第四章

一次函數(shù)八年級上│BS4.2認識一次函數(shù)4.2.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)1.理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念以及它們的聯(lián)系.2.能結合具體情境體會一次函數(shù)的意義，并能寫出一次函數(shù)的關系式.學習目標：小萍一家準備自駕川藏線，從成都出發(fā)前往西藏，全程約2100公里.出發(fā)前，爸爸給小萍布置了一個特別的“任務”，幫全家規(guī)劃這次旅行.西藏新課導入：任務一

出發(fā)前的準備出發(fā)前，爸爸帶著小萍去加油站加油.當天汽油單價是8元/升.8元/升x/L012345y/元0816243240這是加油的總價y(單位：元)和加油量x(單位：L)之間的關系，隨著加油量x的增加，加油總價y的變化是“均勻”的嗎？新知學習：x/L012345y/元0816243240+8+8+8+8+8是均勻的，加油量每增加1升，加油總價都增加8元.問題1

寫出y與x之間的關系式，并說明理由.解：y與x之間的關系式為：

y=8x.任務二

油耗的計算出發(fā)后，汽車在高速公路上保持著穩(wěn)定的速度行駛.汽車油箱中原有汽油40L，汽車每行駛50km耗油4L，你能將行駛路程x(單位：km)和耗油量y(單位：L)之間的關系做成表格樣子嗎？行駛路程x/km050100150200250300耗油量y/L問題2

(1)完成下表：行駛路程x/km050100150200250300耗油量y/L(2)寫出耗油量y與汽車行駛路程x之間的關系式.解:由題意可得每行駛1km耗油量為L，

所以y=0.08x.04812162024(3)寫出油箱剩余油量z(單位：L)與汽車行駛路程x之間的關系式.解：由題意可得原有汽油40L，并且剩余油量=原有油量-耗油，所以z=40-0.08x任務三

費用的計算在旅途中，除了加油費用，每天還會產(chǎn)生餐飲、住宿等費用，大約每天1000元.問題3

加油總費用為2000元，行駛天數(shù)為x天，寫出這次旅行的總費用

W(元)與行駛天數(shù)x之間的函數(shù)關系式.解：由題意可得加油總費用為2000元，并且旅行總費用=加油總費用+其他費用，所以W=1000x+2000.問題4

(1)在以上的規(guī)劃中，我們得到

①y=8x；

②y=；

③

z=40-；

④W=1000x+2000.他們有什么共同的特征？共同特征：(1)兩個變量的次數(shù)都是一次；(2)自變量x

的系數(shù)都不為0；(3)常數(shù)b可以是任意實數(shù)；(4)都含有兩個變量的等式.如果兩個變量x，y之間的對應關系可以表示成y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的一次函數(shù).特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數(shù).歸納總結對一次函數(shù)而言，自變量每增加1，函數(shù)值就增加k，函數(shù)值的變化是“均勻”的.例1

判斷下列函數(shù)是否為一次函數(shù)，若是，寫出k

和b

的值.(1)y=8x是，k=8，b=0

不是一次函數(shù)，自變量的次數(shù)不是1

不是一次函數(shù)，自變量x的次數(shù)是-1次例2寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)?是否為正比例函數(shù)?(1)汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y(單位：km)與行駛時間x(單位：h)之間的關系；(2)圓的面積y(單位：cm2)與它的半徑x(單位：cm)之間的關系；解：由路程=速度×時間，得y=60x，y是x的一次函數(shù)，也是x的正比例函數(shù)；解：由圓的面積公式，得y=πx2，y不是x的正比例函數(shù)，也不是x的一次函數(shù)；例2寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)?是否為正比例函數(shù)?(3)某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，經(jīng)過xh這個水池內(nèi)有水ym3.解：這個水池每小時增加水5m3，xh增加水5xm3，因而y=15+5x，y是x的一次函數(shù)，但不是x的正比例函數(shù).注意：正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).變式

下列問題中，兩個變量成正比例的是()A．圓的面積

S與它的半徑

rB．三角形面積一定時，某一邊

a和該邊上的高

hC．正方形的周長C與它的邊長

aD．周長不變的長方形的長

a與寬

bC探究

(1)例2中，兩個一次函數(shù)的一次項系數(shù)k和常數(shù)項b分別是多少，它們的實際意義是什么？①

汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y(單位：km)與行駛時間x(單位：h)之間的關系為y=60x

.k=60，b=0；k=60表示每小時汽車行駛路程的的變化量.探究

(1)例2中，兩個一次函數(shù)的一次項系數(shù)k和常數(shù)項b分別是多少，它們的實際意義是什么？②

某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，經(jīng)過xh這個水池內(nèi)有水

y=15+5xm3k=5，b=15；k=5表示每1h進水5m3，b=15表示水池一開始有水15m3.探究

(2)一般地，k，b對一次函數(shù)y=kx+b有怎樣的影響？在實際問題中，k和b有具體的現(xiàn)實意義，需具體問題，具體分析.當k≠0，b=0時，y=kx為正比例函數(shù)，例如，若y表示路程，x表示時間，k可能表示速度；當k≠0，b≠0時，y=kx+b為一次函數(shù)，例如，若y表示蓄水池內(nèi)水的體積，x表示時間，k可能進水速度.例3物理實驗課上，小李用彈簧懸掛不同質量的砝碼，測量出了一組數(shù)據(jù)(彈簧長度y/cm與砝碼質量x/kg)，記錄在表格中，并得出以下結論，其中不正確的是()A.x是自變量，y是因變量B.彈簧不掛砝碼時的長度為0cmC.砝碼每增加1kg，彈簧伸長0.5cmD.在彈簧的彈性范圍內(nèi)，y與x之間的關系式是y＝10＋0.5xx/kg012345y/cm1010.51111.51212.5B變式

在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過1s其速度減少35km/h.(1)假設該汽車以120km/h的速度行駛，試寫出該汽車剎車后的速度y(單位：km/h)與剎車后所經(jīng)過的時間t(單位：s)之間的關系式y(tǒng)=kt+b，并說明k和b的實際意義；

解：剎車開始時汽車的速度為120km/h，每過1s汽車的速度減少35km/h，于是經(jīng)過ts汽車的速度減少了35tkm/h，所以

y與

t的關系式是y=-35t+120.其中，k=-35表示每秒汽車速度的變化量，b=120表示剎車開始時汽車的速度.變式

在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過1s其速度減少35km/h.(2)求出(1)中汽車從剎車到停止所需的時間(結果精確到0.01s).解：汽車停止時速度y=0，解方程0=-35t+120，得t=≈3.43.因此，該汽車從剎車到停止所需的時間大約為3.43s.一次函數(shù)的特征:(1)自變量x的次數(shù)是1；(2)一次項系數(shù)k≠0；(3)常數(shù)b可以是任意實數(shù).2.下列函數(shù)：(1)y＝5x；(2)y＝0.2x﹣1；(3)

；(4)y＝x2﹣1；(5)

中，是一次函數(shù)的有()個．A．4 B．3 C．2 D．11.(2025上海)下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是()．A．y＝3x+1 B．y＝3x2

C． D．DB課堂練習：3.(新定義閱讀理解題)把(a，b)叫做一次函數(shù)y=ax+b(a≠0，a，b為實數(shù))的“相關數(shù)”，若“相關數(shù)“為(m-2，m2-4)的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，求該正比例函數(shù)的關系式.解：設“相關數(shù)”為(m-2，m2-4)的一次函數(shù)是y=(m-2)x+(m2-4)，所以正比例函數(shù)的關系式為y=-4x.

解得m＝﹣2．

解：由(1)知m=-2，表達式y(tǒng)=(m-2)x3-|m|+m+7故原方程為當y＝3時，3＝-4x+5，解得x＝

，故當x＝

時，y的值為3．5.某橙子種植農(nóng)戶現(xiàn)有20噸橙子需要銷售，經(jīng)市場調查，采用批發(fā)、零售兩種銷售方式，這兩種銷售方式每天的銷量及每噸所獲的利潤如表：假設該種植戶售完20噸橙子，共批發(fā)了x噸，所獲總利潤為y元．(1)求出y與x之間的函數(shù)關系式；解：由題意可得，y＝1200x+2000(20﹣x)＝﹣800x+40000，即y與x之間的函數(shù)關系式是y＝﹣800x+40000.銷售方式批發(fā)零售銷量(噸/天)52利潤(元/噸)12002000(2)因人手不夠，該種植戶每天只能采用一種銷售方式銷售，且正好7天銷售完所有橙子，試計算該種植戶所獲總利潤是多少元？解：設批發(fā)a天，則零售(7﹣a)天，5a+2(7﹣a)＝20，解得，a＝2，則x＝5a＝10，故y