陽江三中2025--2026學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)考試高二數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前在答題卡上填寫好自己的姓名、班級、考號、座位號等信息；2．請將答案正確填寫在答題卡上。2試卷第2頁，共6頁A．4B．-4C．1y=[x]稱為高斯函數(shù).例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函數(shù)fg(x)=[f(x)]，則下列敘述中A．g(x)是偶函數(shù)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在R上是增函數(shù)D．g(x)的值域是{-1,0,1}試卷第4頁，共6頁(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若x時，f(x)的最小值為4，求m的值．(1)計算樣本的平均數(shù)x和方差s2；18(17分)．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，M，N分別是PA，PB的中點(diǎn)．(1)求證：MN//平面ABCD；(2)求證：CD丄平面PAD；(3)求直線PC與平面PAD所成角的正弦值．試卷第6頁，共6頁xy小值.陽江三中2025--2026學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)考試高二數(shù)學(xué)試題解析版2025年9月12日一、單選題【答案】D【詳解】因為集合B是所有非正整數(shù)組成的集合，所以A∩B={-1,0}．2．已知f(x)=ax2+bx是定義在[2a-3,4a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是()【答案】D【詳解】因為f(x)=ax2+bx是定義在[2a-3,4a]上的偶函數(shù)，所以2a-3+4a=0，解得a=，所以定義域為[-2,2]又f(-x)=f(x)，所以a(-x)2+b(-x)=ax2+bx，所以2bx=0，又x∈[-2,2]，所以b=0，所以3．若復(fù)數(shù)z（i為虛數(shù)單位則z=()【答案】B【詳解】由3-4i=(323225．已知3sinx-4cosx=0，則cos2x=()【答案】A【詳解】因為3sinx-4cosx=0，且sin2x+cos2x=1，所以cos2x+cos2x=1，cos2x，則A．4B．-4C．1試卷第2頁，共6頁7．一組不全相等的數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn(n≥4)，去掉一個最大值，則下列數(shù)字特征一定改變的是()A．極差B．中位數(shù)C．平均數(shù)D．眾數(shù)【答案】C【詳解】A，由題意，去掉一個最大值后，剩下的數(shù)據(jù)中可能有數(shù)據(jù)等于原來的最大值，此時極差不變，A錯誤；B，中位數(shù)不一定改變，如原數(shù)據(jù)為1，2，2，3，中位數(shù)為2，去掉3后，數(shù)據(jù)為1，2，2，中位數(shù)還是2，B錯誤；C，設(shè)原平均數(shù)為S=，假設(shè)去掉最大值xn后平均數(shù)不變，則S，所以S解得S=xn，由原數(shù)據(jù)不全相等，可得S<xn，矛盾，所以平均數(shù)一定改變，C正確；D，眾數(shù)不一定改變，如數(shù)據(jù)為2，2，3，4，眾數(shù)為2，去掉4后，眾數(shù)仍為2，D錯誤．8．已知α,β為銳角，且sin則tanβ的最大值.sinα=，:cosαsinα=(sin2α+2)tanβ,Qα為銳角，:tanα>0，:tan1，當(dāng)且僅當(dāng)3tanα=，即tanα=tanα?xí)r取等號，:tanβ最大值為．二、多選題A．若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則z=0B．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則m=±2C．當(dāng)m=1時，|z|=·、/10D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限【答案】ACD【詳解】對于A，依題意可得m一2=0，即m=2，則z=0，故A正確；10．已知一組數(shù)據(jù)如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，則()A．這組數(shù)據(jù)的極差為4B．這組數(shù)據(jù)的方差為2C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于平均數(shù)D．這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為2025【答案】ACD【詳解】A：由數(shù)據(jù)知，極差為2026一2022=4，對；B：平均數(shù)為=2024，則方差6s2C：眾數(shù)為2024，即與平均數(shù)相等，對；D：由6×70%=4.2，則數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為2025，對.11．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù).例如：[3.5]=4，[2.1]=2.已知函數(shù)f，g(x)=[f(x)]，則下列敘述中正確的是()A．g(x)是偶函數(shù)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在R上是增函數(shù)D．g(x)的值域是{—1,0,1}【答案】BC【詳解】依題意，函數(shù)f的定義域為R，對于A，gg(1)≠g(—1)，函數(shù)g(x)不是偶函數(shù)，A錯；對于B，f則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，B正確；對于C，函數(shù)y=1+2x在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)f在R上是增函數(shù)，C正確；三、填空題12．已知圓柱的底面直徑與球的半徑均為2，且圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，則圓柱的母線長【答案】8【詳解】設(shè)圓柱的母線長為l，則圓柱的側(cè)面積為2πrl=2πl(wèi)，314．已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在體積為36π的球面上，正三棱錐體積最大時，該正三棱錐的高為【答案】4【詳解】根據(jù)題意可得，正三棱錐的外接球的半徑R=3，設(shè)正三棱錐的底面邊長為2、a，高為h，則正三角形的外接圓的半徑為2a，所以(2a)2+(h—R)2=R2，即4a2+(h—3)2=9，所以4a2222h2h所以當(dāng)正三棱錐體積最大時，該正三棱錐的高為4.四、解答題試卷第4頁，共6頁(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若x∈「|L0,|時，f(x)的最小值為4，求m的值．2π∴T==π.........................................................................................................................................................................4分；2π2由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ-≤:函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為「|Lkπ-,kπ+|(k∈Z)．.........................................................................................................7分；,16(15分)．某制藥廠生產(chǎn)一種治療流感的藥物，該藥品有效成分的標(biāo)準(zhǔn)含量為10mg/片．由于升級了生產(chǎn)工藝，需檢驗采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了生產(chǎn)的10片藥品作為樣本，測得其有效成分含量如下：(1)計算樣本的平均數(shù)x和方差s2； 2(2)判斷采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分是否達(dá)標(biāo)（若|x-10|>3.25s，則認(rèn)為采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分不達(dá)標(biāo)；反之認(rèn)為達(dá)標(biāo)【詳解】（1）x==9.9，...............................................s2=0.04.................................................................7分；（2）因為|x-10|2=0.12=0.01，.................10分.....................................13分；2所以x-10<3.25·,故采用新工藝生產(chǎn)的藥品的有效成分達(dá)標(biāo)．.........................................................................15分.217(15分)．記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且asinC=c(1+cosA).(1)求A；(2)若a=2,△ABC的周長為6，求VABC的面積.即sin(|(A-),=...................................................................................................................................................................6分；因為A∈(0,π)，所以A=....................................................................................................................................................7分；（2）由（1）得A=.由a=2,△ABC的周長為6，得b+c=4.......................................................................................9分；由cosA..................................................................................................................................................11分；，........................................................................................................................13分；故bc=4，所以S△ABCbcsinA...........................................................................................................15分.18(17分)．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，M，N分別是PA，PB的中點(diǎn)．(1)求證：MN//平面ABCD；(2)求證：CD丄平面PAD；(3)求直線PC與平面PAD所成角的正弦值．【詳解】（1）在△PAB中，M，N分別是PA，PB的中點(diǎn)，:MN//AB，................................................................................................................2分；又MN丈平面ABCD，AB平面ABCD，:MN//平面ABCD．......................4分；（2）四邊形ABCD是正方形，:AD丄CD，......................................................5分；又PA丄平面ABCD，CD平面ABCD，:PA丄CD，............................6分；又PA∩AD=A，且PA,AD平面PAD，...........................................................9分；（3）由（2）知，CD丄平面PAD，:PD為斜線PC在平面PAD上的射影，上CPD為直線PC與平面PAD所成的角．.....................................................................12分；:PC=·\=·、，....................................................................