第一章

勾股定理

1.3勾股定理的應(yīng)用八年級(jí)上│BS1.能夠運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.經(jīng)歷觀察、猜想、動(dòng)手實(shí)踐、驗(yàn)證的活動(dòng)過程，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”“方程”“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想.學(xué)習(xí)目標(biāo)：回顧

1.勾股定理的內(nèi)容是什么?直角三角形a2+b2=c22.勾股定理的逆定理是什么？a2+b2=c2直角三角形ABC同學(xué)們，我們已經(jīng)清楚回顧了勾股定理及其逆定理的內(nèi)容.那在實(shí)際生活中，這些知識(shí)能幫我們解決什么樣的問題呢？本節(jié)課我們一起來看看吧？問題1

裝修工人李叔叔想檢測(cè)某塊裝修用磚(如下圖)的邊AD

和邊

BC

是否分別垂直于底邊

AB.(1)如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務(wù)嗎?解：連接對(duì)角線BD，用卷尺測(cè)量邊

AD

、AB

和

BD

的長度即可.若在△ABD中，滿足AD2+AB2=BD2，根據(jù)勾股定理的逆定理，可知∠A=90°，即

AD⊥AB；對(duì)AC同理.可以利用勾股定理的逆定理來解決.如果一個(gè)三角形三邊滿足a2+b2=c2，那它就是直角三角形.(2)李叔叔測(cè)得邊AD長30cm，邊AB長40cm，點(diǎn)B，D之間的距離是50cm.邊

AD

垂直于邊AB嗎?解：因?yàn)锳D2+AB2=302+402=2500=502=BD2，所以△ABD是直角三角形，所以∠DAB=90°，即邊

AD

垂直于邊

AB.如果條件變一變，你還會(huì)判斷嗎？(3)如果李叔叔隨身只帶了一個(gè)長度為20cm的刻度尺，那么他能檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊

AB

嗎?解：在

AD上取點(diǎn)E，使

AE=3cm，在

AB上取點(diǎn)F，使

AF=4cm(截取的長度均在20cm刻度尺測(cè)量范圍內(nèi))；測(cè)量

EF的長度是否為5cm；若是，則垂直；若不是，則不垂直.FE例1如圖

，正方形紙片ABCD的邊長為8cm，點(diǎn)E是邊

AD

的中點(diǎn)，將這個(gè)正方形紙片翻折，使點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，折痕交邊AB于點(diǎn)

G，交邊CD

于點(diǎn)

F.你能求出

DF

的長嗎?解：由題意得，AE=4cm.由折疊性質(zhì)可知，EF=CF，設(shè)

DF=xcm，則

CF=EF=(8?x)cm，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理

DE2+DF2=EF2，即42+x2=(8?x)2，解得x=3,即DF的長為3cm.關(guān)于勾股定理有關(guān)的折疊問題，本質(zhì)上是把折疊當(dāng)做題目中的一個(gè)條件，重點(diǎn)要理解折疊前后，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的相等，從圖中尋找構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理計(jì)算長度.變式

如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，使B，D恰好都落在M處，已知DF=1，則EF的長為__________.解：由圖形折疊可得BE=EM，DF=FM=1，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為

4，所以CF=4-1=3，CE=4-EM，在Rt△ECF中，所以EF2=EC2+CF2，所以(1+EM)2=32+(4-EM)2，解得EM=2.4，所以EF=1+2.4=3.4．3.4例2今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？(選自《九章算術(shù)》) ABCO題目大意：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為1丈(1丈=10尺)的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少?例2今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何?(選自《九章算術(shù)》) 解：設(shè)水池的深度

OA為x尺，則蘆葦?shù)拈L度OB為(x+1)尺.由于蘆葦位于水池中央，所以AC為5尺.在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2+OA2=OC2，即52+x2=(x+1)2.解得

x=12.12+1=13.因此，水池的深度是12尺，蘆葦?shù)拈L度是13尺.ABCO變式

《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫(讀kǔn，門檻的意思)一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖①、②(圖②為圖①的平面示意圖)，推開雙門，雙門間隙的距離為2寸，點(diǎn)和點(diǎn)距離門檻都為1尺(1尺＝10寸)，則AB的長是(

)A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸C1.數(shù)學(xué)思想實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化建模2.利用勾股定理+方程思想解決問題在直角三角形中(已知兩邊的數(shù)量關(guān)系)設(shè)其中一條邊為x利用勾股定理列方程解方程求各邊長歸納總結(jié)注意：(1)一般求哪條線段就設(shè)哪條線段為x;(2)把已知和要求的問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；(3)如果已知和要求的問題集中在兩個(gè)直角三角形中，我們可以利用它們的公共邊或相等的邊列方程(如若沒有直角三角形需要學(xué)生自行構(gòu)造)歸納總結(jié)1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊

AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)

B與點(diǎn)

A重合，折痕為

DE，則

BE的長為（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmB課堂練習(xí)：2.現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車上的云梯救人如圖.已知云梯最多只能伸長到15m，消防車高3m，救人時(shí)云梯伸長至最長，在完成從12m高的B處救人后，還要從15mm高的D處救人，這時(shí)消防車要從原處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米?解：由題意得：OE=3，BE=12，DE=15，CD=AB=15，所以O(shè)B=BE-OE=12-3=9,OD=DE-OE=15-3=12,在Rt△AOB中：在Rt△COD中:所以AC=OA-OC=12-9=3.所以消防車要從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3米．3.如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點(diǎn)A處繞著點(diǎn)O經(jīng)過最低點(diǎn)B，最終蕩到最高點(diǎn)C處，若∠AOC=90，點(diǎn)A與點(diǎn)B的高度差A(yù)D=1米，水平距離BD=4米，則點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE為多少米？解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OB，過點(diǎn)C作CG⊥OB，GH123則四邊形ADBH和四邊形CEBG都是矩形，由題意得：OA=OB=OC，由矩形的性質(zhì)得，AH=BD=4，BH=AD=1，CE=BG,在Rt△AHO中，OH2+AH2=OA2，即(OB-BH)2+AH2=OA2，則(OA-1)2+42=OA2，解得因?yàn)椤?+∠3=∠1+∠3=90°所以∠2=∠1又因?yàn)椤螼GC=∠AHO=90°，OC=OA，所以△OGC≌△AHO(AAS)，所以O(shè)G=AH=4，所以BG=OB-OG=OA-OG=8.5-4=4.5，則CE=BG=4.5(米)故點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE為4.5米.GH1234.(真實(shí)問題情境)卡車在行駛過程中會(huì)對(duì)周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一輛卡車沿公路MN由點(diǎn)M向點(diǎn)N行駛，已知點(diǎn)P處為一棟居民樓，且點(diǎn)P與點(diǎn)M，N之間的距離分別為150米和200米，MN＝250米，已知卡車周圍130米以內(nèi)為受噪聲影響的區(qū)域．(1)求居民樓P到公路MN的距離；解得AP＝120米，答：居民樓P到公路MN的距離為120米；因?yàn)镸P＝150米，NP＝200米，MN＝250米，所以MP2＋NP2＝62500＝MN2，所以△MNP是直角三角形．因?yàn)镾△MNP＝

MP·NP＝

MN·AP，所以MP·NP＝MN·AP，即150×200＝250AP，解：如圖，過點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A.A解：如圖，當(dāng)卡車在BC段行駛時(shí)，會(huì)影響P處的居民樓．由題意可知，BP＝CP＝130米，在Rt△ABP中，因?yàn)锽A2＝BP2－PA2＝1302－1202＝2500，所以BA＝CA＝50米，所以BC＝100米．因?yàn)榭ㄜ嚨男旭偹俣葹槊糠昼?000米，所以100÷1000＝0.1(分鐘)＝6(秒)．答：卡車的噪聲影響該居民樓的時(shí)間會(huì)持續(xù)6秒．(2)若卡車的行駛速度為每分鐘1000米，則