專題3.1函數概念及其表示【知識儲備】1．函數的概念一般地，設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數的定義域、值域(1)在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．(2)如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等．3．函數的表示法表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．(2)分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集．必備技巧函數的概念(1)函數的定義要求第一個非空數集A中的任何一個元素在第二個非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素．(2)構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同．同一函數只需判斷定義域和對應關系即可.一、單選題1．若函數的定義域M＝{x|}，值域為N＝{y|}，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故錯誤；C中圖象不表示函數關系，因為存在一個對應兩個，不滿足函數定義；D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.只有中的定義域和值域滿足題意，且表示函數關系，符合題意.故選：B.2．設，給出下列四個圖形，如下圖所示，其中能表示從集合到的函數關系的有(

)個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】由函數的定義知，①不能表示集合到的函數關系，因為圖中y的范圍是[0，2]；②不能表示集合到的函數關系，因為圖中y的范圍是[0，2]；③不能表示集合到的函數關系，因為對于一個x，可能有兩個y值與之對應；④能表示集合到的函數關系.故滿足題意的有④，共1個.故選：A.3．函數＋的定義域為（

）A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)【來源】黑龍江省綏化市第一中學2020-2021學年高一上學期期中考試數學試題【答案】C【解析】要使函數＋有意義，則所以，解得且，所以函數＋的定義域為∪(3，＋∞).故選：C.4．下列各組函數中，表示同一函數的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【解析】A中，的定義域為，的定義域為R，故A錯誤；B中，，B正確；C中，的定義域為R，的定義域為，故C錯誤；D中，的定義域為，由可得的定義域為，D錯誤.故選：B5．已知函數與x的值對應如下表，x12345651015202530那么函數的定義域為（

）A． B． C． D．【來源】廣西普通高中2021-2022學年高二6月學業(yè)水平考試數學試題【答案】A【解析】由題意知：函數的定義域為.故選：A.6．下列關于函數與區(qū)間的說法正確的是（

）A．函數定義域必不是空集，但值域可以是空集B．函數定義域和值域確定后，其對應法則也就確定了C．數集都能用區(qū)間表示D．函數中一個函數值可以有多個自變量值與之對應【答案】D【解析】對于A，函數的定義域和值域均為非空數集，A錯誤；對于B，若函數的定義域和值域均為，對應法則可以是，也可以是，B錯誤；對于C，自然數集無法用區(qū)間表示，C錯誤；對于D，由函數定義可知，一個函數值可以有多個自變量值與之對應，D正確.故選：D.7．已知函數，則的值是（

）．A． B．0 C．1 D．20【來源】廣西十八校2021-2022學年高一10月聯考數學試題【答案】B【解析】，則故選：B8．已知函數，則等于（

）A． B． C． D．0【來源】安徽省皖北縣中聯盟2021-2022學年高一上學期12月聯考數學試題【答案】D【解析】由題意，函數，令，解得，令，可得.故選：D.9．已知函數，其中是x的正比例函數，是x的反比例函數，且，則（

）A．3 B．8 C．9 D．16【來源】陜西省西安市閻良區(qū)2021-2022學年高二下學期期末數學試題【答案】C【解析】根據題意設，則，因為，所以，解得，所以，所以，故選：C10．已知，函數，若，則（

）A．0 B．2 C．5 D．6【來源】吉林省吉林市2022屆高三第四次調研測試數學（理）試題【答案】B【解析】因為，所以，故選：B11．函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【來源】專題06函數的圖像（講義）-2023年高考數學一輪復習精講精練寶典（新高考專用）【答案】C由題意，函數，因為，即函數的圖象過點，可排除A、B項；又因為，可排除D項，故選：C.12．設函數，則的值為（

）A． B． C． D．18【答案】B【解析】，故選：B13．某高中生周末自主學習時，進行了一次數學探究活動，他將一天的日期與星期用有序數對表示，比如某個月10日，11日是周末，就分別用和表示，然后在平面直角坐標系內描出對應的點.他查閱了某年七月份的日歷，利用數學軟件在平面直角坐標系內描出了31個點，經過思考，他構造了函數，使得這些點都在的圖象上，若，則下列敘述正確的是（

）A．該月12日是星期二，有五天是星期二 B．該月12日是星期一，有四天是星期二C．該月23日是星期六，有五天是星期六 D．該月23日是星期二，有四天是星期二【來源】安徽省阜陽市2021-2022學年高三上學期期末教學質量統(tǒng)測文科數學試題【答案】C【解析】由題意及可知，7月4日是星期一，列表如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日12345678910111213141516171819202122232425262728293031可知選項C正確.故選：C.14．設函數fx=x2+2x,x≤0?xA． B． C． D．【答案】B【解析】令，，則1°時，，則無解．2°時，，∴，∴時，，則；時，無解綜上：.故選：B．15．已知函數，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數，且，當時，，即，解得或，當時，，無解，綜上：，所以，故選：A16．設函數，若是函數的最小值，則實數a的取值范圍是(

)A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2]【答案】D【解析】由題意，不妨設，，①當時，由一元二次函數的性質可知，在上單調遞增，故對于，，這與是函數的最小值矛盾；②當時，，，由一元二次函數的性質可知，在單調遞減，故對于，，當時，在時取得最小值2，從而當時，滿足是函數的最小值；③當時，由一元二次函數性質，在上單調遞減，故對于，，當時，在時取得最小值，若使是函數的最小值，只需且，解得，.綜上所述，實數a的取值范圍是.故選：D.17．已知函數在上有最大值，那么實數的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（1，2） C． D．【答案】D【解析】由題意可知在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數，且最大值在處取得則∴.故選：D18．定義在R上的函數滿足，當時，，當時，，則（

）A．336 B．338 C．337 D．339【來源】江西省宜春市奉新縣第一中學2020-2021學年高一下學期第一次月考數學試題【答案】B【解析】：因為當時，，所以，（1），（2），又因為，所以函數的周期為6，（6），當時，，所以（3），（4），（5），所以（1）（2）（3）（4）（5）（6），故（1）（2）（3）（1）．故選：B．19．設函數，則的表達式為（

）A． B．C． D．【來源】安徽省六安市第一中學2021-2022學年高一上學期期中數學試題【答案】B【解析】令，則可得所以，所以故選：B20．已知，若在上恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出，在上的圖象如下圖所示：

因為在上恒成立，所以的圖象在的圖象的上方（可以部分點重合），且，令，所以，所以，根據圖象可知：當經過點時，有最小值，，當經過點時，有最大值，，綜上可知的取值范圍是，故選：C.二、填空題21．已知函數對于任意的正實數x，y滿足，且，則=______．【來源】黑龍江省哈爾濱第九中學校2022屆高三下學期第四次模擬考試文科數學試題【答案】4【解析】由題可知，．故答案為：4.22．函數，則=_______．【來源】甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)2021-2022學年高二下學期期中考試數學試題【答案】##2011.5【解析】∵，且∴故答案為：．23．已知函數．若，則m=______．【來源】山東省德州市2021-2022學年高二下學期期末數學試題【答案】3【解析】由已知．，，故答案為：3．24．設函數，若，則實數的值為_____．【來源】2.4.2函數的表示（培優(yōu)講義）-2022年初升高數學無憂銜接【答案】【解析】由題意知，；當時，有，解得(舍去)；當時，有，解得(舍去)或．所以實數的值是：．故答案為：.25．已知函數，則_____.【來源】湖南省永州市第二中學2021-2022學年高一上學期10月月考數學試題【答案】#1.125【解析】∵，，因此，.故答案為：.26．已知函數的定義域為，則函數的定義域為_________.【來源】遼寧省沈陽市第二中學2021-2022學年高二下學期期末數學試題【答案】【解析】函數的定義域為，即，所以，所以，即，所以函數的定義域為.故答案為：.27．若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍是__________．【答案】【解析】的定義域是R，則恒成立，時，恒成立，時，則，解得，綜上，．故答案為：．28．函數，若恒成立，則實數的取值范圍為__________．【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學校2021-2022學年高二下學期期末考試數學試題【答案】【解析】當時，，當且僅當即時取等號，函數，若恒成立，則，即，解得，故答案為：.29．若方程，若方程無解，則實數t的取值范圍是______．【來源】上