高等代數(shù)大一真題及答案

一、單項選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則下列一定成立的是（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(A+B=0\)C.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)D.\(|A|+|B|=0\)答案：C2.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_2+\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)答案：C3.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^{-1}\)的一個特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(\lambda^{-2}\)答案：B4.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.\(A\)的行向量組線性相關(guān)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)答案：C5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)相等答案：D6.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則下列說法正確的是（）A.\(A\)中所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為零B.\(A\)中至少有一個\(r+1\)階子式不為零C.\(A\)中所有\(zhòng)(r\)階子式全不為零D.\(A\)中至少有一個\(r-1\)階子式不為零答案：A7.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，\(B=P^TAP\)，則（）A.\(A\)與\(B\)合同但不相似B.\(A\)與\(B\)相似但不合同C.\(A\)與\(B\)既合同又相似D.\(A\)與\(B\)既不合同也不相似答案：A8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(E\)為\(n\)階單位矩陣，若\(A^2-A-2E=0\)，則\(A^{-1}\)等于（）A.\(\frac{1}{2}(A-E)\)B.\(\frac{1}{2}(A+E)\)C.\(A-E\)D.\(A+E\)答案：B9.已知向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,4)^T\)，\(\alpha_3=(3,4,5)^T\)，則該向量組的秩為（）A.1B.2C.3D.0答案：B10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應(yīng)成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)答案：B二、多項選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列命題正確的是（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\(|AB|=|A||B|\)C.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)D.若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)答案：AB2.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則（）A.該向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.該向量組中任何一個向量都可由其余向量線性表示C.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.該向量組的秩小于\(s\)答案：ACD3.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.對于任意非零常數(shù)\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的特征向量D.\(\lambda\)一定是實數(shù)答案：ABC4.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，線性方程組\(Ax=b\)有解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(A\)的行向量組可由\((A|b)\)的行向量組線性表示C.\(b\)可由\(A\)的列向量組線性表示D.\(r(A)=n\)答案：AC5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)合同，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的秩B.\(A\)與\(B\)有相同的正慣性指數(shù)C.\(A\)與\(B\)有相同的負(fù)慣性指數(shù)D.\(A\)與\(B\)相似答案：ABC6.下列關(guān)于矩陣的初等變換的說法正確的是（）A.矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩B.矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩C.任何矩陣都可通過初等行變換化為行最簡形矩陣D.任何可逆矩陣都可通過初等行變換化為單位矩陣答案：ABCD7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)滿足\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值只能是0或1B.\(A\)一定可對角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.\(A\)是對稱矩陣答案：AC8.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，向量組\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)，則（）A.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線性無關(guān)B.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線性相關(guān)C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)與向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)等價D.向量組\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)的秩為3答案：ACD9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆B.若\(|A|=0\)，則\(|A^|=0\)C.\(AA^=|A|E\)D.\((A^)^T=(A^T)^\)答案：ABCD10.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，下列結(jié)論正確的是（）A.\(A\)的特征值都是實數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣D.\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交答案：ABCD三、判斷題1.若矩陣\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)一定相似。（×）2.向量組中向量的個數(shù)越多，向量組的秩越大。（×）3.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（√）4.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(|A|=0\)。（×）5.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中存在\(r\)個線性無關(guān)的行向量和\(r\)個線性無關(guān)的列向量。（√）6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)可對角化，則\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值。（×）7.兩個\(n\)階實對稱矩陣合同的充要條件是它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)。（√）8.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)線性無關(guān)，則向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)也線性無關(guān)。（×）9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則對于任意常數(shù)\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的特征向量。（×）10.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=E\)，則\(A\)的特征值只能是1和-1。（√）四、簡答題1.簡述矩陣可逆的定義及判斷\(n\)階方陣\(A\)可逆的方法。答：對于\(n\)階方陣\(A\)，若存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，則稱\(A\)可逆，\(B\)為\(A\)的逆矩陣。判斷\(n\)階方陣\(A\)可逆的方法有：\(|A|\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可通過初等行變換化為單位矩陣；\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)等。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義，并舉例說明。答：向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)是指存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。線性無關(guān)是指只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立。例如向量組\(\alpha_1=(1,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1)^T\)線性無關(guān)，而向量組\(\beta_1=(1,2)^T\)，\(\beta_2=(2,4)^T\)線性相關(guān)，因為\(2\beta_1-\beta_2=0\)。3.簡述矩陣的秩的定義及求矩陣秩的方法。答：矩陣\(A\)的秩是指\(A\)中不為零的子式的最高階數(shù)，記為\(r(A)\)。求矩陣秩的方法有：通過初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩；計算矩陣的各階子式，找出不為零的子式的最高階數(shù)。4.簡述實對稱矩陣的性質(zhì)。答：實對稱矩陣具有以下性質(zhì)：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交；實對稱矩陣一定可對角化，即存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣；實對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于其正（負(fù)）特征值的個數(shù)。五、討論題1.討論線性方程組\(Ax=b\)的解的情況，并說明如何判斷。答：線性方程組\(Ax=b\)的解有三種情況：無解、有唯一解、有無窮多解。判斷方法如下：設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\((A|b)\)是增廣矩陣。若\(r(A)\neqr(A|b)\)，則方程組無解；若\(r(A)=r(A|b)=n\)，則方程組有唯一解；若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無窮多解。例如，對于方程組\(\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\end{cases}\)，\(r(A)=1\)，\(r(A|b)=2\)，無解；對于\(\begin{cases}x+y=1\\x-y=0\end{cases}\)，\(r(A)=r(A|b)=2\)，有唯一解；對于\(\begin{cases}x+y+z=1\\x+y+z=1\end{cases}\)，\(r(A)=r(A|b)=1\lt3\)，有無窮多解。2.討論矩陣相似的定義、性質(zhì)及相似對角化的條件。答