江蘇省南京市2025~2026學年上學期9月份第一次月考九年級數(shù)學試題一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．下列方程是一元二次方程的是（

）A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．12．如圖，在等腰直角三角形中，直角邊長是2，若將此三角形繞直角頂點C順時針旋轉，那么斜邊掃過的面積為（

）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，，，△ABC的內(nèi)心、外心分別為點、點，且有，則的長度為（

）A．8 B．6 C． D．4．如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，點P在邊CD上，過點P作PQ∥ED交EF于點Q，連接BQ，且滿足∠BPC＝∠BQP．設四邊形PQED、四邊形AFQB和△BCP的面積分別為S1、S2、S3，則正六邊形ABCDEF的面積為（

）A．S1+2S2+2S3 B．S1+2S2+52S3 C．S1+2S2+3S3D．2S1+S2+25．關于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的兩個根x1，x2滿足x1＝2x2+3，且x1＞x2，則m的值為（）A．﹣3 B．1 C．3 D．96．如圖，AB為⊙O直徑，C為圓上一點，I為△ABC內(nèi)心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD＝4，則AC為（）A．1255 B．1655 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案直接填寫在答題卷相應位置上）7．設x1，x2是關于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），則k的值為．8．已知一次函數(shù)圖像與一圓心為，半徑為1的圓相切，則切點坐標為．9．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，則化簡bba+aa10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，I為△ABC的內(nèi)心，連接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，則AB的長為．11．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，I是△ABC的內(nèi)心．若∠BIC＝∠BOC，則∠BAC的度數(shù)是．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與邊BC，AC分別相切于點D，E，DE與BO的延長線交DE于點F，則∠BFD＝．13．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．若P為矩形內(nèi)一點，且∠BPC≤45°，則所有符合條件的點P形成的區(qū)域的面積是▲．14．如圖，用6個全等的三角形拼成一個內(nèi)外都是正六邊形的圖形，若AG＝5，BG＝3，則正六邊形GHIJKL的面積15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝23．⊙C的半徑長為1，P是△ABC邊上一動點（可以與頂點重合），并且點P到⊙C的切線長為m．若滿足條件的點P的位置有4個，則m的取值范圍是．16．如圖，在中，，點是邊上一點，且，點、分別是邊、上的動點，且始終滿足，連接，則線段的最小值為．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、說理過程或演算步驟）17．（6分）解下列方程：（1）（3x+1）2＝9（2x+3）2；18．（6分）解下列方程：（2）y（y﹣2）＝3y2﹣1．19．（6分）（1）若關于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，求p的取值范圍；（2）關于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結論中正確的是（）A．兩個正根B．兩個負根C．一個正根，一個負根D．無實數(shù)根20.（8分）如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P．（1）求證∠C＝2∠A；（2）若PC＝2OP，AP=5，則⊙O的半徑長為21．（8分）如圖，在一張四邊形的紙片中，，，，以點為圓心，為半徑的圓分別與交于點．（1）求證：與相切；（2）若用剪下的扇形圍成一個圓錐的側面，能否從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個圓作為這個圓錐的底面？22．（9分）如圖1，，是半圓上的兩點，若直徑上存在一點，滿足，則稱是的“幸運角”．（1）如圖2，是的直徑，弦，是上一點，連結交于點，連結，是的“幸運角”嗎？請說明理由；（2）在（1）的條件下，直徑，，的“幸運角”為，求CP的長．23．（9分）如圖，我區(qū)荷蘭花海景區(qū)東北角有一塊長為60米，寬為50米的矩形荒地，地方政府準備在此擴建一個新品種花卉觀光區(qū)，其中陰影部分為觀覽通道，通道的寬度均相等，中間的三個矩形（其中三個矩形的一邊長均為a米）區(qū)域將種植新品種花卉．（1）設觀覽通道的寬度為x米，則______（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若新品種花卉總占地面積為2430平方米．請求出觀覽通道的寬度為多少米？24．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的切線，且CD∥AB，連接AD交⊙O于點E．（1）求證AC＝BC；（2）連接BE，若BE為直徑，BC＝310，AE＝8，求⊙O的半徑．25．（9分）解題時，最容易想到的方法未必是最簡單的，你可以再想一想，盡量優(yōu)化解法．【例題呈現(xiàn)】關于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．【解法探討】（1）小明的思路如圖所示，請你按照他的思路解決這個問題：小明的思路：第1步把1，﹣2代入到第1個方程中求出m的值；第2步把m的值代入到第1個方程中求出?b第3步解第2個方程．（2）小紅仔細觀察兩個方程，她把第2個方程a（x+m+2）2+b＝0中的“x+2”看作第1個方程中的“x”，則“x+2”的值為，從而更簡單地解決了問題．【策略運用】（3）小明和小紅認真思考后發(fā)現(xiàn)，利用方程結構的特點，無需計算“根的判別式”就能輕松解決以下問題，請用他們說的方法完成解答．已知方程（2a2﹣4b2）x2+（4b2﹣4c2）x+4c2﹣2a2＝0有兩個相等的實數(shù)根，其中a、b、c是△ABC三邊的長，判斷△ABC的形狀．26．（11分）【習題再現(xiàn)】（教材（教材P74第10題）如圖①，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D．BD和ID相等嗎？為什么？（1）完成上面的證明；【逆向思考】（2）如圖②，I為△ABC內(nèi)一點，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D．若DB＝DI＝DC，求證：I為△ABC的內(nèi)心；【遷移運用】（3）如圖③，利用無刻度直尺和圓規(guī)，作出△ABC的內(nèi)心I．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．）（友情提醒，如完全用課本所學的方法做圖，本題最多得1分）27．（10分）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖2），這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d