2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策案例解析模擬試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某連鎖超市希望了解其顧客的消費行為，并希望根據(jù)顧客的消費金額進行精準營銷。為此，超市隨機抽取了其某門店過去一個月的100張顧客交易小票，記錄了顧客的消費金額（單位：元）以及是否屬于會員（是/否）。初步整理發(fā)現(xiàn)，會員顧客的平均消費金額略高于非會員顧客，但差異是否顯著？此外，超市還想分析性別與消費金額之間是否存在關(guān)聯(lián)，以及消費金額是否符合正態(tài)分布。基于上述信息，請結(jié)合你學過的統(tǒng)計知識，回答以下問題：1.若要比較會員顧客與非會員顧客的平均消費金額是否存在顯著差異，應(yīng)選擇什么樣的統(tǒng)計方法？請簡述該方法的基本原理和適用條件。2.假設(shè)通過統(tǒng)計軟件分析得到，會員顧客的平均消費金額為`X_bar_m`元，標準差為`s_m`元；非會員顧客的平均消費金額為`X_bar_nm`元，標準差為`s_nm`元。樣本量分別為`n_m`和`n_nm`。請寫出該假設(shè)檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)。并簡述如果需要進行假設(shè)檢驗，如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量？3.超市懷疑性別（男/女）與消費金額可能有關(guān)聯(lián)。請說明如何利用所給數(shù)據(jù)檢驗這一想法，需要計算哪些統(tǒng)計量？并簡述你的分析步驟。4.超市計劃對消費金額較高的顧客進行特別優(yōu)惠活動。在制定活動標準時，考慮將消費金額是否服從正態(tài)分布作為參考。請說明你會如何利用所給數(shù)據(jù)檢驗消費金額的正態(tài)性？可以運用哪些統(tǒng)計方法或指標來進行判斷？二、某制造企業(yè)生產(chǎn)一種關(guān)鍵零件，零件的直徑是重要的質(zhì)量指標。已知長期生產(chǎn)經(jīng)驗表明，該零件直徑服從正態(tài)分布，標準差`sigma`穩(wěn)定在0.05毫米。為了監(jiān)控近期生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，質(zhì)檢部門決定每天抽取25個零件，測量其直徑，并計算樣本標準差。連續(xù)抽取了10天，得到了10個樣本標準差的數(shù)據(jù)（單位：毫米）：`s_1,s_2,...,s_{10}`。這些數(shù)據(jù)如下：0.048,0.052,0.051,0.046,0.053,0.050,0.054,0.049,0.052,0.051企業(yè)關(guān)心的是生產(chǎn)過程的標準差是否發(fā)生了變化。請回答以下問題：1.為了檢驗生產(chǎn)過程的標準差是否顯著大于已知的`sigma=0.05`毫米，應(yīng)選擇什么樣的統(tǒng)計推斷方法？請說明該方法的基本原理。2.請寫出該假設(shè)檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)。3.假設(shè)你選擇使用`alpha=0.05`的顯著性水平進行檢驗。請計算檢驗統(tǒng)計量的值，并說明如何根據(jù)該值做出統(tǒng)計決策（接受或拒絕零假設(shè)）？4.請簡述如果計算得到的樣本標準差普遍偏小，你將如何解釋這一現(xiàn)象，并從統(tǒng)計角度提出可能的后續(xù)調(diào)查方向？三、某公司人力資源部希望評估兩種不同的培訓方法（方法A和方法B）對員工某項技能考核成績的影響。他們隨機選取了30名員工，將其隨機分成兩組，每組15人。第一組采用方法A培訓，第二組采用方法B培訓。培訓結(jié)束后，對兩組員工進行了技能考核，考核成績（單位：分）如下：*方法A組（`X_A1,X_A2,...,X_A15`）：成績數(shù)據(jù)省略*方法B組（`X_B1,X_B2,...,X_B15`）：成績數(shù)據(jù)省略初步計算發(fā)現(xiàn)，方法A組員工的平均考核成績?yōu)閌X_bar_A`分，標準差為`s_A`分；方法B組員工的平均考核成績?yōu)閌X_bar_B`分，標準差為`s_B`分。請回答以下問題：1.考慮到兩組樣本量相等，如果要比較兩種培訓方法在考核成績上的平均效果是否存在顯著差異，應(yīng)選擇什么樣的統(tǒng)計方法？請簡述該方法的基本原理。2.請寫出該假設(shè)檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)。3.假設(shè)你選擇使用`alpha=0.05`的顯著性水平進行檢驗。請簡述進行該檢驗所需的統(tǒng)計步驟，包括計算檢驗統(tǒng)計量的公式和步驟。4.請說明在解釋檢驗結(jié)果時，除了關(guān)注統(tǒng)計上是否存在顯著差異外，還需要考慮哪些因素？并簡述如果發(fā)現(xiàn)兩種方法考核成績有顯著差異，人力資源部應(yīng)該如何基于統(tǒng)計結(jié)果做出決策？試卷答案一、1.應(yīng)選擇獨立樣本t檢驗（IndependentSamplest-test）。該方法用于比較兩個獨立群體的均值是否存在顯著差異?；驹硎菢?gòu)建一個t統(tǒng)計量，用以衡量兩個樣本均值差異的大小相對于樣本內(nèi)部變異的大小。適用條件包括：①兩個樣本相互獨立；②兩個樣本來自的總體應(yīng)服從正態(tài)分布；③兩個總體的方差相等（或近似相等）?？梢酝ㄟ^Levene's檢驗來檢驗方差齊性。2.零假設(shè)H0：會員顧客的平均消費金額與非會員顧客的平均消費金額無顯著差異（即`mu_m=mu_nm`或`mu_m-mu_nm=0`）。備擇假設(shè)H1：會員顧客的平均消費金額與非會員顧客的平均消費金額存在顯著差異（即`mu_m!=mu_nm`或`mu_m-mu_nm!=0`）。如果進行獨立樣本t檢驗，檢驗統(tǒng)計量通常計算為`t=(X_bar_m-X_bar_nm)/sqrt(s_m^2/n_m+s_nm^2/n_nm)`，其中`s_m^2`和`s_nm^2`分別是兩組樣本的方差，`n_m`和`n_nm`分別是兩組樣本的樣本量。如果方差不齊，則使用修正后的公式。3.可以利用卡方檢驗（Chi-squaretestforindependence）來檢驗性別與消費金額是否關(guān)聯(lián)。需要計算性別與消費金額交叉列聯(lián)表中的觀測頻數(shù)。然后，計算期望頻數(shù)。運用卡方統(tǒng)計量公式`chi^2=sum((O_i-E_i)^2/E_i)`，其中`O_i`是觀測頻數(shù)，`E_i`是期望頻數(shù)。將計算得到的卡方值與自由度為`(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)`的卡方分布臨界值進行比較，或計算p值來判斷是否拒絕零假設(shè)（即性別與消費金額無關(guān)）。4.可以利用以下方法檢驗消費金額的正態(tài)性：①繪制直方圖或莖葉圖觀察數(shù)據(jù)分布形態(tài)是否近似鐘形；②繪制正態(tài)概率圖（Q-Qplot）觀察數(shù)據(jù)點是否大致落在參考線上；③進行正態(tài)性檢驗，如Shapiro-Wilk檢驗（適用于小樣本）或Kolmogorov-Smirnov檢驗（適用于大樣本），根據(jù)檢驗的p值判斷是否拒絕數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布的零假設(shè)。二、1.應(yīng)選擇單樣本χ2檢驗（Chi-squaregoodness-of-fittest）的變體，或者更準確地說是基于樣本方差與總體方差比較的假設(shè)檢驗。由于總體分布已知為正態(tài)分布，可以計算樣本方差`s^2`，然后構(gòu)建一個χ2統(tǒng)計量`chi^2=(n-1)s^2/sigma^2`，其中`n`是樣本量（25），`s^2`是樣本方差，`sigma^2`是已知的總體方差。通過比較該統(tǒng)計量的值與自由度為`n-1`的χ2分布臨界值，或比較p值與顯著性水平α，來檢驗樣本方差是否顯著大于總體方差。2.零假設(shè)H0：近期生產(chǎn)過程的標準差`sigma`不大于已知的`sigma_0=0.05`毫米（即`sigma<=0.05`）。備擇假設(shè)H1：近期生產(chǎn)過程的標準差`sigma`顯著大于已知的`sigma_0=0.05`毫米（即`sigma>0.05`）。這是一個右側(cè)檢驗。3.計算檢驗統(tǒng)計量：首先計算10個樣本標準差的平均值`bar_s=(0.048+0.052+...+0.051)/10=0.0511`毫米。然后計算檢驗統(tǒng)計量`chi^2=(n-1)*bar_s^2/sigma_0^2=(25-1)*(0.0511)^2/(0.05)^2=24*0.00261121/0.0025=24.9909`。查自由度為9的χ2分布表，顯著性水平為0.05的右側(cè)臨界值為`chi^2_{0.05,9}=16.919`。由于計算得到的`chi^2=24.9909>16.919`，或計算p值（p<0.05），因此拒絕零假設(shè)。4.樣本標準差普遍偏小意味著近期生產(chǎn)過程的產(chǎn)品變異程度在減小，穩(wěn)定性可能有所提高。從統(tǒng)計角度看，可以進一步檢查這10個樣本標準差的具體數(shù)值，看是否存在異常點或趨勢變化?？梢允占鄻颖緮?shù)據(jù)，重新進行假設(shè)檢驗，以確認標準差是否持續(xù)保持較低水平。也可以分析生產(chǎn)過程中可能發(fā)生的變化（如設(shè)備調(diào)整、工藝改進、原材料變化等）來解釋標準差減小的原因。三、1.應(yīng)選擇配對樣本t檢驗（PairedSamplest-test）或獨立樣本t檢驗（IndependentSamplest-test），取決于分組是否隨機且組間是否獨立。在本題情境下，員工被隨機分成兩組接受不同培訓，且兩組員工之間不存在pairing關(guān)系，因此應(yīng)選擇獨立樣本t檢驗。該方法用于比較兩個獨立群體的均值是否存在顯著差異。基本原理是構(gòu)建一個t統(tǒng)計量，用以衡量兩個樣本均值差異的大小相對于樣本內(nèi)部變異的大小。適用條件包括：①兩個樣本相互獨立；②兩個樣本來自的總體應(yīng)服從正態(tài)分布（特別是均值差異的分布）；③兩個總體的方差相等（或近似相等）?？梢酝ㄟ^Levene's檢驗來檢驗方差齊性。2.零假設(shè)H0：兩種培訓方法對員工考核成績的平均效果無顯著差異（即`mu_A=mu_B`或`mu_A-mu_B=0`）。備擇假設(shè)H1：兩種培訓方法對員工考核成績的平均效果存在顯著差異（即`mu_A!=mu_B`或`mu_A-mu_B!=0`）。3.進行獨立樣本t檢驗的步驟：①檢驗方差齊性（如使用Levene's檢驗）。②如果方差齊性，使用公式`t=(X_bar_A-X_bar_B)/sqrt((s_A^2/n_A+s_B^2/n_B)/2)`計算檢驗統(tǒng)計量，自由度為`n_A+n_B-2`。③如果方差不齊，使用公式`t=(X_bar_A-X_bar_B)/sqrt(((n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2)/(n_A+n_B-2)*(1/n_A+1/n_B))`計算檢驗統(tǒng)計量，自由度使用Satterthwaite公式計算。④將計算得到的t值與自由度對應(yīng)