2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試：抽樣調查方法與抽樣分布性質案例分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：請根據(jù)以下案例，結合所學知識，回答問題。案例一：某市教育部門欲了解全市高中學生對線上學習模式的滿意度，并希望得到該市平均滿意度的估計。已知全市共有高中學校50所，每校約有學生2000人。教育部門擁有一份包含所有學校名稱及校址的完整列表。過去的研究表明，高中生對線上學習滿意度的標準差約為0.75（滿意度評分范圍為0到1）?？紤]到學校之間學生在線上學習體驗可能存在差異，教育部門決定采用分層抽樣方法進行抽樣。他們計劃將學校按過去一年中考平均分劃分為三層：優(yōu)質高中、普通高中和薄弱高中，每層抽取10所學校進行調查。在每個被抽中的學校中，采用簡單隨機抽樣的方式抽取50名學生，詢問他們對線上學習模式的滿意度（0表示非常不滿意，1表示非常滿意），滿意度評分近似服從正態(tài)分布。問題：1.請解釋在此案例中，采用分層抽樣方法相較于簡單隨機抽樣的主要優(yōu)勢。2.假設在某層被抽中的10所學校中，對線上學習滿意度評分大于0.6的學生比例分別為：20%,15%,25%,18%,22%,14%,19%,23%,17%,21%。請計算該層的樣本比例，并構造一個95%的置信區(qū)間來估計該層學生滿意度評分大于0.6的比例。3.假設各層學校規(guī)模（學生人數(shù)）相等，且已知優(yōu)質高中、普通高中和薄弱高中在校生比例分別為40%，35%，25%。請根據(jù)分層抽樣結果，估計全市高中學生對線上學習滿意度評分大于0.6的總體比例，并計算該估計值的抽樣標準誤。4.若教育部門希望以95%的置信水平，使得估計全市高中生平均滿意度的抽樣標準誤不超過0.02，在不采用分層抽樣，直接進行簡單隨機抽樣時，至少需要抽取多少名學生？假設總體滿意度評分的標準差保持為0.75。案例二：某工廠生產一批零件，總數(shù)約為10000個。為檢驗該批零件的合格率，質檢部門決定采用整群抽樣進行抽樣檢驗。他們將10000個零件平均分成100群，每群100個零件。隨機抽取了5群，然后對抽中的每一群進行全群檢驗。檢驗結果顯示，抽中的5群中，合格零件數(shù)分別為：980,985,972,986,975。已知過去該工廠生產類似零件的合格率穩(wěn)定在98%，合格率的標準差約為0.01。問題：1.請簡述整群抽樣的基本步驟，并說明在本案例中，群的劃分是基于什么標準。2.根據(jù)本案例的檢驗結果，計算樣本合格率，并構造一個95%的置信區(qū)間來估計總體合格率。3.請解釋為什么在本案例中，即使總體數(shù)量較大，采用整群抽樣可能比簡單隨機抽樣更經濟或更方便實施？4.假設質檢部門認為，如果抽樣結果表明總體合格率低于97.5%，則需要立即停線檢查。根據(jù)本案例的計算結果，質檢部門是否應該采取停線檢查的措施？請說明理由。案例三：某市場調研公司想了解某城市18-35歲青年人對購買新能源汽車的意愿。他們通過手機短信向全市18-35歲的手機用戶發(fā)送了調查問卷，共發(fā)送問卷50000份，回收有效問卷4100份。問卷顯示，在回收的有效問卷中，表示愿意在未來一年內購買新能源汽車的青年人比例為22%。有效問卷中，18-25歲年齡段有1500人，其中愿意購買的比例為18%；26-35歲年齡段有2600人，其中愿意購買的比例為26%。問題：1.分析本案例中采用的抽樣方法可能存在哪些主要的非抽樣誤差，并舉例說明。2.請解釋樣本比例22%在本案例中可能高估或低估了總體比例的原因，并指出哪些因素可能導致這種偏差。3.調研公司認為，樣本量4100份已經足夠大，可以代表該城市18-35歲的青年人群體。請簡要說明判斷樣本量是否足夠常用的一個標準是什么，并分析在此案例中，僅憑樣本量大小來判斷其代表性可能存在哪些局限性。4.如果該調研公司想通過增加樣本量來提高估計的準確性，除了增加樣本量之外，還有哪些方法可以減少抽樣誤差或提高調查結果的質量？試卷答案案例一：1.分層抽樣可以將總體按某個重要標志劃分為若干層，然后在每層內進行隨機抽樣。這樣做的優(yōu)勢在于：*可以保證每個層內的單位分布更均勻，減小層內方差，從而提高抽樣效率（在相同樣本量下，分層抽樣估計的精度更高）。*可以確保每個層至少有一個單位被抽中，使得各層的信息都能被包含在樣本中。*便于按層進行管理和分析，滿足不同層別的特定研究需求。在本案例中，按學校中考平均分分層，可以使不同類型學校的學生體驗差異被分別考慮，提高對全市平均滿意度的估計精度。2.該層樣本比例p?=(20%*1500+15%*2600+...+21%*100)/(50*10)=(300+390+...+210)/500=1970/500=0.394。樣本比例的標準誤SE(p?)=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.394(1-0.394)/50]=sqrt[0.394*0.606/50]=sqrt[0.239164/50]=sqrt(0.00478328)≈0.06915。95%置信區(qū)間=p?±z**SE(p?)=0.394±1.96*0.06915=0.394±0.135494≈(0.258,0.529)。3.總體比例估計?=Σ(層內比例*層內比例占比)=0.394*0.40+0.25*0.35+0.20*0.25=0.1576+0.0875+0.05=0.2951?？傮w比例估計的標準誤SE(?)=sqrt[Σ(層內比例方差*層內比例占比/層內樣本量)]=sqrt[(0.394*(1-0.394))^2*0.40/500+(0.25*(1-0.25))^2*0.35/50+(0.20*(1-0.20))^2*0.25/50]≈sqrt[(0.239164^2*0.40/500)+(0.1875^2*0.35/50)+(0.16^2*0.25/50)]≈sqrt[0.0009046+0.0013281+0.00064]≈sqrt(0.0028727)≈0.0536。4.使用正態(tài)近似公式計算所需樣本量n?=(z**σ/E)2=(1.96*0.75/0.02)2=(1.96*37.5/0.02)2=(73.5/0.02)2=(3675)2=13455625。由于總體規(guī)模N=10000，需要使用有限總體校正系數(shù)f=(N-1)/n?=(10000-1)/13455625≈0.000745。校正后的樣本量n=n?/f=13455625/0.000745≈18084765。這個樣本量遠超總體規(guī)模，實際操作中通常不直接抽取如此巨大樣本。此時應考慮其他抽樣方法或接受較大的抽樣誤差，或者如果允許，增大允許的誤差范圍E。案例二：1.整群抽樣的基本步驟為：*將總體按某個標準劃分成若干群，確保群內單位同質性強，群間異質性弱。*確定抽樣方法（通常是隨機抽樣），從所有群中抽取若干個樣本群。*對抽中的每個群進行全單元調查（普查），或者對群內單位進行隨機抽樣調查。*根據(jù)群內調查數(shù)據(jù)計算樣本統(tǒng)計量，并推斷總體參數(shù)。在本案例中，將零件平均分成100群，每群100個，這是按生產流程或自然單元劃分的，屬于整群抽樣的常見劃分標準。2.總樣本量Nc=5*100=500。合格品總數(shù)=980+985+972+986+975=4888。樣本合格率p?=4888/500=0.9776。樣本合格率的標準誤SE(p?)=sqrt[(p?(1-p?))/(Nc*f)]=sqrt[(0.9776*(1-0.9776))/(500*10000/5000)]=sqrt[(0.9776*0.0224)/100]=sqrt[0.02187824/100]=sqrt(0.0002187824)≈0.0148。95%置信區(qū)間=p?±z**SE(p?)=0.9776±1.96*0.0148=0.9776±0.029008≈(0.9486,1.0066)。由于合格率不能超過1，區(qū)間上界應調整為1。故置信區(qū)間約為(0.9486,1.0000)。3.采用整群抽樣可能更經濟或方便的原因包括：*成本效益：抽中一個群后，需要對該群所有單位進行調查，比逐一尋找和調查大量分散的單位更節(jié)省交通、時間和人力成本。例如，前往一個生產車間檢驗100個零件，比分散到50個不同地點各檢驗2個零件更方便高效。*實施便利：有時群的自然界限（如生產班次、倉庫貨架）使得抽樣和實施調查更為容易管理。*無需詳細抽樣框：整群抽樣只需要一個包含群的列表，而簡單隨機抽樣需要包含總體所有單元的詳細列表，這在單元數(shù)量巨大時難以獲取。4.根據(jù)計算結果，95%的置信區(qū)間下界為0.9486，遠高于97.5%。因此，基于本次抽樣結果，沒有充分證據(jù)表明總體合格率低于97.5%。質檢部門不應該僅憑此抽樣結果就采取停線檢查的措施。當然，如果實際合格率（0.9776）也顯著低于預設標準，則可能需要關注生產過程，但決定停線應基于更全面的信息或更高的置信水平下的推斷。案例三：1.主要的非抽樣誤差包括：*抽樣框誤差：發(fā)送調查問卷的“全市18-35歲手機用戶”列表可能未能覆蓋所有目標青年人（如未包含未使用手機、使用固定電話或只有非本地SIM卡的青年人），或覆蓋了非青年人，導致抽樣框與目標總體不匹配。*無回答誤差：只有4100份有效問卷，回收率(4100/50000)=8.2%，回收率偏低。無回答者可能與回答者在特征或意愿上存在系統(tǒng)性差異，導致樣本代表性偏差。*測量誤差：問卷設計可能存在歧義，導致被調查者理解不一致；訪問員（如果是電話或面訪）的引導或記錄可能存在偏差；被調查者可能因社會期許效應而給出不真實的答案。*訪問員誤差：（如果涉及訪問員）訪問員的挑選、培訓、監(jiān)督不到位可能導致調查過程不規(guī)范，影響數(shù)據(jù)質量。2.樣本比例22%可能存在偏差的原因：*抽樣框偏差：如上所述，手機用戶列表可能無法代表所有青年人，例如，農村青年、低收入群體或特定職業(yè)群體手機滲透率可能較低，如果他們購買意愿不同，則樣本比例會偏離總體比例。*無回答偏差：低回收率意味著樣本可能不能代表總體。例如，對購買新能源汽車意愿強烈的青年人可能更愿意參與調查并回復，而意愿不強的則可能忽略或拒絕回復，導致回復樣本中比例偏高。*樣本選擇偏差：即使是手機用戶，也可能存在選擇偏差，如僅抽樣了特定運營商或特定區(qū)域的服務。3.判斷樣本量是否足夠常用的標準是抽樣誤差的大小，即要求的置信區(qū)間寬度。理論上，樣本量越大，抽樣誤差越小，估計越精確。常用的公式如n?=(z**σ/E)2用于估計均值所需的樣本量，p?(1-p?)/n用于估計比例所需的樣本量。然而，僅憑樣本量大小判斷代表性存在局限性：*抽樣方法影響：樣本量足夠大不一定能彌補抽樣方法本身的缺陷（如案例一中的分層未按最優(yōu)方式、案例二中的整群抽樣效率損失、案例三中可能的抽樣框偏差）。*總體變異程度：σ2或p(1-p)越大，所需樣本量越大。如果僅憑經驗或理論估計的方差值不準確，會導致樣本量不足或過多。*非抽樣誤差：樣本量再大，如果非抽樣誤差（如無回答、測量誤差）嚴重，也無法保證結果的準確性或代表性。*置信水平選擇：不同的置信水平對應不同的z*值，直接影響所需樣本量。4.除了增加樣本量，提高估計準確性或調查質量的方法還有：*改進抽樣設計：采用更有效的抽樣方法，如在案例一中更精細地分層或采用與調查目標更匹配的抽