試題試題試題試題2025年高考全國一卷數(shù)學(xué)真題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．(1+5i)iA．?1 B．0 C．1 D．62．設(shè)全集U={xx是小于9的正整數(shù)}，集合A={1,3,5}A．0 B．3 C．5 D．83．若雙曲線C的虛軸長為實(shí)軸長的7倍，則C的離心率為（

）A．2 B．2 C．7 D．24．若點(diǎn)(a,0)(a>0)是函數(shù)y=2tanx?π3的圖像的一個對稱中心，則A．π6 B．π3 C．π25．設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)=5?2x，則f?34A．?12 B．?14 C．6．帆船比賽中，運(yùn)動員可借助風(fēng)力計(jì)測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級、名稱與風(fēng)速大小的對應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動員在某時刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（

）等級風(fēng)速大小m/s名稱21.6~3.3輕風(fēng)33.4~5.4微風(fēng)45.5~7.9和風(fēng)58.0~10.7勁風(fēng)A．輕風(fēng) B．微風(fēng) C．和風(fēng) D．勁風(fēng)7．若圓x2+(y+2)2=r2A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+∞) 8．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足2+log2x=3+log3y=5+log5zA．x>y>z B．x>z>yC．y>x>z D．y>z>x二、多選題9．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，A．AD⊥A1C B．C．AD//A1B1 10．設(shè)拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于AB的直線交l:x=?32于E，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線lA．|AD|=|AF| B．|AE|=|AB|C．|AB|≥6 D．|AE|?|BE|≥1811．已知△ABC的面積為14，若cos2A+cosA．sinC=sin2C．sinA+sinB=三、填空題12．若直線y=2x+5是曲線y=ex+x+a的切線，則13．若一個等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)和為4，前8項(xiàng)和為68，則該等比數(shù)列的公比為.14．一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標(biāo)號，若每次取一顆，有放回地取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望E(X)=.四、解答題15．為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001000(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計(jì)值；(2)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附χ2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816．設(shè)數(shù)列an滿足a1(1)證明：na(2)設(shè)f(x)=a1x+17．如圖所示的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)PA=AB=2,AD=1+3,BC=2，P，B，C，（i）證明：O在平面ABCD上；（ⅱ）求直線AC與直線PO所成角的余弦值．18．設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知動點(diǎn)P不在y軸上，點(diǎn)R在射線AP上，且滿足AR?（i）設(shè)P(m,n)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)（用m，n表示）；（ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q是橢圓上的動點(diǎn)，直線OR的斜率為直線OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值．19．（1）設(shè)函數(shù)f(x)=5cosx?cos5x，求（2）給定θ∈(0,π)，設(shè)a為實(shí)數(shù)，證明：存在y∈[a?θ,a+θ]，使得（3）設(shè)b∈R，若存在φ∈R使得5cosx?cos試題試題試題試題《2025年高考全國一卷數(shù)學(xué)真題》參考答案題號12345678910答案CCDBAABBBDACD題號11答案ABC1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.【詳解】因?yàn)?+5i故選：C.2．C【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出．【詳解】因?yàn)閁=1,2,3,4,5,6,7,8，所以?UA=2,4,6,7,8，故選：C．3．D【分析】由題可知雙曲線中a,b的關(guān)系，結(jié)合a2【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為2a,2b,2c，由題知，b=7于是a2+b即e=c故選：D4．B【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結(jié)論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，y=2tan(x?π即y=2tan(x?π即a=π又a>0，則k=0時a最小，最小值是π3即a=π故選：B5．A【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為[2,3]的范圍中求解.【詳解】由題知f(x)=f(?x),f(x+2)=f(x)對一切x∈R成立，于是f(?3故選：A6．A【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫出視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為：n=視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為n1，船行風(fēng)速對應(yīng)的向量為n∴n=n1∴n1n1∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，故選：A.7．B【分析】先求出圓心E0,?2到直線y=【詳解】由題意，在圓x2+y+22=到直線y=3x+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有∵圓心E0,?2到直線y=3x+2

故由圖可知，當(dāng)r=1時，圓x2+y+22=r2當(dāng)r=3時，圓x2+y+22=r2當(dāng)則r的取值范圍為1,3時，圓x2+y+22=故選：B.8．B【分析】法一：設(shè)2+log2x=3+log3法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳解】法一：設(shè)2+log令m=2，則x=1,y=3?1=令m=5，則x=8,y=9,z=1，此時y>x>z，C有可能；令m=8，則x=26=64,y=故選：B．法二：設(shè)2+log2根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)y=2x?2,y=3x?3易知，隨著m的變化可能出現(xiàn)：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故選：B．9．BD【分析】法一：對于A，利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對于D，利用線面平行的判定定理即可判斷；對于C，利用反證法即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】法一：對于A，在正三棱柱ABC?A1B1C又AD?平面ABC，則AA1⊥AD因?yàn)椤鰽BC是正三角形，D為BC中點(diǎn)，則AD⊥BC，則CD又A1所以A1則AD⊥A對于B，因?yàn)樵谡庵鵄BC?A1B1C又BC?平面ABC，則AA因?yàn)椤鰽BC是正三角形，D為BC中點(diǎn)，則AD⊥BC，又AA1∩AD=A,A所以BC⊥平面AA對于D，因?yàn)樵谡庵鵄BC?A1又AA1?平面AA1D,CC對于C，因?yàn)樵谡庵鵄BC?A1B假設(shè)AD//A1B1，則所以AD//A故選：BD.法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為2，高為?，則D0,0,0對于A，AD=則AD?則AD⊥A對于BD，BC=設(shè)平面AA1D則AA1?n=?z=0AD?所以BC=0,?2,0=?2則BC⊥平面AA1D，C對于C，AD=則?3?3故選：BD.10．ACD【分析】對于A，先判斷得直線l:x=?32為拋物線的準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義即可判斷；對于B，利用三角形相似證得∠AEB=90°，進(jìn)而得以判斷；對于C，利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)立直線AB與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與焦點(diǎn)弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得AE2【詳解】法一：對于A，對于拋物線C:y則p=3，其準(zhǔn)線方程為x=?32，焦點(diǎn)則AD為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，AF為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，|AD|=|AF|，故A正確；對于B，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線l的垂線，交于點(diǎn)P，由題意可知AD⊥l,EF⊥AB，則∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE?△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，顯然AB為△ABE的斜邊，則|AE|<|AB|，故B錯誤；對于C，易知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x=my+32，聯(lián)立x=my+32y易知Δ>0，則y又x1=my所以|AB|=x1+當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取等號，故C正確；對于D，在Rt△ABE與Rt△AEF中，所以Rt△ABE～Rt△AEF，則AE同理BE2又AF=mAB=6所以AE2則AE?故選：ACD.法二：對于A，對于拋物線C:y則p=3，其準(zhǔn)線方程為x=?32，焦點(diǎn)則AD為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，AF為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，|AD|=|AF|，故A正確；對于B，過點(diǎn)B作準(zhǔn)線l的垂線，交于點(diǎn)P，由題意可知AD⊥l,EF⊥AB，則∠ADE=∠AFE=90°，又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE?△AFE，所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，顯然AB為△ABE的斜邊，則|AE|<|AB|，故B錯誤；對于C，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，AB=2p=6當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為y=kx?聯(lián)立y=kx?32y2易知Δ>0，則x所以AB=1+綜上，|AB|≥6，故C正確；對于D，在Rt△ABE與Rt△AEF中，所以Rt△ABE～Rt△AEF，則AE同理BE2當(dāng)直線AB的斜率不存在時，AB=6，AF所以AE2?BE當(dāng)直線AB的斜率存在時，AB=6AF=9所以AE2則AE?綜上，AE?故選：ACD.11．ABC【分析】對cos2A+cos2B+2sinC=2由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確，方法一分情況比較A+B和π【詳解】cos2A+cos2B+2整理可得，sinC=由誘導(dǎo)公式，sin(A+B)=展開可得sinA即sinA(下證C=π方法一：分類討論若A+B=π2，則若A+B<π2，即A<π2?B又sinA>0,sinB>0與條件不符，則A+B<π若A+B>π2，類似可推導(dǎo)出sinA(綜上討論可知，A+B=π2，即方法二：邊角轉(zhuǎn)化sinC=sin2A+sin于是1×sin由正弦定理，a2由余弦定理可知，cosC≥0，則C∈(0,若C∈(0,π2)，則A+B>π2于是cosA>0,cosB>0結(jié)合A+B>π2?A>π2于是sinC=sin2故C∈(0,π2方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進(jìn)）由sinC=sin2A+sin2B則a(sinA?cos方法四：和差化積（方法一改進(jìn)）續(xù)法三：a(sinA?cosB)+b(sinB?cossinA即cos(A?B)?12sin2A+sin2B≤0，結(jié)合和差化積，cos(A?B)1?sin(A+B)≤0，由上述分析，A,B∈由cosAcosBsinC=14則sin2A=12，同理sin2B=1不妨設(shè)A<B，則2A=π6,2B=由兩角和差的正弦公式可知sinπ由兩角和的正切公式可得，tan5π設(shè)BC=t,AC=2+3t由S△ABC=12(2+于是AB=(6+2故選：ABC12．4【分析】法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求得切點(diǎn)，進(jìn)而代入曲線方程即可得解；法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得到關(guān)于切點(diǎn)x0,y【詳解】法一：對于y=ex+x+a因?yàn)橹本€y=2x+5是曲線的切線，直線的斜率為2，令y′=ex+1=2將x=0代入切線方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5)，因?yàn)榍悬c(diǎn)(0,5)在曲線y=e所以5=e0+0+a，即5=1+a故答案為：4.法二：對于y=ex+x+a假設(shè)y=2x+5與y=ex+x+a則ex0+1=2故答案為：4.13．2【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的定義，得到關(guān)于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于q的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為an，Sn是其前n項(xiàng)和，則設(shè)an的公比為q當(dāng)q=1時，S4=4a1=4當(dāng)q≠1時，則S4兩式相除得1?q81?則1+q4=17所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法二：設(shè)該等比數(shù)列為an，Sn是其前n項(xiàng)和，則設(shè)an的公比為q所以S4S==a所以41+q4=68，則所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法三：設(shè)該等比數(shù)列為an，Sn是其前n項(xiàng)和，則設(shè)an的公比為q因?yàn)镾8又S4所以S8?S所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.14．6125/【分析】法一：根據(jù)題意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得X的分布列，從而求得E(X)；法二，根據(jù)題意假設(shè)隨機(jī)變量Xi，利用對立事件與獨(dú)立事件的概率公式求得E(Xi【詳解】法一：依題意，X的可能取值為1、2、3，總的選取可能數(shù)為53其中X=1：三次抽取同一球，選擇球的編號有5種方式，故P(X=1)=5X=2：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次），選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式，其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件X=2的可能情況有5×4×3=60種，故P(X=2)=60X=3：三種不同球被取出，由排列數(shù)可知事件X=3的可能情有況5×4×3=60種，故P(X=3)=60所以E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×5故答案為：6125法二：依題意，假設(shè)隨機(jī)變量Xi，其中i=1,2,3,4,5其中Xi=1,由于球的對稱性，易知所有EX則由期望的線性性質(zhì)，得E[X]=Ei=1由題意可知，球i在單次抽取中未被取出的概率為45由于抽取獨(dú)立，三次均未取出球i的概率為PX因此球i至少被取出一次的概率為：PX故EX所以E[X]=5EX故答案為：612515．(1)9(2)有關(guān)【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,求出χ2,然后與小概率值α=0.001對應(yīng)的臨界值10.828【詳解】（1）根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的200人中有180人患病，所以p的估計(jì)值為180200（2）零假設(shè)為H0根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，χ2根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過16．(1)證明見解析；(2)f【分析】（1）根據(jù)題目所給條件an+1（2）先求出an的通項(xiàng)公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以x，作差并利用等比數(shù)列前n【詳解】（1）由題意證明如下，n∈N在數(shù)列an中，a1=3∴n+1an+1=n∴nan是以（2）由題意及（1）得，n∈N在數(shù)列na∴nan=3+1×在fxfx=3x+2∴f′當(dāng)x≠1且x≠0時，∴1?xf∴f∴f=1+=1?=717．(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）23【分析】（1）通過證明AP⊥AB，AP⊥AD，得出AB⊥平面PAD，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)P,B,C,D在同一球面O上，在平面xAy中，得出點(diǎn)O坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)O在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出OP=法二：作出△BCD的邊BC和CD的垂直平分線，找到三角形的外心O1，求出PO1，求出出外心O1到P，B，C，D的距離相等，得出外心O1即為P，B（ii）法一：寫出直線AC和PO的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出AC的長，過點(diǎn)O作AC的平行線，交BC的延長線為C1，連接AC1，PC1，利用勾股定理求出AC1的長，進(jìn)而得出PC1【詳解】（1）由題意證明如下，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AP⊥AB，AP⊥AD，∵AP?平面PAD，AD?平面PAD，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐P?ABCD中，AP⊥AB，AP⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=2，AD=1+建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴A0,0,0若P，B，C，D在同一個球面上，則OP=在平面xAy中，∴A0,0∴線段CD中點(diǎn)坐標(biāo)F2直線CD的斜率：k1直線CD的垂直平分線EF斜率：k2∴直線EF的方程：y?3即y=6當(dāng)y=1時，1=6+2∴O在立體幾何中，O0,1,0∵OP解得：OP=∴點(diǎn)O在平面ABCD上.法二：∵P，B，C，D在同一個球面上，∴球心到四個點(diǎn)的距離相等在△BCD中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心，作出BC和CD的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識得，O1E=AB=2，BO∴O1∴點(diǎn)O1是△BCD在Rt△AOP中，AP⊥AD，AP=2由勾股定理得，PO∴PO∴點(diǎn)O1即為點(diǎn)P，B，C，D所在球的球心O此時點(diǎn)O在線段AD上，AD?平面ABCD，∴點(diǎn)O在平面ABCD上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，AC=2設(shè)直線AC與直線PO所成角為θ，∴cosθ=法2：由幾何知識得，PO=3AB⊥AD，BC∥AD，∴AB⊥BC，在Rt△ABC中，AB=2，BC=2AC=A過點(diǎn)O作AC的平行線，交BC的延長線為C1，連接AC1則OC1=AC=6，直線AC與直線PO所成角即為∵PA⊥平面ABCD，AC1?平面ABCD∴PA⊥AC在Rt△ABC1中，AB=2AC在Rt△APC1中，PC在△POCPC即：13解得：cos∴直線AC與直線PO所成角的余弦值為：cos∠PO18．(1)x(2)(ⅰ)3mm2【分析】（1）根據(jù)題意列出a,b,c的關(guān)系式,解方程求出a,b,c,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）(ⅰ)設(shè)Rx(ⅱ)根據(jù)斜率關(guān)系可得到點(diǎn)P的軌跡為圓（除去兩點(diǎn)），再根據(jù)點(diǎn)與圓的最值求法結(jié)合三角換元或者直接運(yùn)算即可解出.【詳解】（1）由題可知,A0,?b,Ba,0，所以a故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）(ⅰ)設(shè)Rx0,法一：所以kAP=n+1m，故因?yàn)锳0,?1，ARAP=3即1+n+1m2x0所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為3mm法二：設(shè)AR=λAP,λ>0λ=3m2點(diǎn)R的坐標(biāo)為3mm(ⅱ)因?yàn)閗OR=n+2?m23nm=n+2?m2所以點(diǎn)P在以N0,?4為圓心,3PQmax為Q到圓心N法一：設(shè)Q3QN=8=8=?8=?8sinθ?1所以PQmax法二：設(shè)Q