第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年河南省部分學(xué)校高三（上）9月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題p：?x∈Z，x2∈N，則￢p：(

)A.?x∈Z，x2?N B.?x∈Z，x2∈N

C.?x?Z，x22.樣本數(shù)據(jù)3，6，5，11，4，8的第60百分位數(shù)為(

)A.3 B.4 C.6 D.93.設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+2i，z2=1+3ai，其中a∈R，若z1?A.(23,1) B.(23,+∞)4.已知雙曲線C：x2a2?y23=1(a>0)A.y=±x B.y=±2x C.y=±5.已知第二象限角α滿足3sin(π2?α)+1=0，則tan2α=A.57 B.33 C.6.在矩形ABCD中，已知AB=2，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，且BE⊥AC，則CA?CE=A.2 B.4 C.8 D.167.不透明袋子里裝有大小、材質(zhì)完全相同的3個(gè)白球、8個(gè)黑球，現(xiàn)從中每次隨機(jī)不放回地抽取1個(gè)小球，直到選中第1個(gè)黑球?yàn)橹梗瑒t選取次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(

)A.25 B.43 C.128.微擾級(jí)數(shù)是物理學(xué)中用于處理非線性系統(tǒng)的重要方法，對(duì)于小擾動(dòng)參數(shù)λ(λ∈[10?17,1))，可得系統(tǒng)的能量E=i=0nEiλi，若A.當(dāng)E取最小值時(shí)，nλn+1?1=(n+1)λn

B.當(dāng)E取最大值時(shí)，nλn+1+1=(n+1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若正數(shù)a，b，c，d滿足a，b，c成等差數(shù)列，b，c，d成等比數(shù)列，則下列說法正確的是(

)A.c2=bd B.若b=2a，則d=4.5a

C.若a，b均為整數(shù)，則c一定為整數(shù) D.若a，b均為整數(shù)，則10.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(2x+1)ln2x，則下列說法正確的是A.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=(2x?1)ln2(?x)

B.f(0)+f(1)=1

C.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增

D.x11.已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),f(0)=33，且f(x)在區(qū)間(0,π6)上單調(diào)遞增.記ω的最大值為ω0A.g(x)=tan(2x+π6)

B.△ABC的外接圓的面積為4π3

C.r的最大值為33?2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知某圓柱的高為23，且上、下底面均在以O(shè)為球心的球面上，若該圓柱的底面半徑為1，則球O的體積為______．13.已知拋物線E：y2=4x，直線x=m與E分別交于A，B不同的兩點(diǎn)，直線x=n與E分別交于C，D不同的兩點(diǎn)，且|CD|=2|AB|，m，n>0，則nm14.已知函數(shù)f(x)=x2|1x?a|+x?a有且僅有四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知某物理實(shí)驗(yàn)參數(shù)誤差X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(2,σ2)，且P(2≤X≤6)=0.4．

(1)求P(X>6)的值；

(2)求16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐V?ABC中，VA=VB=2，且AC⊥BC，AC=BC=2．

(1)若VC=2，證明：平面VAB⊥平面ABC；

(2)若VC與平面ABC所成的角為60°，求二面角A?VC?B的正弦值．17.(本小題15分)

記首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的積為Tn，且{Tn+1?Tn}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

(1)求{Tn18.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2，短軸長為23,A為E在第一象限上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A且與E相切的直線分別交y軸、x軸于B，C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1x)?2a2x+1(a∈R)．

(1)證明：曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(?12,0)中心對(duì)稱；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，求a答案解析1.【答案】A

【解析】解：命題p：?x∈Z，x2∈N，由命題否定的定義可知，￢p：?x∈Z，x2?N．

故選：A．2.【答案】C

【解析】解：已知樣本數(shù)據(jù)3，6，5，11，4，8，

則從小到大排列為3，4，5，6，8，11共6個(gè)數(shù)據(jù)，6×60%=3.6．

所以百分位數(shù)取第4位數(shù)字6．

故選：C．

根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．3.【答案】D

【解析】解：由復(fù)數(shù)z1=a+2i，z2=1+3ai，得z1?z2=(a+2i)?(1+3ai)=(a?1)+(2?3a)i，

因?yàn)閦1?z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，

所以a?1>02?3a<0，即4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)殡p曲線C：x2a2?y23=1(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，

所以a2+3=4，故a2=1，因此雙曲線的方程為：x2?5.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?sin(π2?α)+1=0，

所以3cosα+1=0，

可得cosα=?13，

由于α在第二象限，

可得sinα=1?cos2α=223，

可得tanα=sinαcosα=?26.【答案】C

【解析】解：已知在矩形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，且BE⊥AC，

如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=a，則B(2,a)，E(0,a2)，A(0,a)，C(2,0)，BE=(?2,?a2)，AC=(2,?a)，

依題意，因?yàn)锽E⊥AC，

即BE⊥AC，

所以BE?AC=(?2,?a2)?(2,?a)=?4+a22=0，

結(jié)合a>0，

解得a=22，

則E(0,2)，A(0,22)，CA=(?2,22)7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)椴煌该鞔永镅b有大小、材質(zhì)完全相同的3個(gè)白球、8個(gè)黑球，

現(xiàn)從中每次隨機(jī)不放回地抽取1個(gè)小球，直到選中第1個(gè)黑球?yàn)橹梗?/p>

所以選取次數(shù)X=1，2，3，4，

又P(X=1)=811，P(X=2)=311×810=1255，

P(X=3)=311×210×88.【答案】D

【解析】解：對(duì)于小擾動(dòng)參數(shù)λ(λ∈[10?17,1))，可得系統(tǒng)的能量E=i=0nEiλi，

E0=E1=?=En=2，n∈N，n為常數(shù)，

E=i=0nEiλi=2(1+λ+λ2+?+λn)=2?1?λn+11?λ．

令f(λ)=2?1?λn+11?λ，λ∈[10?17,1)，

則f′(λ)=2??(n+1)λn(1?λ)+1?λn+1(1?λ)2=2?1+nλn+1?(n+1)λn(1?λ)9.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)檎龜?shù)b，c，d成等比數(shù)列，所以有c2=bd，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)檎龜?shù)a，b，c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，若b=2a，則c=2b?a=3a，

又因?yàn)閏2=bd，即d=c2b=(3a)22a=4.5a，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，由2b=a+c，可得c=2b?a，若a，b均為整數(shù)，則2b?a也一定是整數(shù)，即c一定為整數(shù)，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，由上可知，d=c2b=(2b?a)2b=410.【答案】AD

【解析】解：f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(2x+1)ln2x，

x<0時(shí)，?x>0，則f(x)=?f(?x)=?(?2x+1)ln2(?x)=(2x?1)ln2(?x)，A正確；

f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故f(0)=0；

而f(1)=0，故f(0)+f(1)=0，B錯(cuò)誤；

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(2x+1)ln2x，

則f′(x)=2ln2x+2(2x+1)lnxx=2lnx(lnx+1x+2)，

令g(x)=lnx+1x+2,x>0，則g′(x)=x?1x2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

故g(x)≥g(1)=3，

故當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，

則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；

由C的分析可知，f(x)在x=1時(shí)取得極小值f(1)=0，

結(jié)合函數(shù)f(x)為奇函數(shù)可知f(x)在x=?1時(shí)取得極大值f(?1)=0，11.【答案】AD

【解析】解：由題意得f(0)=tanφ=33，結(jié)合|φ|<π2，可得φ=π6，

當(dāng)x∈(0,π6)時(shí)，π6<ωx+π6<π6ω+π6，

根據(jù)f(x)在區(qū)間(0,π6)上單調(diào)遞增，可知π6ω+π6≤π2，解得ω≤2，

代入ω=2，可知題設(shè)條件成立，所以ω0=2，g(x)=tan(2x+π6)，故A項(xiàng)正確；

根據(jù)g(A2)=tan(A+π6)=3，結(jié)合A+π6∈(π6,7π6)可得A+π6=π3，A=π6，

根據(jù)正弦定理，可知外接圓直徑2R=BCsinA=2sinπ6=4，

所以R=2，可知△ABC的外接圓面積S=πR2=4π，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，

由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，可得4=(b+c)2?(2+3)bc，

故bc=(b+c)2?42+3=(2?3)[(b+c)2?4]，

根據(jù)三角形的面積公式，可得S△ABC=12bcsinA=12(a+b+c)r，

所以r=bcsinAa+b+c=2?32?(b+c+2)(b+c?2)12.【答案】32π3【解析】解：作圓柱的軸截面，如圖：

因?yàn)閳A柱的高為23，且上、下底面均在以O(shè)為球心的球面上，若該圓柱的底面半徑為1，

所以O(shè)B=3，AB=1，

則球O的半徑R=OA，且OA2=OB2+AB2=3+1=4，

所以R=2，

所以球13.【答案】4

【解析】解：已知拋物線E：y2=4x，直線x=m與E分別交于A，B不同的兩點(diǎn)，直線x=n與E分別交于C，D不同的兩點(diǎn)，且|CD|=2|AB|，

當(dāng)x=m時(shí)，y=±2m，

則|AB|=4m；

當(dāng)x=n時(shí)，y=±2n，

則|CD|=4n；

又|CD|=2|AB|，

所以4n=8m，

即nm14.【答案】(?1,0)∪(0,+∞)

【解析】解：由題意可得函數(shù)f(x)=x2|1x?a|+x?a的定義域?yàn)閧x|x≠0}，

①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2|1x|+x=|x|+x，

x>0時(shí)，f(x)=2x>0，無零點(diǎn)；

x<0時(shí)，f(x)=?x+x=0，有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，均不滿足題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)1x?a<0，即x<0或x>1a時(shí)，

f(x)=x2|1x?a|+x?a=x2(a?1x)+x?a=ax2?a=a(x+1)(x?1)，

令f(x)=0，可得x=?1或x=1，

其中x=?1<0，

所以x=?1肯定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，

當(dāng)1a<1，即a>1時(shí)，x=1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；

當(dāng)1a≥1，即0<a≤1時(shí)，x=1不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．

當(dāng)1x?a≥0，即0<x≤1a時(shí)，

f(x)=x2(1x?a)+x?a=?ax2+2x?a，

令?ax2+2x?a=0，Δ=4?4a2，

當(dāng)a=1時(shí)，Δ=4?4a2=0，方程?ax2+2x?a=?x2+2x?1=?(x?1)2=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=1，

此時(shí)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)x=?1和x=1，符合題意；

當(dāng)0<a<1時(shí)，Δ=4?4a2>0，

方程?ax2+2x?a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1=1+1?a2a,x2=1?1?a2a，

其中x1>1a,0<x2<1a，

此時(shí)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)x=?1和x=1?1?a2a，符合題意；

當(dāng)a>1時(shí)，Δ=4?4a2<0，方程?ax2+2x?a=0無實(shí)數(shù)根，

此時(shí)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)x=?1和x=1，符合題意；

所以a>0時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，符合題意；

③當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)1x?a<0，即1a<x<0時(shí)，f(x)=x2(a?1x)+x?a=ax2?a=a(x+1)(x?1)，

令f(x)=0，可得x=?1或x=1，

其中x=1>0，所以x=1肯定不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，

當(dāng)1a≤?1，即?1≤a<0時(shí)，x=?115.【答案】0.1；

0.8

【解析】(1)因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(2,σ2)，

所以正態(tài)曲線關(guān)于x=2對(duì)稱，

由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得P(?2≤X≤2)=P(2≤X≤6)=0.4，

所以P(X>6)=1?P(?2≤X≤6)2=0.1．

(2)設(shè)事件A：X≥?2，事件B：X≤2，

由(1)得P(B)=P(X≤2)=0.5，P(AB)=P(?2≤X≤2)=0.4，

所以P(X≥?2|X≤2)=P(A|B)=P(AB)P(B)=0.40.5=0.8．16.【答案】證明：取AB的中點(diǎn)為O，連接OV，OC，<br>由于VA=VB=2，且AC=BC=2，

故VO⊥AB，OC⊥AB，所以∠VOC為平面VAB與平面ABC的夾角或其補(bǔ)角，

又AC⊥BC，故AB=AC2+BC2=22，則VA2+VB2=AB2，

所以O(shè)C=OV=12AB=2，【解析】(1)證明：取AB的中點(diǎn)為O，連接OV，OC，

由于VA=VB=2，且AC=BC=2，

故VO⊥AB，OC⊥AB，因此∠VOC為平面VAB與平面ABC的夾角或其補(bǔ)角，

又AC⊥BC，故AB=AC2+BC2=22，則VA2+VB2=AB2，

因此OC=OV=12AB=2，

結(jié)合VC=2，故VO2+OC2=VC2，則VO⊥OC，

因此∠VOC=π2，故平面VAB⊥平面ABC；

(2)由(1)知：VO⊥AB，OC⊥AB，VO∩OC=O，VO，OC?平面VOC，

因此AB⊥平面VOC，而AB?平面ABC，則平面VOC⊥平面ABC，

于是CO是CV在平面ABC上的射影，因此∠VCO=60°，

由OC=OV=2，得△VOC是正三角形，則a=2，

由于△VBC，△VAC均為等腰三角形，取VC中點(diǎn)M，連接MA，MB，

因此AM⊥VC，BM⊥VC，故∠AMB為二面角17.【答案】Tn=n2?n+1．

a【解析】(1)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的積為Tn，且{Tn+1?Tn}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

∴Tn+1?Tn=2+2(n?1)=2n，結(jié)合題意知T1=1，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=T1+(T2?T1)+(T3?T2)+?+(Tn?Tn?1)=1+2(1+2+?+n?1)

=1+2×n(n?1)2=n2?n+1，T1=1也適合，

∴Tn=n2?n+1；

(2)由題意知Tn=a1a2…an=n2?n+1，

則n≥2時(shí)，a18.【答案】x24+y23=1；

354；

證明：在第一象限，由橢圓方程可得y=3?1?x24，y′=?34?x1?x24，

設(shè)A(x0,y0)，則在A處的切線斜率為：y′=?34?x01?x024，又x024+y023=1，

則y【解析】(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c，則由題可得2c=2，所以c=1，

又2b=23，所以b=3，所以a2=b2+c2=3+1=4，

所以橢圓E的方程為：x24+y23=1．

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A為橢圓E在第一象限上的點(diǎn)，則設(shè)A(2cosθ,3sinθ)，θ∈(0,π2)，又D(14,0)，

所以|AD|=(2cosθ?14)2+3sin2θ=cos2θ?cosθ+4916=(cosθ?12)2+4516≥354，

當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=12，即θ=π3時(shí)取等號(hào)，即|AD|的最小值為354．

(3)證明：在第一象限，由橢圓方程可得y=3?1?x24，y′=?34?x1?x24，

設(shè)A(x0,y0)，則在A處的切線斜率為：y′=?34?x019.【答案】證明：由題意可得x+1x>02x+1≠0，解得x<?1或x>0，<br>即y=f(x)的定義域?yàn)??∞,?1)∪(0,+∞)，

f(x)+f(?x?1)=ln(x+1x)?2a2x+1+ln(?x?1+1?x?1)?2a2(?x?1)+1

=ln(x+1x)?2a2x+1+ln(xx+1)+2a2x+1=ln[(x+1x)?(xx+1)]=ln1=0，

即f(x)+f(?x?1)=0，故曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(?12,