初中數(shù)學(xué)軸對稱專題復(fù)習(xí)與練習(xí)軸對稱是初中幾何的重要組成部分，它不僅揭示了圖形之間的一種特殊位置關(guān)系，更為我們解決許多幾何問題提供了巧妙的思路和方法。掌握軸對稱的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用，對提升空間想象能力和邏輯推理能力至關(guān)重要。本專題將帶領(lǐng)同學(xué)們系統(tǒng)回顧軸對稱的核心知識，并通過典型例題與針對性練習(xí)，幫助大家鞏固深化，熟練運(yùn)用。一、軸對稱的核心概念與性質(zhì)梳理要學(xué)好軸對稱，首先必須準(zhǔn)確理解其基本概念，并深刻把握其內(nèi)在性質(zhì)。1.軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱我們常常會遇到兩類與軸對稱相關(guān)的描述：軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱。*軸對稱圖形：如果一個圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。例如，我們熟悉的等腰三角形、矩形、圓等，都是軸對稱圖形。一個軸對稱圖形的對稱軸可能不止一條，比如正方形就有四條對稱軸。*兩個圖形成軸對稱：如果把一個圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)（也叫對稱點(diǎn)）。這兩個概念既有區(qū)別又有聯(lián)系。區(qū)別在于，軸對稱圖形是對一個圖形而言，而兩個圖形成軸對稱是對兩個圖形而言。聯(lián)系在于，它們都體現(xiàn)了“沿某直線折疊后重合”這一本質(zhì)特征，并且如果把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就成為了一個軸對稱圖形。2.軸對稱的基本性質(zhì)軸對稱的性質(zhì)是解決問題的依據(jù)，同學(xué)們需要牢記以下幾點(diǎn)：*對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸垂直平分任意一對對應(yīng)點(diǎn)的連線。反過來，如果兩個圖形各對對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。*對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等：成軸對稱的兩個圖形（或軸對稱圖形的兩部分）是全等的，因此它們的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。*對應(yīng)圖形的對應(yīng)位置關(guān)系：對應(yīng)線段（或其延長線）如果相交，那么交點(diǎn)一定在對稱軸上。3.線段的垂直平分線與角的平分線這兩個重要的幾何圖形與軸對稱密切相關(guān)，它們的性質(zhì)在解題中應(yīng)用廣泛。*線段的垂直平分線：*定義：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。*性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。*判定：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。由此可知，線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。*角的平分線：*性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。*判定：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上。同樣，角的平分線可以看作是在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。二、軸對稱的應(yīng)用與常見題型解析軸對稱的應(yīng)用十分廣泛，從簡單的圖案設(shè)計到復(fù)雜的幾何證明與計算，都能看到它的身影。下面我們結(jié)合一些典型例題，探討軸對稱在解題中的具體應(yīng)用。1.識別軸對稱圖形與確定對稱軸這類問題主要考查對軸對稱概念的理解。例1：下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.菱形D.正方形分析：根據(jù)軸對稱圖形的定義，我們依次分析每個選項。等邊三角形有三條對稱軸；菱形和正方形都有對稱軸（菱形有兩條，正方形有四條）。而平行四邊形，無論沿哪條直線折疊，直線兩旁的部分都無法完全重合（特殊的平行四邊形如矩形、菱形除外，但題目中是一般平行四邊形）。答案：B練習(xí)1：請指出等腰梯形、圓、正五邊形的對稱軸條數(shù)。2.利用軸對稱性質(zhì)作圖作圖是軸對稱性質(zhì)的直接應(yīng)用，常見的有作一個圖形關(guān)于某直線的對稱圖形，以及作線段的垂直平分線、角的平分線等。例2：已知△ABC和直線l，求作△A'B'C'，使△A'B'C'與△ABC關(guān)于直線l對稱。分析：要作出一個圖形關(guān)于某直線的對稱圖形，關(guān)鍵在于作出圖形上關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)，然后連接這些對稱點(diǎn)即可。作法：1.分別過點(diǎn)A、B、C作直線l的垂線，垂足分別為O1、O2、O3；2.在垂線上分別截取O1A'=O1A，O2B'=O2B，O3C'=O3C，得到點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'、B'、C'；3.連接A'B'、B'C'、C'A'，則△A'B'C'即為所求。練習(xí)2：已知線段AB，用尺規(guī)作圖法作出線段AB的垂直平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）。3.利用軸對稱性質(zhì)解決幾何計算與證明軸對稱性質(zhì)常與全等三角形、等腰三角形等知識結(jié)合，用于證明線段相等、角相等，或計算線段長度、角的度數(shù)。例3：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在AD上。求證：EB=EC。分析：由AB=AC可知△ABC是等腰三角形。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，我們知道等腰三角形是軸對稱圖形，底邊BC上的中線AD所在的直線就是它的對稱軸。點(diǎn)E在對稱軸AD上，因此點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于AD對稱，所以它們到E點(diǎn)的距離相等，即EB=EC。證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一），即AD垂直平分BC。∵點(diǎn)E在AD上，∴EB=EC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）。練習(xí)3：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E。若AC=6，BC=8，求DE的長。4.利用軸對稱解決最短路徑問題這是軸對稱應(yīng)用中的一個經(jīng)典模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的巧妙性。例4：如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？分析：這個問題可以轉(zhuǎn)化為在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小。利用軸對稱的性質(zhì)，我們可以將A、B兩點(diǎn)中的一點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線l的交點(diǎn)即為所求。作法：1.作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'；2.連接A'B，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是牧馬人飲馬的最佳位置。理由：在直線l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P'，連接AP'、BP'、A'P'。由于A與A'關(guān)于l對稱，所以PA=PA'，P'A=P'A'。因此PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B。在△A'P'B中，P'A'+P'B>A'B（三角形兩邊之和大于第三邊），所以PA+PB最小。練習(xí)4：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)。連接PB、PE，求PB+PE的最小值。三、專題練習(xí)（一）選擇題1.下列交通標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A.B.C.D.2.下列說法中，正確的是（）A.兩個全等的圖形一定成軸對稱B.兩個成軸對稱的圖形一定全等C.三角形的一條中線就是它的一條對稱軸D.軸對稱圖形的對稱軸一定只有一條3.點(diǎn)P（-3，4）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.（3，4）B.（-3，-4）C.（3，-4）D.（-4，3）（二）填空題4.等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，則它的頂角的度數(shù)為_________。5.已知線段AB的垂直平分線上有一點(diǎn)P，若PA=5，則PB=_________。6.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則圖中等腰三角形有_________個。（三）解答題7.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2。（1）作△ABC關(guān)于直線AC對稱的△ADC（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，連接BD，求BD的長。8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F。（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）若AB=AD+BC，求證：BE⊥AF。9.如圖，已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在OA上，且OP=6，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的動點(diǎn)，求△PMN周長的最小值。四、總結(jié)與反思軸對稱的知識看似簡單，但要真正做到靈活運(yùn)用，還需要同學(xué)們在理解概念的基礎(chǔ)上，多思考、多練習(xí)，善于從圖形中發(fā)現(xiàn)軸對稱關(guān)系，并能主動運(yùn)用軸對稱的思想去構(gòu)造對稱圖形，轉(zhuǎn)化問題。在復(fù)習(xí)過程中，要特別注意以下幾點(diǎn)：*準(zhǔn)確區(qū)分概念：不要混淆“軸對稱圖形”和“兩個圖形成軸對稱”。*性質(zhì)的靈活運(yùn)用：對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)連線，對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，這些是解決計算和證明問題的“金鑰匙”。*作圖的規(guī)范性：尺規(guī)作圖是幾何的基本功，要掌握基本作圖的方法和依據(jù)。*數(shù)學(xué)思想的滲透：如利用軸對稱解決最短路徑問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，要體會這種思想方法的妙處。希望通過本專題的復(fù)習(xí)，同學(xué)們能夠?qū)S對稱有更清晰的認(rèn)識，解題能力得到進(jìn)一步提升。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，要將軸對稱的知識與其他幾何知識融會貫通，形成完整的知識體系。---參考答案與提示練習(xí)1：等腰梯形有1條對稱軸；圓有無數(shù)條對稱軸；正五邊形有5條對稱軸。練習(xí)2：（略，作圖痕跡為分別以A、B為圓心，大于1/2AB長為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線即為AB的垂直平分線）。練習(xí)3：提示：先利用勾股定理求出AB=10。因為AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，所以DE=DC（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等）。設(shè)DE=DC=x，則BD=8-x，BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4。在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理列方程求解：x2+42=(8-x)2，解得x=3。所以DE的長為3。練習(xí)4：提示：連接PD。因為四邊形ABCD是正方形，對角線AC是對稱軸，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，因此PB=PD。所以PB+PE=PD+PE。當(dāng)點(diǎn)P在DE與AC的交點(diǎn)處時，PD+PE最小，最小值為DE的長。在Rt△DCE中，DC=4，CE=2，所以DE=√(42+22)=√20=2√5。故PB+PE的最小值為2√5。專題練習(xí)（一）選擇題：1.（根據(jù)實際選項圖形判斷，通常選具有明顯對稱軸的圖形）；2.B；3.B。（二）填空題：4.50°或80°；5.5；6.3（△ABC，△ABD，△BCD）。（三）解答題：7.（1）圖略（作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D，連接AD、CD即可）；（2）BD=2√3（提示：△BCD是等邊三角形或在Rt△BCD中用勾股定理）。8.（1）提示：利用AAS或ASA證明，AD∥BC可得∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，E是CD中點(diǎn)可得DE=CE；（2）提示：由（1）知AE=FE，AD=FC，所以AB=A