婆羅摩笈多模型1．（2025?寧波模擬）如圖，在外分別以，為邊作正方形和正方形，連接，是中邊上的中線，延長交于點(diǎn)，求證：（1）；（2）；（3）．2．（2025?開江縣校級模擬）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱△是的“旋補(bǔ)三角形”，△邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”．【特例感知】（1）在圖2，圖3中，△是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形，且時(shí)，則長為．②如圖3，當(dāng)，且時(shí)，則長為．【猜想論證】（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長或延長，【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在四邊形中，，，，以為邊在四邊形內(nèi)部作等邊，連接，．若是的“旋補(bǔ)三角形”，請直接寫出的“旋補(bǔ)中線”長及四邊形的邊長．

3．（2025?匯川區(qū)模擬）我們定義：如圖1、圖2、圖3，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱△是的“旋補(bǔ)三角形”，△邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)叫做“旋補(bǔ)中心”．圖1、圖2、圖3中的△均是的“旋補(bǔ)三角形”．（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，“旋補(bǔ)中線”與的數(shù)量關(guān)系為：；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則“旋補(bǔ)中線”長為．（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想“旋補(bǔ)中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．4．（2025?海淀區(qū)校級模擬）小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，請問△邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過程：特例驗(yàn)證（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則長為．猜想論證（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在，請畫出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長度；若不存在，說明理由．

5．（2024秋?丹江口市期末）已知，中，，，是的中點(diǎn)，分別以，為邊向外作正方形，正方形，連接，的延長線交于點(diǎn)，（1）如圖1，若，求證：，；（2）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)在一條直線上，請畫出圖形，并直接寫出的長．6．（2024春?成華區(qū)期末）我們定義：在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱△叫的“旋補(bǔ)三角形”，△的邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”．下面各圖中，△均是的“旋補(bǔ)三角形”，均是的“旋補(bǔ)中線”．（1）如圖1，若為等邊三角形，，則的長等于；（2）如圖2，若，求證：；（3）如圖3，若為任意三角形，（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，給予證明；如果不成立，說明理由．

7．（2024春?南京期末）將的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，連接，作△的中線．【初步感知】（1）如圖①，當(dāng)，時(shí)，的長為；【探究運(yùn)用】（2）如圖②，為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【應(yīng)用延伸】（3）如圖③，已知等腰，，延長到，延長到，使，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周得到△，連接、，若，求的長度（用含、的代數(shù)式表示）．8．（2025秋?白云區(qū)校級期末）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．

9．（2025秋?南川區(qū)校級期中）已知：和均為等腰直角三角形，．連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接．（1）如圖1所示，若，，求的長．（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到圖2，求證：且．10．（2025秋?鼓樓區(qū)校級期中）【感知】如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，，且，求證：．【探究】如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長線上，，且，，連接交于點(diǎn)．求證：．【拓展】如圖③，點(diǎn)在四邊形內(nèi)，十，且，，過作交于點(diǎn)，若，延長交于點(diǎn)．求證：．

11．（2025?黑龍江）以的兩邊、為邊，向外作正方形和正方形，連接，過點(diǎn)作于，延長交于點(diǎn)．（1）如圖①，若，，易證：；（2）如圖②，；如圖③，，（1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個(gè)圖形進(jìn)行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由．12．（2025秋?亭湖區(qū)期中）【感知】如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且滿足是等腰直角三角形，．求證：．【探究】如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且滿足是等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊的延長線上，連接，以為直角邊作等腰，過點(diǎn)作，垂足為，連接交于點(diǎn)．求證：．【拓展】如圖3，點(diǎn)在四邊形內(nèi)，，且，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，使，延長交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

13．如圖：分別以的邊、為邊，向三角形的外側(cè)作正方形和正方形，為上的高，延長交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)．14．（2025?橋西區(qū)模擬）如圖①，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱△是的旋補(bǔ)三角形，△邊上的中線叫做的旋補(bǔ)中線．如圖②，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，△是的旋補(bǔ)三角形，是旋補(bǔ)中線，與的數(shù)量關(guān)系為：；當(dāng)時(shí)，則長為．

1．（2025?寧波模擬）如圖，在外分別以，為邊作正方形和正方形，連接，是中邊上的中線，延長交于點(diǎn)，求證：（1）；（2）；（3）．【解答】（1）證明：延長到點(diǎn)，使，連接，是中邊上的中線，，在和中，，，，，，，，在和中，，；（2）證明：由（1）得，，，，即；（3）證明：連接、，易證，，．2．（2025?開江縣校級模擬）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱△是的“旋補(bǔ)三角形”，△邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”．特例感知（1）在圖2，圖3中，△是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形，且時(shí)，則長為3．②如圖3，當(dāng)，且時(shí)，則長為．猜想論證（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長或延長，拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形中，，，，以為邊在四邊形內(nèi)部作等邊，連接，．若是的“旋補(bǔ)三角形”，請直接寫出的“旋補(bǔ)中線”長及四邊形的邊長．【解答】解：（1）①如圖2中，是等邊三角形，，，，，，，，，故答案為3．②如圖3中，，，，，，△，，，，故答案為3.5．（2）結(jié)論：．理由：如圖1中，延長到，使得，連接，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，△，，．（3）如圖4中，過點(diǎn)作于，取的中點(diǎn)，連接．是等邊三角形，，，，，是的“旋補(bǔ)三角形”，，，，，，，，，，的“旋補(bǔ)中線”長，，，也是的“旋補(bǔ)三角形”，．3．（2025?匯川區(qū)模擬）我們定義：如圖1、圖2、圖3，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱△是的“旋補(bǔ)三角形”，△邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)叫做“旋補(bǔ)中心”．圖1、圖2、圖3中的△均是的“旋補(bǔ)三角形”．（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，“旋補(bǔ)中線”與的數(shù)量關(guān)系為：；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則“旋補(bǔ)中線”長為．（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想“旋補(bǔ)中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【解答】解：（1）①如圖2中，是等邊三角形，，，，，，，，，故答案為．②如圖3中，，，，，，△，，，，故答案為4．（2）結(jié)論：．理由：如圖1中，延長到，使得，連接，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，△，，．4．（2025?海淀區(qū)校級模擬）小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，請問△邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過程：特例驗(yàn)證：（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則長為．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在，請畫出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長度；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）①是等邊三角形，，，，，，，，，，故答案為：；②，，，，在和△中，，△，，，，故答案為：4；（2）與的數(shù)量關(guān)系：；理由如下：延長到，使得，連接、，如圖1所示：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在和△中，，△，，；（3）存在；作于，作線段的垂直平分線交于，即為點(diǎn)的位置；理由如下：延長交的延長線于，線段的垂直平分線交于，連接、、，作的中線，連接交于，如圖4所示：，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，是線段的垂直平分線，，，在中，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，四邊形是矩形，，，是等邊三角形，，，，，與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系；在中，，，，．5．（2024秋?丹江口市期末）已知，中，，，是的中點(diǎn)，分別以，為邊向外作正方形，正方形，連接，的延長線交于點(diǎn)，（1）如圖1，若，求證：，；（2）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)在一條直線上，請畫出圖形，并直接寫出的長．【解答】（1）證明：方法一：如圖1中，四邊形，四邊形均為正方形，，且，，在和中，，，，，又是的中點(diǎn)，，，，，．方法二：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接．在和中，，，，，，四邊形，四邊形均為正方形，，且，，，在和中，，，，，，，，為中點(diǎn)，，．（2）如圖3中，結(jié)論不變．理由：在和中，，，，，，，四邊形，四邊形均為正方形，，，，且，，，在和中，，，，，，，為中點(diǎn)，，．（3）①如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，作于．易證：，可得，在中，，，，，，．②如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同法可得綜上所述，的值為．6．（2024春?成華區(qū)期末）我們定義：在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱△叫的“旋補(bǔ)三角形”，△的邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”．下面各圖中，△均是的“旋補(bǔ)三角形”，均是的“旋補(bǔ)中線”．（1）如圖1，若為等邊三角形，，則的長等于；（2）如圖2，若，求證：；（3）如圖3，若為任意三角形，（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，給予證明；如果不成立，說明理由．【解答】解：（1）如圖1中，是等邊三角形，，，，，，，，，（2）證明：如圖2中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，△，是△邊上的中線，．．．（3）結(jié)論成立．理由：如圖3中，延長到，使得，連接，．，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，△，．7．（2024春?南京期末）將的邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，連接，作△的中線．【初步感知】（1）如圖①，當(dāng)，時(shí)，的長為2；【探究運(yùn)用】（2）如圖②，為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【應(yīng)用延伸】（3）如圖③，已知等腰，，延長到，延長到，使，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周得到△，連接、，若，求的長度（用含、的代數(shù)式表示）．【解答】（1）解：，，，，，，△，，是直角三角形△斜邊的中線，．故答案為2．（2）證明：如圖①中，延長到，使得．連接，．，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，△，，．（3）①如圖②中，作的中線．在中，，，在中，，由（2）可知：．②如圖③中，作的中線，延長到，使得，則四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，△，，由①可知，，．8．（2025秋?白云區(qū)校級期末）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．【解答】解：（1）如圖1，直線，直線，，，，在和中，，，，，；（2）．如圖2，證明如下：，，，在和中．．，，，（3）如圖3，過作于，的延長線于．由（1）和（2）的結(jié)論可知在和中，，，，是的中點(diǎn)．9．（2025秋?南川區(qū)校級期中）已知：和均為等腰直角三角形，．連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接．（1）如圖1所示，若，，求的長．（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到圖2，求證：且．【解答】（1）解：如圖1中，與為等腰直角三角形，，，，，，由勾股定理可得：，，在中．在中，是的中點(diǎn)，則，（2）證明：如圖2中，延長到，使得，連接，，，，，，，，，，在和中，，，．．由，知，．10．（2025秋?鼓樓區(qū)校級期中）【感知】如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，，且，求證：．【探究】如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長線上，，且，，連接交于點(diǎn)．求證：．【拓展】如圖③，點(diǎn)在四邊形內(nèi)，十，且，，過作交于點(diǎn)，若，延長交于點(diǎn)．求證：．【解答】證明：（1），，，，，在和中，，，，，；（2）如圖②，過點(diǎn)作于，由（1）可知，，同（1）可得，，，，在和中，，，；（3）如圖③，在的延長線上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使，連接、，十，十，，，在和中，，，，，同理可得，，，，，，，，在和中，，，．11．（2025?黑龍江）以的兩邊、為邊，向外作正方形和正方形，連接，過點(diǎn)作于，延長交于點(diǎn)．（1）如圖①，若，，易證：；（2）如圖②，；如圖③，，（1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個(gè)圖形進(jìn)行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【解答】解：（1）證明：，，，，，，同理，，四邊形和四邊形為正方形，，．（2）如圖1，時(shí)，（1）中結(jié)論成立．理由：過點(diǎn)作交的延長線于，過點(diǎn)作于，四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，