eq\b\lc\(\a\al(等差數(shù)列單元復(fù)習(xí),——等差數(shù)列的綜合運(yùn)用))eq\x(課標(biāo)要求)在掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用性質(zhì)解決相關(guān)問題.eq\x(重點(diǎn)導(dǎo)讀)一、基本知識(shí)復(fù)習(xí)1.等差數(shù)列的相關(guān)概念及等差中項(xiàng)2.判斷或證明等差數(shù)列的方法主要有(1)；(定義法)(2)；(等差中項(xiàng)法)(3)an＝；(通項(xiàng)法)(4)Sn＝.注：在具體的證明過程中，若出現(xiàn)(3)或(4)，最好再利用(1)或(2)的思想方法.3.基本公式及等價(jià)形式(1)關(guān)于an的：①an＝；②an＝；③an＝.(2)關(guān)于Sn的：①Sn＝；②Sn＝；③Sn＝；④Sn＝.●課本中推導(dǎo)Sn的方法稱為.4.三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的表達(dá)方式三個(gè)數(shù)四個(gè)數(shù)一般設(shè)法a，b，c且2b＝a＋c定義設(shè)法a，a＋d，a＋2d，a＋3d(d為公差)對(duì)稱設(shè)法a－d，a，a＋d(d為公差)二、基本知識(shí)·性質(zhì)的拓展1.若{an}為等差數(shù)列，且滿足則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)2.(1)在等差數(shù)列{an}中，下標(biāo)成等差數(shù)列，且公差為m的項(xiàng)，ak，ak＋m，ak＋2m，…，(k，m∈N*)組成(2)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}是數(shù)列，如{an＋bn}，{an－bn}是等差數(shù)列.(3){an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m，3.與前n項(xiàng)和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的依次每k項(xiàng)之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為的等差數(shù)列.(2)若等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，則S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1為中間兩項(xiàng))且S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).(3)若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S2n－1＝an(an為中間項(xiàng))且S奇－S偶＝an，eq\f(S偶,S奇)＝.4.在等差數(shù)列中：若a1＞0，d＜0，則Sn必有最值，這時(shí)既可由二次函數(shù)確定n，也可用不等式組eq\b\lc\{(\a\al\co1(an0,an＋10))來確定n.若a1＜0，d＞0，則Sn必有最值，這時(shí)既可由二次函數(shù)確定n，也可用不等式組eq\b\lc\{(\a\al\co1(an0,an＋10))來確定n.eq\x(典例精析)【例1】等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3A.130B.170C.210D.260【解法一】將Sm＝30，S2m＝100代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d，得eq\b\lc\{(\a\al\co1(ma1＋\f(m(m－1),2)d＝30，,2ma1＋\f(2m(2m－1),2)d＝100.))解得d＝eq\f(40,m2)，a1＝eq\f(10,m)＋eq\f(20,m2).所以S3m＝3ma1＋eq\f(3m(3m－1),2)d＝3m·eq\f(10(m＋2),m2)＋eq\f(3m(3m－1),2)·eq\f(40,m2)＝210.聯(lián)想1：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，能否運(yùn)用函數(shù)的思想求解？【解法二】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn＝An2＋Bn(A、B是常數(shù)).將Sm＝30，S2m＝100代入得eq\b\lc\{(\a\al\co1(Am2＋Bm＝30，,A(2m)2＋B·2m＝100.))解得A＝eq\f(20,m2)，B＝eq\f(10,m).所以S3m＝A·(3m)2＋B·3m＝210.聯(lián)想2：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，Sm，S2m－Sm，S3m－S【解法三】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，從而有2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，所以S3m聯(lián)想3：本題是一道選擇題，聯(lián)想解決選擇題常用的一種方法——特殊值法，你將會(huì)怎樣解？【解法四】令m＝1得S1＝30，S2＝100，從而a1＝30，a1＋a2＝100，得到a1＝30，a2＝70，所以a3＝70＋(70－30)＝110，所以S3＝a1＋a2＋a3＝210.eq\x(評(píng)析)此題雖是一道小題，但我們從不同的角度去審視，得到四種不同的方法，開闊了視野，鍛煉了思維.此四種方法體現(xiàn)了解決數(shù)列問題常用的四種思想方法：①方程思想；②函數(shù)與方程思想；③整體思想；④特殊值思想.【例2】(1)數(shù)列{eq\f(1,n(n＋1))}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＋…＋eq\f(1,n×(n＋1))，研究一下，能否找到求Sn的一個(gè)公式.你能對(duì)這個(gè)問題作一些推廣嗎？并解決下面的問題(2)已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的正整數(shù)n滿足2eq\r(Sn)＝an＋1.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)bn＝eq\f(1,an·an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Bn.【解】(1)an＝eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)∴Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)eq\x(評(píng)析)這是數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法，它的基本思想是設(shè)法將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(裂項(xiàng))，并使它們相加時(shí)除了首尾各有一項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能前后相消，進(jìn)而可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.常見的裂項(xiàng)公式：①eq\f(1,n(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))②eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))(2)①∵對(duì)任意的正整數(shù)n,2eq\r(Sn)＝an＋1①恒成立，當(dāng)n＝1時(shí)，2eq\r(a1)＝a1＋1，即(a1－1)2＝0，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，有2eq\r(Sn－1)＝an－1＋1.②①2－②2得4an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＞0，∴an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，②∵an＋1＝2n＋1，∴bn＝eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋eq\f(1,2)(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＋…＋eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,2n＋1))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4n＋2).eq\x(評(píng)析)有的數(shù)列本身不是等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和時(shí)，可對(duì)其通項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列或等差數(shù)列的和的問題.上述求和法是“裂項(xiàng)相消法”，它是“變換通項(xiàng)法”的一種.對(duì)于變換通項(xiàng)法，再如：an＝n(n＋1)，求Sn由an＝n(n＋1)＝n2＋n∴Sn＝(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常見數(shù)列的前n項(xiàng)和【例3】(1)一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求公差d.(2)若兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和An和Bn滿足關(guān)系式eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋1,4n＋27)(n∈N*)，求eq\f(an,bn).(3){an}是等差數(shù)列，a15＋a12＋a9＋a6＝20，求S20【解】(1)(方法一)(方程思想)設(shè)此數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，則eq\b\lc\{(\a\al\co1(12a1＋\f(1,2)×12×11d＝354，,\f(6(a1＋d)＋\f(1,2)×6×5×2d,6a1＋\f(1,2)×6×5×2d)＝\f(32,27)，))解得d＝5.(方法二)(整體思想)eq\b\lc\{(\a\al\co1(S奇＋S偶＝354，,\f(S偶,S奇)＝\f(32,27)))?eq\b\lc\{(\a\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.(2)由等差數(shù)列性質(zhì)an＝eq\f(a1＋a2n－1,2)，bn＝eq\f(b1＋b2n－1,2)，∴eq\f(an,bn)＝eq\f(\f(a1＋a2n－1,2),\f(b1＋b2n－1,2))＝eq\f(\f((2n－1)(a1＋a2n－1),2),\f((2n－1)(b1＋b2n－1),2))＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(7(2n－1)＋1,4(2n－1)＋27)＝eq\f(14n－6,8n＋23).(3)a15＋a6＝a12＋a9＝a1＋a20∴a1＋a20＝eq\f(1,2)×20＝10∴S20＝eq\f(20(a1＋a20),2)＝100eq\x(評(píng)析)設(shè)計(jì)這三個(gè)題的目的，是為了進(jìn)一步訓(xùn)練解決數(shù)列問題的兩種主要思想方法：方程思想與整體思想.通過第(2)(3)題的解答，體會(huì)一下Sn的兩個(gè)公式的運(yùn)用特點(diǎn)，哪一個(gè)更易利用整體思想.【例4】一個(gè)水池有若干水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時(shí)放水，那么24min可注滿水池.如果開始時(shí)全部放開，以后每隔相等的時(shí)間關(guān)閉一個(gè)水龍頭，到最后一個(gè)水龍頭關(guān)閉時(shí)，恰好注滿水池，而且最后一個(gè)水龍頭放水的時(shí)間恰好是第一個(gè)水龍頭放水時(shí)間的5倍，問最后關(guān)閉的這個(gè)水龍頭放水多少時(shí)間？【分析】每隔相等的時(shí)間關(guān)閉一個(gè)水龍頭，則每個(gè)水龍頭放水的時(shí)間組成等差數(shù)列，用等差數(shù)列前n項(xiàng)和知識(shí)解決.【解析】設(shè)共有n個(gè)水龍頭，每個(gè)水龍頭放水時(shí)間從小到大依次為x1，x2，…，xn.由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，∴數(shù)列{xn}成等差數(shù)列，∴(x1＋x2＋…＋xn)＝24n，即Sn＝24n，∴eq\f(n(x1＋x2),2)＝24n，∴x1＋xn＝48.又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴xn＝40(min)，故最后關(guān)閉的水龍頭放水40min.eq\x(評(píng)析)解答應(yīng)用題，關(guān)鍵是審清題意，分析清楚各量及其關(guān)系，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題(即建立數(shù)學(xué)模型).【例5】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間滿足2an＝Sn·Sn－1(n≥2).(1)求證：數(shù)列{eq\f(1,Sn)}是等差數(shù)列，并求公差；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)【證明】因?yàn)閚≥2時(shí)，2an＝Sn·Sn－1，又an＝Sn－Sn－1，所以2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1.所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝－eq\f(1,2)且eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3).所以數(shù)列{eq\f(1,Sn)}是以eq\f(1,3)為首項(xiàng)，以－eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列.(2)【解】由(1)得eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(5－3n,6)，所以Sn＝eq\f(6,5－3n).當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(18,(3n－5)(3n－8))；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3不適合上式.所以an＝eq\b\lc\{(\a\al\co1(3(n＝1)，,\f(18,(3n－5)(3n－8))(n≥2).))eq\x(評(píng)析)由an與Sn形成的綜合題是常見的，因?yàn)樗菙?shù)列中兩個(gè)主要元素，為此對(duì)an與Sn的關(guān)系一定要搞清楚.前面對(duì)此已做過訓(xùn)練，對(duì)所給式子是通過變換轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的式子，還是轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn的式子，要根據(jù)題目要求而定，此題第(1)問是證明{eq\f(1,Sn)}是等差數(shù)列，所以應(yīng)找到關(guān)于Sn的式子，進(jìn)行推證.eq\x(感悟總結(jié))本課是關(guān)于等差數(shù)列的綜合運(yùn)用題，各題目有一定的綜合性.我們解決一個(gè)題目，不僅僅是為了得到結(jié)果，更重要的是通過對(duì)題目的分析、解決來鞏固雙基，鍛煉各方面能力、心理素質(zhì)，不斷汲取數(shù)學(xué)思想.有的題目自己可能解不出來，但要通過老師的分析、講解及自己的探索、總結(jié)、反思，從中總結(jié)出基本知識(shí)、方法的運(yùn)用思想.即抓住其中的雙基，不要只看問題的表面，有的題目所體現(xiàn)的思想、方法、技巧，不是讓你在一節(jié)課內(nèi)就全部理解、掌握，要有一個(gè)持之以恒、循序漸近的學(xué)習(xí)過程.不要一看不會(huì)，就想全部放棄，只要你充滿信心，抓住基礎(chǔ)，堅(jiān)持不懈地學(xué)下去，一定會(huì)掌握其方法、其規(guī)律、其思想，最終取得成功，實(shí)現(xiàn)自己的理想.本課各題目所體現(xiàn)的基本方法、基本思想，在各題的分析及eq\x(評(píng)析)中已總結(jié)的非常清晰，在這里就不多談了.eq\x(課后鞏固)一、選擇題1.等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于()A.160B.180C.200D.2202.如果a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則()A.a1a8＞a4a5B.a1a8＜C.a1＋a8＞a4＋a5D.a1a8＝a43.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則()A.S4＜S5B.S4＝S5C.S6＜S5D.S6＝S4.在等差數(shù)列中，am＝n，an＝m(m≠n)，則am＋n為()A.m－nB.0C.m2D.n25.一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每2年出一冊(cè)，若各冊(cè)書的出版年份數(shù)之和為13979，則出齊這套書的年份是()A.1997B.1999C.2001D.20036.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(a5,a3)＝eq\f(5,9)，則eq\f(S9,S5)等于()A.1B.－1C.2D.eq\f(1,2)二、填空題7.等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，則a5＋a8＝.8.在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則S100＝.9.設(shè)f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n