黑龍江省2025年全國成人高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試[數(shù)學(xué)(理)]訓(xùn)練題及答案一、選擇題（本大題共17小題，每小題5分，共85分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合\(A=\{x|-1<x<2\}\)，集合\(B=\{x|1<x<3\}\)，則\(A\capB=(\quad)\)A.\(\{x|-1<x<3\}\)B.\(\{x|-1<x<1\}\)C.\(\{x|1<x<2\}\)D.\(\{x|2<x<3\}\)答案：C解析：根據(jù)交集的定義，\(A\capB\)是由既屬于集合\(A\)又屬于集合\(B\)的所有元素組成的集合。已知\(A=\{x|-1<x<2\}\)，\(B=\{x|1<x<3\}\)，所以\(A\capB=\{x|1<x<2\}\)。2.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是\((\quad)\)A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)答案：A解析：對于對數(shù)函數(shù)\(y=\log_au\)，其定義域要求\(u>0\)。在函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)中，\(u=x-1\)，所以\(x-1>0\)，即\(x>1\)，所以函數(shù)的定義域是\((1,+\infty)\)。3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\tan\alpha=(\quad)\)A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)答案：B解析：因為\(\alpha\)是第二象限角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，根據(jù)\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=-\frac{4}{5}\)。再根據(jù)正切函數(shù)的定義\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，則\(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)共線，則\(x=(\quad)\)A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)答案：A解析：若兩個向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)共線，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,1)\)，那么\(1\times1-2x=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。5.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，則\(a_{11}=(\quad)\)A.\(19\)B.\(21\)C.\(23\)D.\(25\)答案：B解析：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。因為\(3+11=7+7\)，所以\(a_3+a_{11}=2a_7\)。已知\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，則\(5+a_{11}=2\times13\)，解得\(a_{11}=21\)。6.直線\(2x-y+3=0\)的斜率是\((\quad)\)A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A解析：對于直線的一般式\(Ax+By+C=0\)（\(B\neq0\)），其斜率\(k=-\frac{A}{B}\)。在直線\(2x-y+3=0\)中，\(A=2\)，\(B=-1\)，所以斜率\(k=-\frac{2}{-1}=2\)。7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標(biāo)是\((\quad)\)A.\((0,2)\)B.\((0,-2)\)C.\((2,0)\)D.\((-2,0)\)答案：C解析：對于拋物線\(y^{2}=2px(p>0)\)，其焦點坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)。在拋物線\(y^2=8x\)中，\(2p=8\)，則\(p=4\)，所以\(\frac{p}{2}=2\)，焦點坐標(biāo)是\((2,0)\)。8.函數(shù)\(y=2\cos^2x-1\)的最小正周期是\((\quad)\)A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：根據(jù)二倍角公式\(\cos2x=2\cos^{2}x-1\)，則函數(shù)\(y=2\cos^2x-1=\cos2x\)。對于函數(shù)\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，在\(y=\cos2x\)中，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。9.若\(a,b\inR\)，且\(a>b\)，則下列不等式中一定成立的是\((\quad)\)A.\(a^2>b^2\)B.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)C.\(a+c>b+c\)D.\(ac^2>bc^2\)答案：C解析：-選項A：當(dāng)\(a=1\)，\(b=-2\)時，\(a>b\)，但\(a^{2}=1\)，\(b^{2}=4\)，\(a^{2}<b^{2}\)，所以A錯誤。-選項B：當(dāng)\(a=1\)，\(b=-1\)時，\(a>b\)，但\(\frac{1}{a}=1\)，\(\frac{1}=-1\)，\(\frac{1}{a}>\frac{1}\)，所以B錯誤。-選項C：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等式兩邊同時加上同一個數(shù)，不等號方向不變。因為\(a>b\)，所以\(a+c>b+c\)，C正確。-選項D：當(dāng)\(c=0\)時，\(ac^{2}=bc^{2}=0\)，所以D錯誤。10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加某項活動，則至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有\(zhòng)((\quad)\)種A.\(10\)B.\(30\)C.\(50\)D.\(60\)答案：C解析：“至少有\(zhòng)(1\)名女生”的對立事件是“沒有女生”。從\(8\)人中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)種。從\(5\)名男生中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)種。所以至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=56-10=50\)種。11.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)，則函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((\quad)\)A.\((-1,1)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)答案：A解析：對函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)求導(dǎo)，\(f^\prime(x)=3x^2-3\)。令\(f^\prime(x)<0\)，即\(3x^2-3<0\)，化簡得\(x^2-1<0\)，即\((x+1)(x-1)<0\)，解得\(-1<x<1\)，所以函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((-1,1)\)。12.已知\(\log_32=a\)，\(\log_35=b\)，則\(\log_310=(\quad)\)A.\(a+b\)B.\(a-b\)C.\(ab\)D.\(\frac{a}\)答案：A解析：根據(jù)對數(shù)的運算法則\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)，因為\(10=2\times5\)，所以\(\log_310=\log_3(2\times5)=\log_32+\log_35\)。已知\(\log_32=a\)，\(\log_35=b\)，則\(\log_310=a+b\)。13.若\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=4\)，則\(a=(\quad)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：C解析：因為\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=4\)，當(dāng)\(x\to1\)時，分母\(x-1\to0\)，要使極限存在，則分子\(x^2+ax+3\)在\(x=1\)時的值為\(0\)，即\(1+a+3=0\)，解得\(a=-4\)。此時\(x^2+ax+3=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\)，則\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x-3)=-2\neq4\)，說明前面思路錯誤。因為\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=4\)，設(shè)\(x^2+ax+3=(x-1)(x+m)\)，展開得\(x^2+ax+3=x^2+(m-1)x-m\)，則\(\begin{cases}m-1=a\\-m=3\end{cases}\)，解得\(m=-3\)，\(a=-4\)錯誤。正確的是：因為\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=4\)，設(shè)\(x^2+ax+3=(x-1)(x+k)+4(x-1)\)（根據(jù)極限值構(gòu)造），\(x^2+ax+3=x^2+(k+3)x-(k+4)\)，則\(\begin{cases}a=k+3\\3=-(k+4)\end{cases}\)，由\(3=-(k+4)\)得\(k=-7\)，\(a=-4\)錯誤。我們用洛必達(dá)法則（因為是\(\frac{0}{0}\)型），對\(\frac{x^2+ax+3}{x-1}\)分子分母分別求導(dǎo)，\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(2x+a)\)，則\(2\times1+a=4\)，解得\(a=2\)。14.已知球的半徑為\(3\)，則球的表面積為\((\quad)\)A.\(9\pi\)B.\(18\pi\)C.\(36\pi\)D.\(72\pi\)答案：C解析：球的表面積公式為\(S=4\piR^{2}\)，已知球的半徑\(R=3\)，則球的表面積\(S=4\pi\times3^{2}=36\pi\)。15.已知\(\alpha\)是直線\(l\)的傾斜角，且\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則直線\(l\)的斜率\(k=(\quad)\)A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\pm\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)答案：C解析：因為\(\alpha\)是直線\(l\)的傾斜角，\(0\leqslant\alpha<\pi\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，根據(jù)\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\pm\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=\pm\frac{4}{5}\)。直線的斜率\(k=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，當(dāng)\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)時，\(k=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)；當(dāng)\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)時，\(k=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)，所以直線\(l\)的斜率\(k=\pm\frac{3}{4}\)。16.已知函數(shù)\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，當(dāng)\(x>0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則當(dāng)\(x<0\)時，\(f(x)=(\quad)\)A.\(x^2+2x\)B.\(-x^2+2x\)C.\(-x^2-2x\)D.\(x^2-2x\)答案：C解析：設(shè)\(x<0\)，則\(-x>0\)。因為當(dāng)\(x>0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，所以\(f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x\)。又因為\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=-f(-x)=-(x^2+2x)=-x^2-2x\)。17.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2n^2-3n\)，則\(a_5=(\quad)\)A.\(16\)B.\(17\)C.\(18\)D.\(19\)答案：B解析：\(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geqslant2)\)，\(a_5=S_5-S_4\)。\(S_5=2\times5^2-3\times5=2\times25-15=50-15=35\)，\(S_4=2\times4^2-3\times4=2\times16-12=32-12=20\)，所以\(a_5=35-20=17\)。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1.已知\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(2,3)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\)______。答案：\(-4\)解析：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(2,3)\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times2+(-2)\times3=2-6=-4\)。2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)的定義域是______。答案：\([2,3)\cup(3,+\infty)\)解析：要使函數(shù)\(y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)有意義，則根號下的數(shù)非負(fù)且分母不為\(0\)。即\(\begin{cases}x-2\geqslant0\\x-3\neq0\end{cases}\)，解得\(x\geqslant2\)且\(x\neq3\)，所以定義域是\([2,3)\cup(3,+\infty)\)。3.已知雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是______。答案：\(y=\pm\frac{4}{3}x\)解析：對于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，其漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。在雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，所以漸近線方程是\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。4.已知\((x+1)^n\)的展開式中第\(3\)項與第\(7\)項的二項式系數(shù)相等，則\(n=\)______。答案：\(8\)解析：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，\((a+b)^n\)展開式的第\(r+1\)項的二項式系數(shù)為\(C_{n}^{r}\)。已知第\(3\)項與第\(7\)項的二項式系數(shù)相等，即\(C_{n}^{2}=C_{n}^{6}\)。根據(jù)二項式系數(shù)的對稱性\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)，可得\(n=2+6=8\)。三、解答題（本大題共4小題，共49分.解答應(yīng)寫出推理、演算步驟）1.（12分）已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)。（1）求\(c\)的值；（2）求\(\sinA\)的值。解：（1）根據(jù)余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(\cosC=\frac{1}{2}\)。則\(c^{2}=3^{2}+4^{2}-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=9+16-12=13\)，所以\(c=\sqrt{13}\)。（2）由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，已知\(a=3\)，\(c=\sqrt{13}\)，\(\sinC=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。則\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{39}}{26}\)。2.（12分）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；（2）設(shè)\(b_n=2^{a_n}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和\(T_n\)。解：（1）設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。已知\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，則\(S_3=3\times1+\frac{3\times(3-1)}{2}d=3+3d\)。由\(3+3d=9\)，解得\(d=2\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\)。（2）因為\(b_n=2^{a_n}\)，\(a_n=2n-1\)，所以\(b_n=2^{2n-1}\)。則\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{2(n+1)-1}}{2^{2n-1}}=\frac{2^{2n+1}}{2^{2n-1}}=2^{2}=4\)，\(b_1=2^{2\times1-1}=2\)。所以數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)是以\(2\)為首項，\(4\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列的前\(n\)項和公式\(T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)），可得\(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3}\)。3.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的極值；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值和最小值。解：（1）對函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求導(dǎo)，\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時，\(f^\prime(x)<0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>2\)時，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以當(dāng)\(x=0\)時，函數(shù)取得極大值\(f(0)=0^3-3\times0^2+2=2\)；當(dāng)\(x=2\)時，函數(shù)取得極小值\(f(2)=2^3-3\times2^2+2=8-12+2=-2\)。（2）我們需要比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的值。\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)^2+2=-1-3+2=-2\)；\(f(0)=2\)；\(f(2)=-2\)；\(f(3)=3^3-3\times3^2+2=27-27+2=2\)。所以函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值為\(2\)，最小值為\(-2\)。4.（13分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設(shè)直線\(l:y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點，\(O\)為坐標(biāo)原點，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(\frac{m^2}{k^2+1}\)的值。解：（1）因為橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，又\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)，所以\(\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}\)，化簡得\(a^{2}=4