第4講專題強化：氣體實驗定律的綜合應用題型一“玻璃管液封”模型1．玻璃管液封模型求液柱封閉的氣體壓強時，一般以液柱為研究對象分析受力、列平衡方程，要注意：(1)液體因所受重力產生的壓強為p＝ρgh(其中h為液體的豎直高度)。(2)不要漏掉大氣壓強，同時又要盡可能平衡掉某些大氣的壓力。(3)靈活應用連通器原理——連通器內靜止的液體，同種液體在同一水平面上各處壓強相等。2．解題基本思路考向1“玻璃管液封”的單一氣體模型【典例1】如圖所示，一端封閉粗細均勻的U形導熱玻璃管豎直放置，封閉端空氣柱的長度L＝50cm，管兩側水銀面的高度差為h＝19cm，大氣壓強恒為76cmHg。T＝t＋273K。(1)若初始環(huán)境溫度為27℃，給封閉氣體緩慢加熱，當管兩側水銀面齊平時，求封閉氣體的溫度；(2)若保持環(huán)境溫度27℃不變，緩慢向開口端注入水銀，當管兩側水銀面平齊時，求注入水銀柱的長度x?！窘馕觥?1)封閉氣體初狀態(tài)的壓強p1＝p0－ph＝(76－19)cmHg＝57cmHg，設玻璃管的橫截面積為S，體積V1＝LS，溫度T1＝300K，封閉氣體末狀態(tài)壓強p2＝p0＝76cmHg，體積V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L＋\f(h,2)))S，對封閉氣體，由理想氣體的狀態(tài)方程得eq\f(p1V1,T1)＝eq\f(p2V2,T2)，代入數據解得T2＝476K，即溫度為203℃。(2)設當管兩側水銀齊平時空氣柱的長度為H，對氣體，由玻意耳定律得p1V1＝p2HS，代入數據解得H＝37.5cm，注入水銀柱的長度x＝2(L－H)＋h＝2×(50－37.5)cm＋19cm＝44cm。【答案】(1)203℃(2)44cm考向2“玻璃管液封”的關聯(lián)氣體模型【典例2】如圖所示，足夠長U形管豎直放置，左右兩側分別用水銀封有A、B兩部分氣體，氣柱及液柱長度如圖中標注所示。已知大氣壓強為p0＝76cmHg，L1＝6cm，h1＝4cm，h2＝32cm，管壁導熱良好，環(huán)境溫度為t1＝－3℃且保持不變。(1)若從右側緩慢抽出一部分水銀，使下方液柱左右液面相平，則需要從右側管中抽出多長的水銀？(2)若僅緩慢加熱A部分氣體，使下方液柱左右液面相平，則此時A部分氣體溫度為多少？(結果保留整數)【解析】(1)設抽出的水銀長度為Δh，設管的橫截面積為S，A部分氣體初始壓強為p1，水銀密度為ρ，則有p1＋ρgh1＝p0＋ρgh2，解得p1＝104cmHg；液面相平時，設A部分氣體壓強為p2，則有p2＝p0＋ρg(h2－Δh)，對A部分氣體，根據玻意耳定律可得p1L1S＝p2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L1＋\f(h1,2)))S，聯(lián)立解得Δh＝30cm。(2)若僅緩慢加熱A部分氣體，使下方液柱左右液面相平，根據理想氣體狀態(tài)方程有eq\f(p1L1S,T1)＝eq\f(p′2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L1＋\f(h1,2)))S,T2)，其中T1＝(－3＋273)K＝270K，p2′＝p0＋ρgh2＝108cmHg，解得T2≈374K，即溫度為101℃。【答案】(1)30cm(2)101℃1．如圖所示，頂部封閉、豎直放置的不對稱U形玻璃管中，左側A管的橫截面積是右側B管的2倍，管中充有水銀，A管和B管中水銀液面的高度相同，水銀液面上方的管中有壓強均為84cmHg的空氣，A管中空氣柱的長度為15cm，B管中空氣柱的長度為30cm。打開管底部的閥門K，緩慢放出部分水銀后再關閉K。已知放出部分水銀后B管中水銀面下降了5cm，在放出水銀的過程中溫度保持不變。求A管中水銀面下降的高度。解析：B管內氣體做等溫變化，則有pB0ShB＝pBS(hB＋ΔhB)，其中pB0＝84cmHg，hB＝30cm，ΔhB＝5cm，解得pB＝72cmHg，A管內氣體做等溫變化，則有pA0·2ShA＝pA·2S(hA＋ΔhA)，其中pA0＝84cmHg，hA＝15cm，裝置穩(wěn)定后有pA＋ρg(ΔhB－ΔhA)＝pB，聯(lián)立解得pA＝70cmHg，ΔhA＝3cm。答案：3cm2．(2023·全國乙卷)如圖所示，豎直放置的封閉玻璃管由管徑不同、長度均為20cm的A、B兩段細管組成，A管的內徑是B管的2倍，B管在上方。管內空氣被一段水銀柱隔開。水銀柱在兩管中的長度均為10cm?，F將玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管內的空氣柱長度改變1cm。求B管在上方時，玻璃管內兩部分氣體的壓強。(氣體溫度保持不變，以cmHg為壓強單位)解析：B管在上方時，設B管中氣體的壓強為pB，空氣柱長度lB＝10cm，則A管中氣體的壓強為pA＝pB＋20cmHg，空氣柱長度lA＝10cm，倒置后，A管在上方，設A管中氣體的壓強為pA′，空氣柱長度lA′＝11cm，已知A管的內徑是B管的2倍，則水銀柱長度為h＝9cm＋14cm＝23cm，則B管中氣體壓強為pB′＝pA′＋23cmHg，空氣柱長度lB′＝40cm－11cm－23cm＝6cm，對A管中氣體，由玻意耳定律有pAlASA＝p′Al′ASA，對B管中氣體，由玻意耳定律有pBlBSB＝p′Bl′BSB，聯(lián)立解得pB＝54.36cmHg，pA＝74.36cmHg。答案：74.36cmHg54.36cmHg題型二“汽缸活塞類”模型1．一般思路(1)確定研究對象。一般來說，研究對象分兩類：一類是熱學研究對象(一定質量的理想氣體)；另一類是力學研究對象(汽缸、活塞或某系統(tǒng))。(2)分析物理過程。對熱學研究對象分析清楚初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過程，依據氣體實驗定律列出方程；對力學研究對象要正確地進行受力分析，依據力學規(guī)律列出方程。(3)挖掘題目的隱含條件，如幾何關系等，列出輔助方程。(4)多個方程聯(lián)立求解，對求解的結果注意檢驗它們的合理性。2．常見類型(1)氣體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，需綜合應用氣體實驗定律和物體的平衡條件解題。(2)氣體系統(tǒng)處于力學非平衡狀態(tài)，需要綜合應用氣體實驗定律和牛頓運動定律解題。(3)兩個或多個汽缸封閉著幾部分氣體，并且汽缸之間相互關聯(lián)的問題，解答時應分別研究各部分氣體，找出它們各自遵循的規(guī)律，并寫出相應的方程，還要寫出各部分氣體之間壓強或體積的關系式，最后聯(lián)立求解?？枷?“汽缸活塞類”單一氣體問題【典例3】如圖所示，導熱性能良好的汽缸內封閉一定質量的理想氣體，其頂部有一固定卡環(huán)，卡環(huán)與汽缸底部的高度差為h，活塞與汽缸內壁無摩擦且氣密性良好，卡環(huán)對活塞有一定的壓力，活塞的質量為m、橫截面積為S，在活塞上放一質量為2m的重物，活塞向下移動eq\f(1,8)h，重力加速度為g，已知大氣壓強等于eq\f(6mg,S)，環(huán)境溫度為T0，求：(1)不加重物時，卡環(huán)對活塞的壓力大??；(2)若不加重物，使環(huán)境溫度緩慢降低，也使活塞下降eq\f(1,8)h，則降溫后的溫度為多少？【解析】(1)設不加重物時，汽缸內氣體壓強為p1，卡環(huán)對活塞的壓力為F，則eq\f(6mg,S)·S＋F＋mg＝p1S，解得p1＝eq\f(7mg＋F,S)，加重物后，設汽缸內氣體壓強為p2，則eq\f(6mg,S)·S＋3mg＝p2S，解得p2＝eq\f(9mg,S)，氣體發(fā)生等溫變化，根據玻意耳定律有p1hS＝p2×eq\f(7,8)hS，解得F＝eq\f(7,8)mg。(2)若不加重物，設環(huán)境溫度降為T時活塞下降eq\f(1,8)h，未降溫時，汽缸內氣體的壓強為p1＝eq\f(63mg,8S)，設降溫后汽缸內氣體的壓強為p3，則eq\f(6mg,S)·S＋mg＝p3S，解得p3＝eq\f(7mg,S)，根據理想氣體狀態(tài)方程有eq\f(p1hS,T0)＝eq\f(p3×\f(7,8)hS,T)，解得T＝eq\f(7,9)T0?！敬鸢浮?1)eq\f(7,8)mg(2)eq\f(7,9)T0考向2“汽缸活塞類”的關聯(lián)氣體模型【典例4】(2024·甘肅卷)如圖所示，剛性容器內壁光滑、盛有一定量的氣體，被隔板分成A、B兩部分，隔板與容器右側用一根輕質彈簧相連(忽略隔板厚度和彈簧體積)。容器橫截面積為S、長為2l。開始時系統(tǒng)處于平衡態(tài)，A、B體積均為Sl，壓強均為p0，彈簧為原長。現將B中氣體抽出一半，B的體積變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,4)。整個過程系統(tǒng)溫度保持不變，氣體視為理想氣體。求：(1)抽氣之后A、B的壓強pA、pB；(2)彈簧的勁度系數k?！窘馕觥?1)設抽氣前兩體積為V＝Sl，對氣體A分析，抽氣后體積為VA＝2V－eq\f(3,4)V＝eq\f(5,4)Sl，根據玻意耳定律得p0V＝pA·eq\f(5,4)V，解得pA＝eq\f(4,5)p0，對氣體B分析，若體積不變的情況下抽去一半的氣體，則壓強變?yōu)樵瓉淼囊话?，即eq\f(1,2)p0，則根據玻意耳定律得eq\f(1,2)p0V＝pBeq\f(3,4)V，解得pB＝eq\f(2,3)p0。(2)由題意可知，彈簧的壓縮量為eq\f(l,4)，對活塞受力分析有pAS＝pBS＋F，根據胡克定律得F＝keq\f(l,4)，聯(lián)立解得k＝eq\f(8p0S,15l)?！敬鸢浮?1)eq\f(4,5)p0eq\f(2,3)p0(2)eq\f(8p0S,15l)3．(2023·湖北卷)如圖所示，豎直放置在水平桌面上的左右兩汽缸粗細均勻，內壁光滑，橫截面積分別為S、2S，由體積可忽略的細管在底部連通。兩汽缸中各有一輕質活塞將一定質量的理想氣體封閉，左側汽缸底部與活塞用輕質細彈簧相連。初始時，兩汽缸內封閉氣柱的高度均為H，彈簧長度恰好為原長。現往右側活塞上表面緩慢添加一定質量的沙子，直至右側活塞下降eq\f(1,3)H，左側活塞上升eq\f(1,2)H。已知大氣壓強為p0，重力加速度大小為g，汽缸足夠長，汽缸內氣體溫度始終不變，彈簧始終在彈性限度內。求：(1)最終汽缸內氣體的壓強；(2)彈簧的勁度系數和添加的沙子質量。解析：(1)對左、右汽缸內所封閉的氣體，初態(tài)：壓強p1＝p0，體積V1＝SH＋2SH＝3SH；末態(tài)：壓強p2未知，體積V2＝S·eq\f(3,2)H＋eq\f(2,3)H·2S＝eq\f(17,6)SH；根據玻意耳定律可得p1V1＝p2V2，解得p2＝eq\f(18,17)p0。(2)對右側活塞受力分析可知mg＋p0·2S＝p2·2S，解得m＝eq\f(2p0S,17g)，對左側活塞受力分析可知p0S＋k·eq\f(1,2)H＝p2S，解得k＝eq\f(2p0S,17H)。答案：(1)eq\f(18,17)p0(2)eq\f(2p0S,17H)eq\f(2p0S,17g)4．(2024·廣東卷)差壓閥可控制氣體進行單向流動，廣泛應用于減震系統(tǒng)。如圖所示，A、B兩個導熱良好的汽缸通過差壓閥連接，A內輕質活塞的上方與大氣連通，B內氣體體積不變。當A內氣體壓強減去B內氣體壓強大于Δp時差壓閥打開，A內氣體緩慢進入B中；當該差值小于或等于Δp時差壓閥關閉。當環(huán)境溫度T1＝300K時，A內氣體體積VA1＝4.0×102m3，B內氣體壓強pB1等于大氣壓強p0，已知活塞的橫截面積S＝0.10m2，Δp＝0.11p0，p0＝1.0×105Pa，重力加速度g取10m/s2，A、B內的氣體可視為理想氣體，忽略活塞與汽缸間的摩擦，差壓閥與連接管內的氣體體積忽略不計。當環(huán)境溫度降到T2＝270K時：(1)求B內氣體壓強pB2；(2)求A內氣體體積VA2；(3)在活塞上緩慢倒入鐵砂，若B內氣體壓強回到p0并保持不變，求已倒入鐵砂的質量m。解析：(1)(2)假設溫度降低到T2時差壓閥沒有打開，A、B兩個汽缸導熱良好，B內氣體做等容變化，初態(tài)：pB1＝p0，T1＝300K；末態(tài)：T2＝270K。根據eq\f(pB1,T1)＝eq\f(pB2,T2)，代入數據可得pB2＝9×104Pa。A內氣體做等壓變化，壓強保持不變，初態(tài)：VA1＝4.0×102m3，T1＝300K；末態(tài)：T2＝270K。根據eq\f(VA1,T1)＝eq\f(VA2,T2)，代入數據可得VA2＝3.6×102m3。由于p0－pB2<Δp假設成立，即pB2＝9×104Pa。(3)恰好穩(wěn)定時，A內氣體壓強為pA′＝p0＋eq\f(mg,S)，B內氣體壓強pB′＝p0，此時差壓閥恰好關閉，所以有pA′－pB′＝Δp，代入數據聯(lián)立解得m＝1.1×102kg。答案：(1)9×104Pa(2)3.6×102m3(3)1.1×102kg課時作業(yè)751．(5分)(多選)(2024·河北卷)如圖所示，水平放置的密閉絕熱汽缸被導熱活塞分成左右兩部分，左側封閉一定質量的理想氣體，右側為真空，活塞與汽缸右壁中央用一根輕質彈簧水平連接。汽缸內壁光滑且水平長度大于彈簧自然長度，彈簧的形變始終在彈性限度內且體積忽略不計?；钊跏紩r靜止在汽缸正中間，后因活塞密封不嚴發(fā)生緩慢移動，活塞重新靜止后(ACD)A．彈簧恢復至自然長度B．活塞兩側氣體質量相等C．與初始時相比，汽缸內氣體的內能增加D.與初始時相比，最終活塞左側單位體積內氣體分子數減少解析：初始狀態(tài)活塞受到左側氣體向右的壓力和彈簧向左的彈力處于平衡狀態(tài)，彈簧處于壓縮狀態(tài)。因活塞密封不嚴，可知左側氣體向右側真空泄漏。左側氣體壓強變小，右側出現氣體，對活塞有向左的壓力，最終左、右兩側氣體壓強相等，且彈簧恢復原長，故A正確；由題知活塞初始時靜止在汽缸正中間，但由于活塞向左移動，左側氣體體積小于右側氣體體積，則左側氣體質量小于右側氣體質量，故B錯誤；密閉的汽缸絕熱，與外界沒有能量交換，但彈簧彈性勢能減少了，可知氣體內能增加，故C正確；初始時氣體在左側，最終氣體充滿整個汽缸，則初始時左側單位體積內氣體分子數應該是最終左側的兩倍，故D正確。2.(5分)如圖所示，下端用橡皮管連接的兩根粗細相同的玻璃管豎直放置，右管開口，左管內封閉著一段長為l、壓強為2p0(p0為大氣壓強)的氣柱，兩管水銀面高度差為h，現保持右管不動，為了使兩管內水銀面一樣高，把左管豎直(A)A．向上移動h＋l B．向下移動2h＋lC．向上移動h＋2l D．向下移動2h＋2l解析：設玻璃管的橫截面積為S，末態(tài)兩管內水銀面一樣高，封閉氣體壓強與外界大氣壓強相同為p0，根據玻意耳定律得2p0Sl＝p0Sl′，解得末態(tài)玻璃管內封閉氣體的長度為l′＝2l，保持右管不動，為了使兩管內水銀面一樣高，把左管豎直提高Δh＝h＋l，故A正確，B、C、D錯誤。3．(5分)(多選)內徑均勻的“T”形細玻璃管豎直放置，管內有被水銀封閉的理想氣體Ⅰ和Ⅱ，豎直管上端與大氣相通，各部分長度如圖所示。已知環(huán)境溫度為27℃，大氣壓強p0＝76cmHg。現只對理想氣體Ⅰ加熱，直到豎直玻璃管中的水銀與管口相平，此時(BC)A．理想氣體Ⅰ的溫度為500KB．理想氣體Ⅰ的溫度為700KC．理想氣體Ⅱ長度變?yōu)?cmD．理想氣體Ⅱ長度變?yōu)?cm解析：以理想氣體Ⅱ為研究對象，初狀態(tài)有p1＝p0＋14cmHg＝90cmHg，V1＝L1S，末狀態(tài)有p2＝p0＋24cmHg＝100cmHg，V2＝L2S，根據玻意耳定律可得p1V1＝p2V2，解得L2＝eq\f(p1L1,p2)＝eq\f(90×10,100)cm＝9cm，C正確，D錯誤；以理想氣體Ⅰ為研究對象，初狀態(tài)有p′1＝p0＋14cmHg＝90cmHg，V′1＝L′1S，T1＝300K，末狀態(tài)有p′2＝p0＋24cmHg＝100cmHg，V2＝L′2S，其中L′2＝(10＋10＋1)cm＝21cm，根據理想氣體狀態(tài)方程可得eq\f(p′1V′1,T1)＝eq\f(p′2V′2,T2)，解得T2＝eq\f(p′2V′2T1,p′1V′1)＝eq\f(100×21×300,90×10)K＝700K，B正確，A錯誤。4．(5分)如圖所示，在光滑水平面上，一質量為m、厚度不計的導熱活塞將一定質量的理想氣體封閉在內壁光滑的圓柱形汽缸中，開始時活塞和汽缸靜止，此時氣柱長度為l，現使汽缸底部繞一豎直軸由靜止開始轉動，緩慢增大轉動的角速度ω，當汽缸轉動的角速度為ω1時，氣柱長度為2l，當汽缸轉動的角速度為ω2時，氣柱長度為3l，若外界大氣壓不變，則ω1與ω2的比值為(A)A．3∶2eq\r(2) B．2eq\r(2)∶3C．2∶3 D．3∶2解析：以活塞為研究對象，當汽缸轉動的角速度為ω1時，由題設有p0S－p1S＝m·2lω12，當汽缸轉動的角速度為ω2時，有p0S－p2S＝m·3lω22；以活塞封閉的氣柱為研究對象，根據玻意耳定律有p0S·l＝p1S·2l＝p2S·3l，聯(lián)立解得ω1與ω2的比值為3∶2eq\r(2)，故選A。5．(10分)如圖所示，一端開口、長為L＝40cm的玻璃管鎖定在傾角為α＝30°的光滑斜面上，一段長為10cm的水銀柱密封一定質量的理想氣體。環(huán)境溫度為27℃，已知當地大氣壓強p0＝75cmHg。(1)如果解除鎖定，玻璃管沿斜面下滑，穩(wěn)定后水銀恰好未溢出管口，求解除鎖定前水銀柱上端距管口的距離；(2)如果對密封氣體緩慢加熱(玻璃管仍然鎖定在斜面上)，求水銀柱恰好移動到管口時的溫度。解析：(1)設解除鎖定前密封氣體的壓強為p1、體積為V1，玻璃管的橫截面積為S，水銀柱的長度為L0，水銀柱上端距管口的距離為x，則有p1＝p0＋L0sinα＝80cmHg，V1＝(L－L0－x)S，解除鎖定后，穩(wěn)定后整體的加速度為a＝eq\f(1,2)g，設密封氣體的壓強為p2，體積為V2，對水銀柱由牛頓第二定律得p0S＋ρL0Sgsinθ－p2S＝ρL0S·eq\f(1,2)g，解得p2＝p0＝75cmHg，V2＝(L－L0)S，此過程為等溫變化，由玻意耳定律可得p1V1＝p2V2，代入數據解得x＝1.875cm。(2)設初始時密封氣體的溫度為T1，升溫后，設水銀柱恰好移到管口時密封氣體的壓強為p3、體積為V3、溫度為T3，則有T1＝300K，p3＝p1＝80cmHg，V3＝V2＝(L－L0)S，可見，此過程為等壓變化，由蓋－呂薩克定律可得eq\f(V1,T1)＝eq\f(V3,T3)代入數據解得T3＝320K。答案：(1)1.875cm(2)320K6．(10分)(2024·四川成都高三診斷)如圖所示，橫截面積為S的汽缸內有a、b兩個厚度忽略不計、質量相等的活塞，兩個活塞把汽缸內的同種氣體分為A、B兩部分，兩部分氣體的質量相等，汽缸和活塞的導熱性能良好，開始時環(huán)境的溫度為T0，大氣壓強為p0，A、B兩部分氣柱的長度分別為1.2h、h，活塞a離缸口的距離為0.2h，重力加速度為g，活塞與缸內壁無摩擦且不漏氣，求：(1)每個活塞的質量；(2)緩慢升高環(huán)境溫度，當活塞a剛到缸口時，環(huán)境的溫度。解析：(1)設活塞的質量為m，開始時A部分氣體的壓強pA＝p0＋eq\f(mg,S)，B部分氣體的壓強pB＝p0＋eq\f(2mg,S)，由于A、B兩部分相同氣體的質量相等、溫度相同，則有pA×1.2hS＝pBhS，解得m＝eq\f(p0S,4g)。(2)設當環(huán)境溫度為T時，活塞a剛好到缸口，氣體A、B均發(fā)生等壓變化，設此時A氣體高為H，則B氣體高為2.4h－H，則對A氣體有eq\f(HS,T)＝eq\f(1.2hS,T0)，對B氣體有eq\f((2.4h－H)S,T)＝eq\f(hS,T0)解得T＝eq\f(12,11)T0。答案：(1)eq\f(p0S,4g)(2)eq\f(12,11)T07．(10分)(2024·湖北十堰高三調研)如圖所示，U形管左、右兩管豎直，左管上端開口且足夠長，右管上端封閉，粗細均勻，導熱性能良好。陰影部分A、B、C為水銀柱，長度分別為2h、h、eq\f(1,2)h，管中D、E為理想氣體。當環(huán)境的熱力學溫度T1＝300K時，D氣柱的長度為h，E氣柱的長度為4h，A、C兩水銀柱的下端面等高。外界大氣壓恒為8hHg，管的直徑遠小于h。(1)若保持環(huán)境溫度不變，在左管中緩慢注入水銀，當E氣柱的長度變?yōu)?h時，求左管中注入水銀的長度H；(2)若不是在左管中緩慢注入水銀，而是將環(huán)境的熱力學溫度緩慢升高到T2＝368K，求溫度