16.1.2冪的乘方與積的乘方16.1冪的運(yùn)算1.理解冪的乘方與積的乘方的意義，掌握冪的乘方與積的乘方的性質(zhì).(重點(diǎn))2.會(huì)進(jìn)行冪的乘方與積的乘方的計(jì)算，在應(yīng)用冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)中，培養(yǎng)思維的靈活性.(難點(diǎn))3.經(jīng)歷冪的乘方與積的乘方推導(dǎo)過(guò)程，發(fā)展合情推理的意識(shí)．培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思維發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.

用六個(gè)邊長(zhǎng)為

102

的正方形木板，制作一個(gè)正方體木箱，那么這個(gè)木箱的體積是多少？102102＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)V正＝(邊長(zhǎng))3＝(102)3結(jié)果還能繼續(xù)計(jì)算嗎？根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法法則，你會(huì)計(jì)算

(102)3

嗎？(102)3=102

×102

×102=102+2+

2=102×3=106.

探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

探究：根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法填空，觀(guān)察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)(32)3

=

32×32×32=3（）；(2)(a2)3

=

a2·a2

·a2

=a（

）；(3)(am)3

=

am·am

·am=a（

）.663m冪的乘方，底數(shù)______，指數(shù)＿_(dá)_＿.猜想觀(guān)察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想嗎？?jī)绲某朔浇Y(jié)果的底數(shù)結(jié)果的指數(shù)指數(shù)的計(jì)算過(guò)程(102)3=106

106(32)3

=3636(a2)3

=a6a6(am)3

=

a3ma3m不變相乘6=2×33m=m×36=2×36=2×3探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

一般地，對(duì)于任意底數(shù)

a

與任意正整數(shù)

m，n.(am)n

=am·am·…·a

mn個(gè)

am=am+m+…+mn個(gè)

m=amn.【驗(yàn)證猜想】探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

【冪的乘方法則】運(yùn)算法則：文字說(shuō)明：(am)n

=amn

(m，n

都是正整數(shù)).冪的乘方，底數(shù)______，指數(shù)＿_(dá)_＿.不變相乘探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

(1)

(

103

)5

；

(2)

(

a4)4；

(3)

(

am

)2；

(4)

-(

x4)3.例1

計(jì)算：解：(1)(103)5

=103×5

=1015

；(2)(a4)4

=a4×4

=a16

；(3)(am)2

=am·2

=a2m

；(4)-(

x4)3

=-x4×3

=-x12.探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

(1)[(

22)2

]2

=_______=______；(

24)2

(2)[

(

3x)y]4

=_______=_______；(3xy)4

(3){[(m-

n)3]2}4

=___________=________.[

(m-

n)6]4

當(dāng)冪進(jìn)行三次或三次以上乘方運(yùn)算時(shí)，是否也具有這一性質(zhì)呢？a834xy

(m-

n)24看作整體探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

(1)公式

(am)n

=amn

中的底數(shù)

a

不僅可以代表數(shù)、單項(xiàng)式，還可以代表多項(xiàng)式等其他式子.(2)

[(am)n]p=am·

n·

p

(m，n，p都是正整數(shù)).探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

例2

已知5m＝3，5n＝2，求下列各式的值.(1)53m；(2)52n；(3)53m＋2n.解：(1)53m＝(5m)3＝33＝27.

(2)52n＝(5n)2＝22＝4.(3)53m＋2n＝53m×52n＝27×4＝108.

根據(jù)冪的乘方法則逆運(yùn)用，將所求式子變形為已知式子，然后整體代換計(jì)算求值.總結(jié)探究點(diǎn)一：冪的乘方運(yùn)算

問(wèn)題：計(jì)算下列各式.(1)(2×3)2=______；22×32=______；

(2)(2×5)3=______；23×53=______；(3)(3×5)2=______；32×52=______；363610001000225225觀(guān)察兩者有什么關(guān)系？探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

觀(guān)察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個(gè)等式：(1)(2×3)2=22×32

(2)(2×5)3=23×53

(3)(3×5)2=32×52

思考：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能證明這個(gè)猜測(cè)嗎？積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別_______，再把所得的冪________.乘方相乘猜想探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

一般地，對(duì)于任意底數(shù)

a，b

與任意正整數(shù)

n

，(ab)n

=(ab)·

(ab)·

…

·(ab)n個(gè)

(ab)=

(a·

a·

…

·a)·(b·

b·

…

·b)n個(gè)

a=

anbn.n個(gè)

b【驗(yàn)證猜想】探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別_______，再把所得的冪________.

【積的乘方法則】運(yùn)算法則：文字說(shuō)明：(ab)n=anbn

(n

為正整數(shù)).乘方相乘探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

()(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝

a2b2.()()問(wèn)題：填空，并想一想運(yùn)算過(guò)程用到哪些運(yùn)算律？運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律？(2)(ab)3＝

()＝

()＝

.

()乘方的意義乘法交換律、結(jié)合律同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)乘方的意義乘法交換律、結(jié)合律同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

(ab)·(ab)·(ab)(a·a·a)·(b·b·b)

a3b3例3計(jì)算：(1)(2a)3；(2)(-5b)3；

(3)(xy2)2

；(4)(-2x3y

)4.

解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式==8a3.=-125b3.

=x2y4.=16x12y4.23·a3(-5)3·b3x2·(y2)2(-2)4·(x3)4·y4探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

(4)(-xmy3m)2＝(-1)2x2my6m＝x2my6m.解：(1)(-4ab)3＝(-4)3a3b3＝-64a3b3.(2)-(3x2y)2＝-32x4y2＝-9x4y2.(3)(3×102)3＝(3)3×(102)3＝2.7×107.【練一練】1.計(jì)算：(1)(-4ab)3；

(2)-(3x2y)2；(3)(3×102)3；

(4)(-xny3m)2.探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

易錯(cuò)歸納：用積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，注意每個(gè)因式都要乘方，尤其是字母的系數(shù)不要漏乘方．2.計(jì)算下列各式：(1)(2x2)3

+

2x

·x5

-

(-3x)2·x4；

(2)-xy2·(xy2)2+

(-2x2)3；(3)(-a3b6)2+

(-a2b4)3.解析：涉及積的乘方的混合運(yùn)算，一般先算積的乘方，再算乘法，最后算加減并合并同類(lèi)項(xiàng).探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

(3)原式

=a6b12+(-a6b12)=0.(2)原式=-(xy2)3+(-8x6)=-x3y6

-

8x6.

解：(1)原式=8x6

+

2x6

-

9x2·x4

=10x6

-

9x6=x6.探究點(diǎn)二：積的乘方運(yùn)算

(1)(2x2)3

+

2x

·x5

-

(-3x)2·x4；

(2)-xy2·(xy2)2+

(-2x2)3；(3)(-a3b6)2+

(-a2b4)3.冪的運(yùn)算冪的乘方(am)n=amn

(m，n都是正整數(shù))[(am)n]p=

am·n·p(m，n，p都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)____，指數(shù)____不變相加(ab)n

=anbn

(n是正整數(shù))積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別_____，再把所得的冪______乘方相乘積的乘方1.

計(jì)算：(1)(x4)2；解：原式＝x＝

?.(2)(－a4)3；

解：(2)原式＝－a4×3＝－a12.(3)(－a3)4；解：(3)原式＝a3×4＝a12.(

)4×2x8

解：(2)原式＝－a4×3＝－a12.解