第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系高中總復(fù)習·數(shù)學課標要求1.

借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽

象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.

了解四個基本事實和定理，了解空間兩條直線位置關(guān)系的判定.3.

能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的

簡單命題.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

四個基本事實（1）基本事實1：過不在一條直線上的

，有且只有一個平面；（2）基本事實2：如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條

直線在這個平面內(nèi)；（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有

公共點，那么它們有

且只有一條過該點的公共直線；（4）基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線

?.提醒

三點不一定能確定一個平面.當三點共線時，過這三點的平面有無數(shù)

個，所以必須是不在同一條直線上的三點才能確定一個平面.三個點

兩個點

一個

平行

2.

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與直線平行

a∥b

?個相交

?1個異面

a，b是異面直線

?個0

a∩b＝A0

圖形語言符號語言公共點直線與平面相交

?1個平行

a∥α0個在平面內(nèi)

?

?個a∩α＝Aa?α無數(shù)

圖形語言符號語言公共點平面與平面平行

α∥β0個相交

α∩β＝l

?個3.

等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角

?

?.無數(shù)

相等或互

補

4.

異面直線所成的角（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線

a'∥a，b'∥b，把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾

角）；（2）范圍：

?.（0°，90°]

1.

基本事實1的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.2.

唯一性定理（1）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；（2）過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直；（3）過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直；（4）過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.3.

異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過

該點的直線互為異面直線.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一

條直線.

（

×

）（2）兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.

（

√

）（3）如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

（

×

）（4）若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面.

（

×

）×√××2.

下列說法正確的是（

）A.

三點確定一個平面B.

一條直線和一個點確定一個平面C.

梯形可確定一個平面D.

圓心和圓上兩點確定一個平面解析：C

對于A，三個不在同一條直線上的點確定一個平面，故A錯

誤；對于B，直線和直線外一點，確定一個平面，故B錯誤；對于C，

兩條平行直線確定一個平面，梯形有一組對邊平行，另一組對邊不平

行，故梯形可確定一個平面，故C正確；對于D，因為圓的一條直徑不

能確定一個平面，所以若圓心和圓上的兩點在同一條直徑上，則無法

確定一個平面，故D錯誤.3.

設(shè)直線a，b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在的直線，則a與b

（

）A.

平行B.

相交C.

是異面直線D.

可能相交，也可能是異面直線解析：D

如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，當A'B所在

的直線為a，BC'所在的直線為b時，a與b相交；當A'B

所在的直線為a，B'C所在的直線為b時，a與b異面.4.

（人A必修二P131練習3題改編）下列說法正確的是（

）A.

若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥αB.

若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行C.

如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面

平行D.

若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點解析：D

對于A，當直線l與平面α相交時，直線l上也有無數(shù)個點不在

平面α內(nèi)，故A錯誤；對于B，l與平面α內(nèi)的任意一條直線異面或平行，

故B錯誤；對于C，另一條直線也可能在這個平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，

因為l∥α，所以l與α沒有公共點，所以l與α內(nèi)任意一條直線都沒有公

共點，故D正確.

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

基本事實的應(yīng)用（師生共研過關(guān)）

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的

中點，平面BB1D1D與A1C交于點M.

求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；證明：（1）如圖，連接EF，CD1，A1B.

∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.（2）CE，D1F，DA三線共點；證明：（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示.則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點.（3）B，M，D1三點共線.證明：（3）連接BD1，∵BD1與A1C均為正方體ABCD-A1B1C1D1的體對

角線，故BD1與A1C相交，則令BD1與A1C的交點為O，則B，O，D1三點共線，∵BD1?平面BB1D1D，故A1C與平面BB1D1D的交點為O，即O與M重合，故B，M，D1三點共線.解題技法共面、共線、共點問題的證明方法

1.

如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，

C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是（

）A.

直線ACB.

直線ABC.

直線CDD.

直線BC解析：C

由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以

D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上.又因為C∈平面

ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩

平面β＝CD.

2.

在三棱錐A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四

點，如果EF∩HG＝P，則（

）A.

點P一定在直線BD上B.

點P一定在直線AC上C.

EH∥FGD.

EH與FG必相交解析：B

如圖所示，因為EF?平面ABC，HG?平面

ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面

ACD.

又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以

P∈AC，故A錯誤，B正確；易知直線EH，F(xiàn)G共面，

則直線EH，F(xiàn)G平行或相交，故C、D錯誤.空間兩直線的位置關(guān)系的判斷（師生共研過關(guān)）

（1）如圖，N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面

ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則（

B

）BA.

BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.

BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.

BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.

BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線（2）已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則

（

D

）A.

m與n異面B.

m與n相交C.

m與n平行D.

m與n異面、相交、平行均有可能D

（2）在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是

m∥n1，所以A、B錯誤，m，n2與l都異面，且m，n2也異

面，所以C錯誤.解題技法空間兩直線位置關(guān)系的判定方法

1.

若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與

平面β的交線，則下列命題正確的是（

）A.

l與l1，l2都不相交B.

l與l1，l2都相交C.

l至多與l1，l2中的一條相交D.

l至少與l1，l2中的一條相交解析：D

法一（反證法）由于l與直

線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么

都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相

交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，

l2是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2中的

一條相交.法二（模型法）如圖1，l1與l2是異面直

線，l1與l平行，l2與l相交，故A、B不

正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2

都與l相交，故C不正確.2.

在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其

中母線AB＝2，E是弧BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（

）A.

AE＝CF，AC與EF是共面直線B.

AE≠CF，AC與EF是共面直線C.

AE＝CF，AC與EF是異面直線D.

AE≠CF，AC與EF是異面直線

異面直線所成的角（師生共研過關(guān)）

如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點，則異面直

線AE與BC所成角的余弦值為（

）

解題技法用平移法求異面直線所成角的步驟提醒

在求異面直線所成的角時，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要

求的角.

3

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習

1.

四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為（

）A.4B.3C.2D.1解析：

首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以

確定四個平面.故選A.

12345678910111213141516171819202022232425√2.

若a∥α，b∥β，α∥β，則a，b的位置關(guān)系是（

）A.

平行B.

異面C.

相交D.

平行或異面或相交解析：

如圖所示，a，b的位置關(guān)系分別是平行、異面、相交.故

選D.

√3.

已知a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β

＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的（

）A.

充要條件B.

必要不充分條件C.

充分不必要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

若a，b相交，a?α，b?β，則其交點在交線c上，故a，c

相交；若a，c相交，a，b可能為相交直線或異面直線.綜上所述，“a，

b相交”是“a，c相交”的充分不必要條件.故選C.

√4.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在

空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（

）A.

不存在B.

有且只有2條C.

有且只有3條D.

有無數(shù)條解析：

在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定

一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，M取

不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交

點N，而直線MN與這三條異面直線都有交點，如圖.√5.

〔多選〕如圖，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中

點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有（

）√√解析：

圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點共面，但

M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接GM，則

GM∥HN.

因此GH與MN共面；圖D中，G，M，N三點共面，但H?平

面GMN，G?MN，因此直線GH與MN異面.故選B、D.

6.

〔多選〕如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，

直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

A，M，O三點共線B.

A，M，O，A1共面C.

A，M，C，O共面D.

B，B1，O，M共面√√√解析：

∵M∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又

∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即

A，M，O三點共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，

∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，

B1，O，M不共面，故選A、B、C.

7.

在平行六面體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共

面的棱的條數(shù)為

?.解析：如圖，滿足條件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，

共5條.58.

如圖所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且

AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)

為

?.4解析：取CD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G，由題意知，平面EFG與正方體

的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在

的平面平行或EF在平面內(nèi).所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下

底面所在的平面相交.故直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面

個數(shù)為4.9.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中：（1）求異面直線AC與A1D所成角的大??；解：

如圖，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1

是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角

就是異面直線AC與A1D所成的角或其補角.在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故異面直線A1D與AC所成的角為60°.（2）若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求異面直線A1C1與EF所成角的大

小.解：

連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，

AC∥A1C1，因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.

所以EF⊥A1C1.故異面直線A1C1與EF所成的角為90°.

10.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面

ABCD，PA＝AB，E是棱PD的中點，則異面直線PC與BE所成角的余弦

值為（

）√

11.

〔多選〕如圖所示是一個正方體的平面展開圖，則在原正方體中，下

列說法正確的是（

）A.

AB與CD所在的直線垂直B.

CD與EF所在的直線平行C.

EF與GH所在的直線異面D.

GH與AB所在的直線夾角為60°√√√解析：

把正方體的平面展開圖還原，如圖，連接

AF.

對于A，因為BD∥CF且BD＝CF，所以四邊形

BDCF為平行四邊形，所以CD∥BF，故AB與CD所成

的角為∠ABF，易知△ABF為等邊三角形，則∠ABF＝

60°，故A錯誤；對于B，由A可知CD∥EF，