2025年全國成人高等學(xué)校招生考試（數(shù)學(xué)（理）-高起點(diǎn)）綜合能力測(cè)試題及答案一、選擇題：本大題共17小題，每小題5分，共85分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合\(A=\{x|-2<x<2\}\)，\(B=\{x|x\geq0\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{x|0\leqx<2\}\)B.\(\{x|x>-2\}\)C.\(\{x|0<x<2\}\)D.\(\{x|x\geq0\}\)答案：A解析：根據(jù)交集的定義，\(A\capB\)是由既屬于集合\(A\)又屬于集合\(B\)的所有元素組成的集合。已知\(A=\{x|-2<x<2\}\)，\(B=\{x|x\geq0\}\)，所以\(A\capB=\{x|0\leqx<2\}\)。2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)答案：B解析：要使分式\(\frac{1}{x-1}\)有意義，則分母不能為\(0\)，即\(x-1\neq0\)，解得\(x\neq1\)。所以函數(shù)的定義域是\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m=\)（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(7\)答案：C解析：若兩個(gè)向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)平行，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，那么\(1\timesm-3\times2=0\)，即\(m-6=0\)，解得\(m=6\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B解析：根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}\)。因?yàn)閈(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中\(zhòng)(\cos\alpha\lt0\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\)。5.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,2)\)B.\((0,-2)\)C.\((2,0)\)D.\((-2,0)\)答案：C解析：對(duì)于拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)。在拋物線\(y^{2}=8x\)中，\(2p=8\)，則\(p=4\)，所以\(\frac{p}{2}=\frac{4}{2}=2\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,0)\)。6.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(a_{10}=\)（）A.\(18\)B.\(20\)C.\(22\)D.\(24\)答案：C解析：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)。已知\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(a_3=a_1+2d=2+2d=6\)，解得\(d=2\)。所以\(a_{10}=a_1+9d=2+9\times2=2+18=22\)。7.函數(shù)\(y=2\sinx\cosx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：根據(jù)二倍角公式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，則函數(shù)\(y=2\sinx\cosx=\sin2x\)。對(duì)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，在\(y=\sin2x\)中\(zhòng)(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。8.已知\(\log_{2}x=3\)，則\(x^{\frac{1}{2}}=\)（）A.\(2\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(4\)D.\(8\)答案：B解析：已知\(\log_{2}x=3\)，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得\(x=2^{3}=8\)。則\(x^{\frac{1}{2}}=8^{\frac{1}{2}}=(2^{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}\)。9.過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x+y-3=0\)平行的直線方程是（）A.\(2x+y-4=0\)B.\(2x-y=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(x-2y+3=0\)答案：A解析：設(shè)所求直線方程為\(2x+y+c=0\)（因?yàn)閮芍本€平行，斜率相等，直線\(Ax+By+C=0\)的斜率為\(-\frac{A}{B}\)，這里\(A=2\)，\(B=1\)）。因?yàn)橹本€過點(diǎn)\((1,2)\)，將點(diǎn)代入方程可得\(2\times1+2+c=0\)，即\(4+c=0\)，解得\(c=-4\)。所以所求直線方程為\(2x+y-4=0\)。10.已知函數(shù)\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，且\(f(0)=2\)，\(f^\prime(0)=0\)，\(f^\prime(1)=-3\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的值分別為（）A.\(a=-3\)，\(b=0\)，\(c=2\)B.\(a=3\)，\(b=0\)，\(c=2\)C.\(a=-3\)，\(b=3\)，\(c=2\)D.\(a=3\)，\(b=-3\)，\(c=2\)答案：A解析：首先，由\(f(0)=2\)可得：\(f(0)=0^{3}+a\times0^{2}+b\times0+c=2\)，所以\(c=2\)。對(duì)\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^{2}+2ax+b\)。因?yàn)閈(f^\prime(0)=0\)，則\(f^\prime(0)=3\times0^{2}+2a\times0+b=0\)，所以\(b=0\)。又因?yàn)閈(f^\prime(1)=-3\)，所以\(f^\prime(1)=3\times1^{2}+2a\times1+b=3+2a+b=-3\)，把\(b=0\)代入可得\(3+2a+0=-3\)，即\(2a=-6\)，解得\(a=-3\)。綜上，\(a=-3\)，\(b=0\)，\(c=2\)。11.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選出\(3\)人參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求至少有\(zhòng)(1\)名女生參加，則不同的選法有（）A.\(35\)種B.\(40\)種C.\(56\)種D.\(96\)種答案：A解析：“至少有\(zhòng)(1\)名女生參加”的對(duì)立事件是“沒有女生參加”。從\(8\)人中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)種。從\(5\)名男生中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)種。所以至少有\(zhòng)(1\)名女生參加的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=56-10=35\)種。12.已知函數(shù)\(y=f(x)\)是偶函數(shù)，且在\((-\infty,0)\)上是增函數(shù)，則\(f(-2)\)，\(f(1)\)，\(f(3)\)的大小關(guān)系是（）A.\(f(3)\ltf(-2)\ltf(1)\)B.\(f(1)\ltf(-2)\ltf(3)\)C.\(f(-2)\ltf(1)\ltf(3)\)D.\(f(3)\ltf(1)\ltf(-2)\)答案：A解析：因?yàn)楹瘮?shù)\(y=f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)=f(-x)\)，所以\(f(1)=f(-1)\)，\(f(3)=f(-3)\)。又因?yàn)楹瘮?shù)在\((-\infty,0)\)上是增函數(shù)，且\(-3\lt-2\lt-1\)，根據(jù)增函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時(shí)，\(f(x_1)\ltf(x_2)\)，所以\(f(-3)\ltf(-2)\ltf(-1)\)，即\(f(3)\ltf(-2)\ltf(1)\)。13.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\)（）A.\(3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(-3\)D.\(-\frac{1}{3}\)答案：A解析：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)（因?yàn)閈(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，則\(\tan\alpha\)不存在），得到\(\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，代入上式可得\(\frac{2+1}{2-1}=\frac{3}{1}=3\)。14.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{7}{4}\)答案：A解析：對(duì)于雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)，其漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。已知漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，所以\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)。雙曲線的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，則\(e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{a})^{2}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^{2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\)。15.已知球的表面積為\(16\pi\)，則該球的體積為（）A.\(\frac{32\pi}{3}\)B.\(\frac{64\pi}{3}\)C.\(32\pi\)D.\(64\pi\)答案：A解析：設(shè)球的半徑為\(R\)，球的表面積公式為\(S=4\piR^{2}\)。已知球的表面積為\(16\pi\)，則\(4\piR^{2}=16\pi\)，即\(R^{2}=4\)，解得\(R=2\)。球的體積公式為\(V=\frac{4}{3}\piR^{3}\)，將\(R=2\)代入可得\(V=\frac{4}{3}\pi\times2^{3}=\frac{4}{3}\pi\times8=\frac{32\pi}{3}\)。16.已知函數(shù)\(y=\log_{a}(x+1)(a\gt0,a\neq1)\)的圖象過點(diǎn)\((1,1)\)，則\(a=\)（）A.\(2\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(3\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：A解析：因?yàn)楹瘮?shù)\(y=\log_{a}(x+1)(a\gt0,a\neq1)\)的圖象過點(diǎn)\((1,1)\)，將點(diǎn)\((1,1)\)代入函數(shù)可得\(\log_{a}(1+1)=1\)，即\(\log_{a}2=1\)。根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，若\(\log_{a}N=b\)（\(a\gt0,a\neq1\)，\(N\gt0\)），則\(a^=N\)，所以\(a^{1}=2\)，即\(a=2\)。17.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是\(\triangleABC\)的三邊，且\(a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab\)，則角\(C=\)（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)答案：B解析：根據(jù)余弦定理\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)。已知\(a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab\)，將其代入可得\(\cosC=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)。因?yàn)閈(0^{\circ}\ltC\lt180^{\circ}\)，所以\(C=60^{\circ}\)。二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。18.函數(shù)\(y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)的定義域是______。答案：\([2,3)\cup(3,+\infty)\)解析：要使函數(shù)\(y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)有意義，則根式內(nèi)的值須大于等于\(0\)，且分母不為\(0\)。由\(x-2\geq0\)，解得\(x\geq2\)；由\(x-3\neq0\)，解得\(x\neq3\)。所以函數(shù)的定義域是\([2,3)\cup(3,+\infty)\)。19.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^{2}+2n\)，則\(a_3=\)______。答案：\(7\)解析：\(a_3=S_3-S_2\)。先求\(S_3\)：\(S_3=3^{2}+2\times3=9+6=15\)。再求\(S_2\)：\(S_2=2^{2}+2\times2=4+4=8\)。所以\(a_3=S_3-S_2=15-8=7\)。20.已知圓\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0\)的圓心坐標(biāo)為______，半徑為______。答案：\((2,-3)\)；\(4\)解析：將圓的方程\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0\)轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)的形式，其中\(zhòng)((a,b)\)為圓心坐標(biāo)，\(r\)為半徑。配方可得：\(x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=3+4+9\)，即\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16\)。所以圓心坐標(biāo)為\((2,-3)\)，半徑\(r=4\)。21.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\)______。答案：\(5\)解析：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(-3)+2\times4=-3+8=5\)。三、解答題：本大題共4小題，共49分。解答應(yīng)寫出推理、演算步驟。22.（本題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。解：（1）對(duì)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。在函數(shù)\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)中，\(\omega=2\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（2）已知\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，則\(2x\in[0,\pi]\)，\(2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]\)。令\(t=2x+\frac{\pi}{6}\)，函數(shù)\(y=\sint\)在\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]\)上單調(diào)遞增，在\([\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]\)上單調(diào)遞減。當(dāng)\(t=\frac{\pi}{2}\)，即\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)，\(2x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)，\(x=\frac{\pi}{6}\)時(shí)，\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)取得最大值\(1\)，此時(shí)\(f(x)_{max}=2\times1=2\)。當(dāng)\(t=\frac{7\pi}{6}\)，即\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\)，\(2x=\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\pi\)，\(x=\frac{\pi}{2}\)時(shí)，\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\)，此時(shí)\(f(x)_{min}=2\times(-\frac{1}{2})=-1\)。23.（本題滿分12分）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)\(b_n=2^{a_n}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(T_n\)。解：（1）設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式為\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。已知\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，則\(S_3=3\times1+\frac{3\times(3-1)}{2}d=3+3d=9\)，解得\(3d=9-3=6\)，\(d=2\)。根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_n=1+(n-1)\times2=1+2n-2=2n-1\)。（2）由（1）知\(a_n=2n-1\)，則\(b_n=2^{a_n}=2^{2n-1}\)。\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{2(n+1)-1}}{2^{2n-1}}=\frac{2^{2n+1}}{2^{2n-1}}=2^{2n+1-(2n-1)}=2^{2}=4\)，且\(b_1=2^{2\times1-1}=2^{1}=2\)。所以數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)是以\(2\)為首項(xiàng)，\(4\)為公比的等比數(shù)列。等比數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式為\(T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)），這里\(q=4\)，則\(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3}\)。24.（本題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值和最小值。解：（1）對(duì)函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\lt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt2\)時(shí)，\(f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。（2）計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的值：\(f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}+2=-1-3+2=-2\)；\(f(0)=0^{3}-3\times0^{2}+2=2\)；\(f(2)=2^{3}-3\times2^{2}+2=8-12+2=-2\)；\(f(3)=3^{3}-3\times3^{2}+2=27-27+2=2\)。比較這些值可得，函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值為\(2\)，最小值為\(-2\)。25.（本題滿分13分）已知橢圓\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點(diǎn)\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設(shè)直線\(l:y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，\(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(m\)與\(k\)的關(guān)系。解：（1）橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，又\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)，則\((\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2}=a^{2}-b^{2}\)，化簡(jiǎn)可得\(b^{2}=\frac{1}{4}a^{2}\)。橢圓過點(diǎn)\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)，將點(diǎn)代入橢圓方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)得\(\frac{(\sqrt{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{b^{2}}=1\)，即\(\frac{3}{a^{2}}+\frac{