基礎(chǔ)訓(xùn)練1．某商場在銷售一種糖果時發(fā)現(xiàn)，如果以20元/kg的單價銷售，則每天可售出100kg，如果銷售單價每增加0.5元，則第天銷售量會減少2kg.該商場為使每天的銷售額達(dá)到1800元，銷售單價應(yīng)為多少？設(shè)銷售單價應(yīng)為x元/kg，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．【詳解】解：設(shè)銷售單價應(yīng)為x元/kg,則銷售量為（）kg，依題意得：依題意得：故選:C2．某超市銷售一種商品，其進(jìn)價為每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，為讓利于民，超市采取降價措施，當(dāng)售價每千克降低1元時，每天銷量可增加50千克，若每天的利潤要達(dá)到5500元，則實(shí)際售價應(yīng)定為多少元？設(shè)售價每千克降低x元，可列方程為（

）A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500【詳解】解：由題意可知，當(dāng)售價每千克降低元時，每千克的售價為元，此時每天銷量為千克，則可列方程為，故選：A．3．某網(wǎng)店銷售運(yùn)動鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷售20雙，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價促銷，經(jīng)調(diào)查得知，每雙運(yùn)動鞋每降價1元，每天可多銷售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場，則每雙運(yùn)動鞋應(yīng)降價（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元【詳解】解：設(shè)每雙鞋應(yīng)降價x元，根據(jù)題意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10，∵盡可能讓利顧客，∴x=20．答：每雙鞋應(yīng)降價20元；故選B4．如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=8cm，動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向B移動，一直到達(dá)B為止；點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動．當(dāng)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．(若一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s【詳解】解：設(shè)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到xs時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm，此時AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，根據(jù)題意得：（16-2x-3x）2+82=102，解得：x1=2，x2=，答：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到2s或s時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．故選：D．5．如圖，在矩形中，cm，cm，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以cm/s的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)時，點(diǎn)運(yùn)動的時間為（）A．s B．2s C．10s D．10s或2s【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts,根據(jù)題意得：,∴∵∴，∴解得或（舍去），∴點(diǎn)P運(yùn)動的時間為2s,故選：B．6．如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，圖2是點(diǎn)運(yùn)動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長為（

）A． B． C． D．【詳解】解：由圖2可知，當(dāng)P點(diǎn)位于B點(diǎn)時，，即，當(dāng)P點(diǎn)位于E點(diǎn)時，，即，則，∵,∴,即,∵∴,∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴,故選：C．7．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時開始移動，點(diǎn)P的速度為1cm/秒，點(diǎn)Q的速度為2cm/秒，點(diǎn)Q移動到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動．下列時間瞬間中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（

）A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．3秒鐘或5秒鐘 D．5秒鐘【詳解】解：設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，依題意，得：×2t?（8-t）=15，解得：t1=3，t2=5，∵2t≤6，∴t≤3，∴t=3．故選：B．8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度運(yùn)動，另一動點(diǎn)Q從C出發(fā)沿著CB邊以1cm/s的速度運(yùn)動，P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，運(yùn)動___秒時，△PCQ的面積是△ABC面積的．【詳解】解：∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，∴t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+4＝0，解得t＝2．即：運(yùn)動2秒時△PCQ的面積為△ABC面積的．故答案是：2．9．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價為1元，日銷售量將減少10千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利8000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【詳解】解：設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，由題意得：，解得，，要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=10，答：每千克應(yīng)漲價10元．10．直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應(yīng)定為多少元？（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【詳解】解：（1）設(shè)每件的售價定為x元，則有：，解得：(舍)，答：每件售價為50元；（2）設(shè)該商品至少打m折，根據(jù)題意得：，解得：，答：至少打八折銷售價格不超過50元．11．尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進(jìn)價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降價5元，則商店每天的平均銷量是________件（直接填寫結(jié)果）；（2）不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達(dá)到1280元，每件商品的定價應(yīng)為多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要銷售200件該商品，求商品的銷售單價．【詳解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．故答案為：280．（2）設(shè)每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，依題意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，整理，得：x2-8x+12=0，解得：x1=2，x2=6，∴25-x=23或19．答：每件商品的定價應(yīng)為23元或19元．（3）當(dāng)x=2時，40x+80=160＜200，不合題意，舍去；當(dāng)x=6時，40x+80=320＞200，符合題意，∴25-x=19．答：商品的銷售單價為19元．12．近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護(hù)局協(xié)同自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費(fèi)，如果超過a噸，除按10元收費(fèi)外，超過部分，另按每噸5a元收取水費(fèi)（水費(fèi)＋污水處理費(fèi)）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應(yīng)交水費(fèi)多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況；月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．【詳解】解：（1）3月份應(yīng)交水費(fèi)10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；（2）由題意得：5a（7﹣a）+10＝70，解得：a＝3或a＝45a（5﹣a）+10＝40解得：a＝3或a＝2，綜上，規(guī)定用水量為3噸．則規(guī)定用水量a的值為3．13．某商店購進(jìn)800個旅游紀(jì)念品，進(jìn)價為每個50元，第一周以每個80元的價格售出200個，第二周若按每個80元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10個，但售價不得低于進(jìn)價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀(jì)念品以及清倉處理，以每個40元的價格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利9000元．（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

40銷售量（件）

200（2）求第二周每個旅游紀(jì)念品的銷售價格為多少元？【詳解】解：（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

80-x

40銷售量（件）

200

200+10x

400-10x故答案為：80-x，200+10x，400-10x；（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，x2-20x+100=0，解得：x1=x2=10，當(dāng)x=10時，80-x=70．答：第二周每個旅游紀(jì)念品的銷售價格為70元．14．某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過人人均收費(fèi)元超過人每增加一人，人均收費(fèi)減少元，但人均收費(fèi)不低于元(1)甲公司員工分兩批參加該項(xiàng)旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項(xiàng)旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有人，，，（人）．故答案為：（2）設(shè)乙公司人，，，，若，每人費(fèi)用：，不符舍去，若，每人費(fèi)用：，符合，答：乙公司人．能力提升1．如圖,將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,得到△A′B′C′,當(dāng)兩個三角形重疊部分的面積為32時,它移動的距離AA′等于________.【詳解】設(shè)AA′=x,AC與A′B′相交于點(diǎn)E，∵△ACD是正方形ABCD剪開得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD?AA′=12?x，∵兩個三角形重疊部分的面積為32，∴x(12?x)=32，整理得,x?12x+32=0，解得x=4,x=8，即移動的距離AA′等4或8.2．中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動．如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)填空：________，________（用含t的代數(shù)式表示）；(2)是否存在t的值，使得的面積等于？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）（1）由題意得：BQ=2t，AP=t，則BP=5-AP=5-t．故答案為：2t，5-t．（2）（3）存在．由題意可得：的面積為，∵的面積等于，∴=4，解得：t1=1，t2=4（不符合題意，舍去），∴當(dāng)t=1時，△PBQ的面積等于4cm2．3．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動，當(dāng)P運(yùn)動到B點(diǎn)時P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代數(shù)式表示）(2)D是AC的中點(diǎn)，連接PD、QD，t為何值時△PDQ的面積為40cm2？【詳解】（1）根據(jù)題意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中點(diǎn)，∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位線，∴DHAB＝6cm，根據(jù)題意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即當(dāng)t＝2或4時，△PBQ的面積是40cm2．4．如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個頂點(diǎn)，，，動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動，一直到達(dá)點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(1)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形的面積為？(2)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時，點(diǎn)和點(diǎn)Q的距離第一次是？【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，cm，cm．依題意，得：，解得：．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時，四邊形的面積為．（2）（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．cm，cm，，即，解得：，（不合題意，舍去）．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm．拔高拓展1．如圖所示，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以的速度向點(diǎn)C移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以的速度向點(diǎn)C移動．(1)如果P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)某個點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時，運(yùn)動終止．問：幾秒鐘后的面積等于？(2)如果P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，且點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后立即返回，速度保持不變，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后同時停止運(yùn)動，那么在整個移動過程中，是否存在某一時刻，使得的面