第七節(jié)指數(shù)函數(shù)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.

能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝

（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，

定義域是R，a是底數(shù).提醒形如y＝kax（y＝ax＋k）（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函數(shù)叫做

指數(shù)型函數(shù)，只有k＝1時(shí)，y＝ax才是指數(shù)函數(shù).ax

2.

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a＞10＜a＜1圖象

性質(zhì)定義域?yàn)?/p>

，值域?yàn)?/p>

?圖象過定點(diǎn)

?當(dāng)x＞0時(shí)，恒有y＞1；當(dāng)

x＜0時(shí)，恒有0＜y＜1當(dāng)x＞0時(shí)，恒有0＜y＜1；當(dāng)x＜

0時(shí)，恒有y＞1

?函數(shù)

?函數(shù)R

（0，＋∞）

（0，1）

增

減

提醒指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，應(yīng)分

a＞1與0＜a＜1來研究.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝3·2x與y＝2x＋1都不是指數(shù)函數(shù).

（

√

）（2）若am＜an（a＞0，且a≠1），則m＜n.

（

×

）（3）若函數(shù)f（x）是指數(shù)函數(shù)，且f（1）＞1，則f（x）是增函數(shù).

（

√

）√×√2.

（蘇教必修一P145例3（2）改編）函數(shù)y＝ax＋2＋1（a＞0，且a≠1）

的圖象過定點(diǎn)（

）A.

（－1，1）B.

（2，1）C.

（－2，2）D.

（2，－2）解析：

令x＋2＝0，則x＝－2，此時(shí)y＝a－2＋2＋1＝2，故函數(shù)y＝ax＋

2＋1的圖象過定點(diǎn)（－2，2），故選C.

√3.

〔多選〕下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?，＋∞）的是（

）A.

y＝x2C.

y＝2xD.

y＝3x－1

√√4.

（人A必修一P119習(xí)題3題改編）已知2x－1＜23－x，則x的取值范圍

是

?.解析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范圍

是（－∞，2）.

（－∞，2）

PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用（師生共研過關(guān)）

（1）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，a＞0，a≠1.已知函數(shù)y＝ax＋b的圖象如圖

所示，則下列結(jié)論正確的是（

B

）BA.

a＞1，b＜0B.

a＞1，b＜－1C.0＜a＜1，b＞1D.0＜a＜1，b＜－1解析：

由題圖可知函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，即a＞1，所以a的取值

范圍為（1，＋∞）；由題圖可知當(dāng)x＝0時(shí)，有y＝a0＋b＝1＋b＜0，解

得b＜－1，所以b的取值范圍為（－∞，－1）.

解題技法有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題策略（1）已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象

是否過這些點(diǎn)，若不滿足，則排除；（2）對(duì)于指數(shù)（型）函數(shù)圖象的問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖

象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到所求函數(shù)的圖象.特別地，當(dāng)?shù)?/p>

數(shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.

√2.

已知函數(shù)y＝2｜x＋a｜的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a＝

?.解析：由于函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以2｜x＋a｜＝2｜

－x＋a｜.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知｜x＋a｜＝｜－x＋a｜，只有當(dāng)a＝

0時(shí)，等式恒成立.故a＝0.0

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（定向精析突破）考向1

比較指數(shù)式的大小

（人A必修一P117例3改編）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝

0.40.5，則（

）A.

a＞b＞cB.

a＞c＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞a解析：

由指數(shù)函數(shù)y＝0.3x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，得a＜b，由冪函數(shù)

y＝x0.5在定義域內(nèi)是增函數(shù)，得c＞b.√解題技法比較指數(shù)式大小的方法（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；（2）不能化成同底數(shù)的，一般引入“0”“1”等中間量比較大小.考向2

解簡單的指數(shù)方程或不等式

[－3，

1]

解析：依題意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x

－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），則函數(shù)化為y＝t2－

5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，當(dāng)t＝1時(shí)，得x＝0；當(dāng)t＝4時(shí)，得x

＝2，所以函數(shù)f（x）的另一個(gè)零點(diǎn)為2.（2）若函數(shù)f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一個(gè)零點(diǎn)是0，那么它的另一個(gè)零

點(diǎn)為

?.2

解題技法解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)及方法（1）解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)：①af（x）＝ag（x）?f（x）＝g

（x）；②af（x）＞ag（x），當(dāng)a＞1時(shí)，等價(jià)于f（x）＞g（x）；當(dāng)0＜a

＜1時(shí)，等價(jià)于f（x）＜g（x）；（2）解指數(shù)方程或不等式的方法：先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，

再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

1.

（2023·天津高考3題）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，

b，c的大小關(guān)系為（

）A.

c＞a＞bB.

c＞b＞aC.

a＞b＞cD.

b＞a＞c解析：

∵指數(shù)函數(shù)y＝1.01x是增函數(shù)，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞

1.010.5，故b＞a.∵冪函數(shù)y＝x0.5是增函數(shù)，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞

0.60.5，故a＞c.故選D.

√

（－∞，4]

指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題（師生共研過關(guān)）

（1）（2023·新高考Ⅰ卷4題）設(shè)函數(shù)f（x）＝2x（x－a）在區(qū)間（0，

1）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

D

）A.

（－∞，－2]B.

[－2，0）C.

（0，2]D.

[2，＋∞）D

B.

?x∈R，有f（－x）＝f（x）C.

f（x）在R上是減函數(shù)D.

f（x）的值域?yàn)椋ǎ?，1）AD

解題技法指數(shù)型函數(shù)問題的求解策略

對(duì)于指數(shù)型函數(shù)問題，關(guān)鍵是判斷其單調(diào)性，對(duì)于形如y＝af（x）的函

數(shù)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與f（x）的單調(diào)區(qū)間有關(guān)：若a＞1，則函數(shù)f

（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即為函數(shù)y＝af（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間；

若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即為函數(shù)y＝af（x）的單

調(diào)遞減（增）區(qū)間.

1.

若函數(shù)f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域?yàn)閇1，＋∞），則f

（－4）與f（1）的關(guān)系是（

）A.

f（－4）＞f（1）B.

f（－4）＝f（1）C.

f（－4）＜f（1）D.

不能確定解析：

由題意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）.√

C.3D.2√

PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)1.

已知指數(shù)函數(shù)f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，

則實(shí)數(shù)a＝（

）B.1D.2

12345678910111213141516√2.

（2024·天津高考5題）若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，則

a，b，c的大小關(guān)系為（

）A.

a＞b＞cB.

b＞a＞cC.

c＞a＞bD.

b＞c＞a解析：

由函數(shù)y＝4.2x是增函數(shù)可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜

0，故b＞a＞c，故選B.

√123456789101112131415163.

若函數(shù)y＝2－x＋1＋m的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍是

（

）A.

（－∞，－2]B.

[－2，＋∞）C.

（－∞，－1]D.

[－1，＋∞）

√123456789101112131415164.

已知函數(shù)f（x）＝1＋2x－｜1－2x｜，則f（x）的值域是（

）A.

（－∞，2]B.

（0，2]C.

（0，3]D.

[1，2]解析：

①當(dāng)x≤0時(shí)，0＜2x≤1，所以f（x）＝1＋2x－1＋2x＝2·2x，

又因?yàn)?＜2x≤1，所以0＜2·2x≤2，所以0＜f（x）≤2；②當(dāng)x＞0時(shí)，2x

＞1，所以f（x）＝1＋2x＋1－2x＝2.綜上，f（x）的值域?yàn)椋?，2].故

選B.

√12345678910111213141516

A.

[0，6]B.

[－2，0]C.

[6，＋∞）D.

（6，＋∞）

√12345678910111213141516

A.

函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)B.

函數(shù)f（x）g（x）是奇函數(shù)C.

函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.

g（2x）＝[f（x）]2＋[g（x）]2√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

[2，6]

12345678910111213141516

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

12345678910111213141516

10.

已知f（x）＝2x－2－x，則使f（x）＜f（－3x2＋4）成立的實(shí)數(shù)x的

取值范圍是（

）

√1234567891011121314151611.

對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，滿足f（－x0）＝－f

（x0），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”.已知f（x）＝－aex－1在R上為

“局部奇函數(shù)”，則a的取值范圍是（

）A.

[－1，＋∞）B.

（－∞，－1]C.

[－1，0）D.

（－∞，1]

√1234567891011121314151612.

〔多選〕已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足3a＝2b，則下列不等關(guān)系中正確的是

（

）A.

a＜bB.

若a＜0，則b＜a＜0C.

｜a｜＜｜b｜D.

若0＜a＜log32，則ab＜ba解析：

如圖，由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，0＜a＜

b或者b＜a＜0，所以A錯(cuò)誤，B、C正確；D選項(xiàng)中，0

＜a＜log32?0＜a＜b＜1，則有ab＜aa＜ba，所以D

正確.√√√12345678910111213141516

1234567891011121314151614.

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是

奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)k的值；解：

∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2，經(jīng)檢驗(yàn)k＝2符合題意，∴k＝2.12345678910111213141516（2）若f（1）＜0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，若f（m2－2）＋f（m）

＞0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

12345678910111213