2025年四川卷數(shù)學(xué)試卷及答案

一、單項選擇題1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<5,x\inN\}\)，則\(A\cupB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{0,1,2,3,4\}\)D.\(\varnothing\)答案：B2.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)答案：A3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(-4\)B.\(4\)C.\(-1\)D.\(1\)答案：A4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則\(a_7\)等于（）A.\(11\)B.\(12\)C.\(13\)D.\(14\)答案：C5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B6.直線\(3x+4y-12=0\)與圓\(x^2+y^2=9\)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定答案：A7.一個正方體的棱長為\(2\)，則該正方體的外接球的表面積為（）A.\(4\pi\)B.\(8\pi\)C.\(12\pi\)D.\(16\pi\)答案：C8.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(0)=0\)，\(f^\prime(0)=1\)，則\(b\)的值為（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)答案：C9.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_20.3\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關(guān)系是（）A.\(a>b>c\)B.\(a>c>b\)C.\(b>a>c\)D.\(b>c>a\)答案：A10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加某項活動，則至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法種數(shù)為（）A.\(20\)B.\(30\)C.\(46\)D.\(60\)答案：C二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)D.\(y=2^x+2^{-x}\)答案：ABD2.已知直線\(l_1:ax+2y+6=0\)，\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)\(a=-1\)時，\(l_1\)與\(l_2\)平行B.當(dāng)\(a=2\)時，\(l_1\)與\(l_2\)重合C.當(dāng)\(a=1\)時，\(l_1\)與\(l_2\)相交D.當(dāng)\(a\neq-1\)且\(a\neq2\)時，\(l_1\)與\(l_2\)相交答案：ACD3.對于雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)，以下說法正確的是（）A.實(shí)軸長為\(6\)B.虛軸長為\(8\)C.離心率為\(\frac{5}{3}\)D.漸近線方程為\(y=\pm\frac{4}{3}x\)答案：ABCD4.已知\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，則下列說法正確的是（）A.若\(a_1>0\)，\(0<q<1\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是遞減數(shù)列B.若\(a_1<0\)，\(-1<q<0\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是遞增數(shù)列C.若\(q>1\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是遞增數(shù)列D.若\(a_1<0\)，\(q<-1\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是遞增數(shù)列答案：AB5.以下關(guān)于概率的說法正確的是（）A.必然事件的概率為\(1\)B.不可能事件的概率為\(0\)C.若\(A\)，\(B\)為互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)D.若\(A\)，\(B\)為對立事件，則\(P(A)+P(B)=1\)答案：ABCD6.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}\)，則（）A.\(z=x+2y\)的最大值為\(8\)B.\(z=x+2y\)的最小值為\(4\)C.\(z=3x-y\)的最大值為\(4\)D.\(z=3x-y\)的最小值為\(-2\)答案：ABD7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實(shí)數(shù)，下列不等式成立的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+\frac{1}{a}\geq2\)（\(a>0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a>0\)，\(b>0\)）D.\((a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)\)答案：ACD8.已知函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)（\(-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}\)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((0,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，則（）A.\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)B.函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)的最小正周期為\(\pi\)C.函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增D.函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)圖象的一條對稱軸方程為\(x=\frac{\pi}{6}\)答案：ABC9.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且當(dāng)\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-3x\)，則（）A.\(f(-1)=2\)B.當(dāng)\(x<0\)時，\(f(x)=-x^2-3x\)C.函數(shù)\(f(x)\)的零點(diǎn)有\(zhòng)(3\)個D.\(f(x)\)在\((-\infty,-\frac{3}{2})\)上單調(diào)遞減答案：ACD10.已知\(a\)，\(b\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)答案：ABCD三、判斷題1.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)。（×）2.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（√）3.直線\(x=1\)的斜率不存在。（√）4.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（×）5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和公式為\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（√）6.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上一定是增函數(shù)。（×）7.若\(x^2+y^2=r^2\)（\(r>0\)），則圓心坐標(biāo)為\((0,0)\)，半徑為\(r\)。（√）8.對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，\(\cos^2x+\sin^2x=1\)。（√）9.若\(A\)，\(B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（√）10.函數(shù)\(y=2x^3-3x^2+1\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=6x^2-6x\)。（√）四、簡答題1.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，求\(f(x)\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值和最小值。首先將函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)進(jìn)行配方，可得\(f(x)=(x-1)^2+2\)。此函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。當(dāng)\(x=1\)時，\(f(x)\)取得最小值\(f(1)=2\)。當(dāng)\(x=3\)時，\(f(3)=3^2-2\times3+3=6\)；當(dāng)\(x=0\)時，\(f(0)=3\)，比較\(6\)和\(3\)，可知最大值為\(6\)。2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+n\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=1^2+1=2\)。當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]\)，展開化簡得\(a_n=2n\)。當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=2\)也滿足\(a_n=2n\)。所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=2n\)。3.已知直線\(l\)過點(diǎn)\((2,-1)\)，且與直線\(2x-3y+4=0\)平行，求直線\(l\)的方程。因為直線\(l\)與直線\(2x-3y+4=0\)平行，所以直線\(l\)的斜率與已知直線斜率相等。直線\(2x-3y+4=0\)可化為\(y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\)，其斜率為\(\frac{2}{3}\)。由點(diǎn)斜式可得直線\(l\)的方程為\(y-(-1)=\frac{2}{3}(x-2)\)，整理得\(2x-3y-7=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos2\alpha\)的值。根據(jù)二倍角余弦公式\(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\)。已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，將其代入公式可得\(\cos2\alpha=1-2\times(\frac{1}{3})^2=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性和極值。對函數(shù)\(y=x^3-3x\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x<-1\)或\(x>1\)時，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1<x<1\)時，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。所以當(dāng)\(x=-1\)時，函數(shù)取得極大值\(y=(-1)^3-3\times(-1)=2\)；當(dāng)\(x=1\)時，函數(shù)取得極小值\(y=1^3-3\times1=-2\)。2.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(\cosA=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)，討論如何求\(\sinB\)的值