）這道題直接考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。我們知道通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)。對(duì)于\(a_5\)，此時(shí)\(n=5\)，代入公式可得：\(a_5=a_1+(5-1)d=3+4\times2=3+8=11\)。同理，對(duì)于\(a_{10}\)，\(n=10\)：\(a_{10}=3+(10-1)\times2=3+18=21\)。所以，該數(shù)列的第5項(xiàng)是11，第10項(xiàng)是21。（2）要判斷21是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，我們可以假設(shè)它是第\(n\)項(xiàng)，然后利用通項(xiàng)公式列方程求解\(n\)。若\(n\)為正整數(shù)，則21是該數(shù)列的項(xiàng)，否則不是。令\(a_n=21\)，即\(3+(n-1)\times2=21\)。解方程：\((n-1)\times2=21-3=18\)，則\(n-1=9\)，所以\(n=10\)。\(n=10\)是正整數(shù)，因此21是該數(shù)列的第10項(xiàng)，這也與我們第一問(wèn)計(jì)算的\(a_{10}\)結(jié)果一致。小結(jié)：本題主要考查對(duì)通項(xiàng)公式的直接應(yīng)用。對(duì)于這類已知基本量（首項(xiàng)、公差）求指定項(xiàng)，或判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)并求其項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題，通項(xiàng)公式是核心工具。關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別已知量和未知量，建立方程求解。例題二：利用等差中項(xiàng)性質(zhì)解題題目：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，已知\(a_3=7\)，\(a_7=15\)，求\(a_5\)的值。分析與解答：拿到這道題，我們有幾種思路。思路一：常規(guī)方法，利用通項(xiàng)公式。設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為\(a_1\)，公差為\(d\)。根據(jù)\(a_3=7\)，可得\(a_1+2d=7\)...(1)根據(jù)\(a_7=15\)，可得\(a_1+6d=15\)...(2)用方程(2)減去方程(1)：\((a_1+6d)-(a_1+2d)=15-7\)即\(4d=8\)，解得\(d=2\)。將\(d=2\)代入方程(1)：\(a_1+2\times2=7\)，解得\(a_1=3\)。那么\(a_5=a_1+4d=3+4\times2=3+8=11\)。思路二：利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)。在等差數(shù)列中，\(a_3\)，\(a_5\)，\(a_7\)也構(gòu)成等差數(shù)列（因?yàn)樗鼈冎g的間隔相等），所以\(a_5\)是\(a_3\)和\(a_7\)的等差中項(xiàng)。因此，\(a_5=\frac{a_3+a_7}{2}=\frac{7+15}{2}=\frac{22}{2}=11\)。小結(jié)：顯然，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)解題更為快捷。這提示我們，在解題時(shí)不僅要掌握基本公式，還要善于運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，如“若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)”（更一般的推廣）以及本題中連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差中項(xiàng)關(guān)系，往往能起到事半功倍的效果。例題三：前\(n\)項(xiàng)和公式的應(yīng)用與變形題目：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_1=1\)，公差\(d=3\)，求\(S_{10}\)；若另一個(gè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前10項(xiàng)和為140，其中首項(xiàng)\(b_1=4\)，求其公差\(k\)。分析與解答：第一部分：求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的\(S_{10}\)。已知\(a_1=1\)，\(d=3\)，\(n=10\)。我們可以使用前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。代入得：\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times9}{2}\times3=10+45\times3=10+135=145\)?；蛘撸覀円部梢韵惹蟪鯸(a_{10}=a_1+9d=1+27=28\)，再用公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，即\(S_{10}=\frac{10\times(1+28)}{2}=5\times29=145\)。兩種方法結(jié)果一致。第二部分：求等差數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的公差\(k\)。已知\(S_{10}=140\)，\(b_1=4\)，\(n=10\)，求\(k\)。同樣使用公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)（這里的\(d\)即題目中的\(k\)）。代入已知量：\(140=10\times4+\frac{10\times9}{2}\timesk\)化簡(jiǎn)：\(140=40+45k\)移項(xiàng)：\(45k=140-40=100\)解得：\(k=\frac{100}{45}=\frac{20}{9}\approx2.22\)（這里保留分?jǐn)?shù)形式更精確）。小結(jié)：前\(n\)項(xiàng)和公式有兩個(gè)形式，應(yīng)用時(shí)要根據(jù)已知條件靈活選擇。公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)適用于已知首項(xiàng)和末項(xiàng)的情況，而\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)則適用于已知首項(xiàng)和公差的情況。在求解未知量時(shí)，關(guān)鍵是正確代入公式，建立關(guān)于未知量的方程并求解。例題四：等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用題目：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_5=25\)，且\(a_2+a_5=12\)，求數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1\)和公差\(d\)。分析與解答：本題給出了兩個(gè)條件，要求出兩個(gè)未知量\(a_1\)和\(d\)，我們可以考慮聯(lián)立方程組求解。首先，\(S_5=25\)。根據(jù)前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得：\(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)，化簡(jiǎn)得：\(5a_1+10d=25\)，兩邊同時(shí)除以5：\(a_1+2d=5\)...(A)其次，\(a_2+a_5=12\)。我們可以將\(a_2\)和\(a_5\)都用\(a_1\)和\(d\)表示：\(a_2=a_1+d\)，\(a_5=a_1+4d\)。所以，\((a_1+d)+(a_1+4d)=12\)，化簡(jiǎn)得：\(2a_1+5d=12\)...(B)現(xiàn)在我們有了方程組：(A)\(a_1+2d=5\)(B)\(2a_1+5d=12\)我們可以用代入法或消元法求解。這里用消元法，將(A)式兩邊乘以2：\(2a_1+4d=10\)...(A')用(B)式減去(A')式：\((2a_1+5d)-(2a_1+4d)=12-10\)即\(d=2\)。將\(d=2\)代入(A)式：\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=5-4=1\)。所以，數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1=1\)，公差\(d=2\)。另外，我們也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算：在等差數(shù)列中，前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，當(dāng)\(n\)為奇數(shù)時(shí)，\(S_n=n\timesa_{\frac{n+1}{2}}\)（因?yàn)橹虚g項(xiàng)是這\(n\)項(xiàng)的等差中項(xiàng)）。對(duì)于\(S_5=25\)，\(n=5\)是奇數(shù)，所以\(S_5=5\timesa_3=25\)，因此\(a_3=5\)。而\(a_3=a_1+2d\)，這其實(shí)就是我們之前得到的方程(A)。這種方法能更快地得到一個(gè)方程。再結(jié)合\(a_2+a_5=12\)。在等差數(shù)列中，\(a_2+a_5=a_3+a_4\)（因?yàn)閈(2+5=3+4\)，根據(jù)性質(zhì)\(a_m+a_n=a_p+a_q\)當(dāng)\(m+n=p+q\)）。已知\(a_3=5\)，則\(5+a_4=12\)，所以\(a_4=7\)。那么公差\(d=a_4-a_3=7-5=2\)。再由\(a_3=a_1+2d=5\)，可得\(a_1=5-2d=5-4=1\)。這種方法利用性質(zhì)，計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)便。小結(jié)：靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，如“若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)”以及“前奇數(shù)項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)”等，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。在解題時(shí)，應(yīng)多觀察，多思考，嘗試運(yùn)用不同的性質(zhì)來(lái)優(yōu)化解法。例題五：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題題目：某劇院有若干排座位，第一排有20個(gè)座位，往后每一排都比前一排多2個(gè)座位。已知最后一排有58個(gè)座位，問(wèn)：（1）這個(gè)劇院一共有多少排座位？（2）這個(gè)劇院一共有多少個(gè)座位？分析與解答：這是一個(gè)等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題。我們首先需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。每一排的座位數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，第一排\(a_1=20\)，公差\(d=2\)（因?yàn)槊恳慌疟惹耙慌哦?個(gè)座位），最后一排即末項(xiàng)\(a_n=58\)。（1）求排數(shù)\(n