《全品高考復(fù)習(xí)方案》第14講函數(shù)模型及其應(yīng)用【課標(biāo)要求】1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在實(shí)際情境中,會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.

2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題,利用計(jì)算工具,比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異,理解“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義.

3.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型,體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性單調(diào)

單調(diào)

單調(diào)

增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)冪函數(shù)模型f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0)常用結(jié)論1.函數(shù)f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,ab]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[ab,+∞)2.“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數(shù)增長”先慢后快,其增長量越來越大,常用“指數(shù)爆炸”來形容;“對(duì)數(shù)增長”先快后慢,其增長量越來越小.題組一易錯(cuò)辨析判斷下列說法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)解決某一實(shí)際問題的函數(shù)模型是唯一的. ()(2)對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題,收集到的數(shù)據(jù)越多,建立的函數(shù)模型的模擬效果越好. ()(3)函數(shù)y=x2比y=2x增長的速度更快些. ()(4)函數(shù)y=log13x的衰減速度越來越慢. (題組二教材改編1.有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示,則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是 ()x23456y1.402.565.311121.30A.y=x B.y=13·2C.y=log2x D.y=2x-32.某商品在最近30天內(nèi)的單價(jià)f(t)(單位:元)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)=t+10(0<t≤30,t∈N),銷售量g(t)(單位:件)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-t+35(0<t≤30,t∈N),則在最近30天內(nèi),這種商品的日銷售金額最高為元.

3.某商場國慶假期期間搞促銷活動(dòng),規(guī)定:顧客購物總金額不超過800元時(shí),不享受任何折扣;如果顧客購物總金額超過800元,那么超過800元的部分享受一定的折扣優(yōu)惠,按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%設(shè)某人在此商場的購物總金額為x元,可以獲得的折扣金額為y元,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=0,0<x≤800,5%(x用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程例1(1)[2025·浙江湖州期末]圖中實(shí)線是某景點(diǎn)收支差額y關(guān)于游客量x的圖象,由于目前虧損,景點(diǎn)決定降低成本,同時(shí)提高門票價(jià)格,決策后的圖象用虛線表示,則以下能說明該事實(shí)的圖象是 ()ABCD(2)(多選題)如圖,某池塘里浮萍的面積y(單位:平方米)與時(shí)間t(單位:月)的關(guān)系為y=at(a>0,且a≠1),則下列說法正確的是 ()A.浮萍每月的增長率為2B.第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積就會(huì)超過30平方米C.浮萍每月增加的面積都相等D.若浮萍蔓延到2平方米、3平方米、6平方米所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1,t2,t3,則t1+t2=t3總結(jié)反思判斷函數(shù)圖象是否與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先構(gòu)建函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際情況的答案,選擇出符合實(shí)際情況的答案.【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)為了能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸量Q0,某運(yùn)輸公司提出了四種運(yùn)輸方案,每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如圖(四個(gè)選項(xiàng))所示,其中運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高的是 ()A BC D(2)如圖,等腰梯形ABCD的上底CD=1,下底AB=3,高為1.記等腰梯形ABCD位于直線x=t(0≤t≤3)左側(cè)的圖形的面積為y=f(t),則y=f(t)隨t變化時(shí)的圖象大致是 ()A BC D已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題例2(1)草莓上市了,某水果店統(tǒng)計(jì)得出了草莓上市以來前兩周的銷售價(jià)格y(單位:元/盒)與時(shí)間t(單位:天)的關(guān)系為y=26,t=1,2,3,22,t=4,5,6,7,8A.7盒草莓 B.6盒草莓C.5盒草莓 D.4盒草莓(2)國家速滑館又稱“冰絲帶”,是2022年北京冬奧會(huì)北京主賽區(qū)標(biāo)志性場館,擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì),但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零,做到了真正的智慧場館、綠色場館,并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念,場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(單位:mg/L)與時(shí)間t(單位:小時(shí))的關(guān)系為N=N0e-kt(N0為最初污染物數(shù)量,且N0>0),如果前4個(gè)小時(shí)消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%還需要()A.3.8小時(shí) B.4小時(shí)C.4.4小時(shí) D.5小時(shí)總結(jié)反思已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟:(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù);(2)根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法確定模型中的待定系數(shù);(3)利用該模型求解實(shí)際問題.【對(duì)點(diǎn)演練2】(1)[2025·重慶江北區(qū)質(zhì)檢]薯?xiàng)l作為一種油炸食品,風(fēng)味是決定其接受程度的基礎(chǔ).某廚師對(duì)餐飲門店的不同油炸批次的薯?xiàng)l進(jìn)行整體品質(zhì)的感官評(píng)價(jià)并提出了“油炸質(zhì)量曲線”(如圖①),將油炸過程劃分為五個(gè)階段:初始、新鮮、最佳、降解和廢棄階段,以解釋食物品質(zhì)與油炸時(shí)間之間的關(guān)系.在特定條件下,薯?xiàng)l品質(zhì)得分P與油炸時(shí)間t(單位:min)滿足函數(shù)關(guān)系P=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),圖②記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到薯?xiàng)l最佳油炸時(shí)間為 ()A.2.25min B.2.75minC.3.25min D.3.75min(2)[2025·湖北武漢聯(lián)考]中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界,5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式:C=Wlog21+SN,它表示在被高斯白噪聲干擾的信道中,最大信息傳送速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯白噪聲功率N的大小,其中SN為信噪比.已知當(dāng)x比較大時(shí),y=loga(1+x)≈logax(a>1),按照香農(nóng)公式,由于技術(shù)提升,信道帶寬W在原來的基礎(chǔ)上增加了20%,信噪比從1000提升至8000,則C在原來的基礎(chǔ)上大約增加了(附:lg2≈0.3010)A.37% B.45% C.48% D.56%構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題例3(1)“打水漂”是一種游戲:按一定方式投擲石片,使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳,彈跳次數(shù)越多越好.小樂同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí),將一石片按一定方式投擲出去,石片第一次接觸水面時(shí)的速度為30m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素,假設(shè)石片每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的75%,若石片接觸水面時(shí)的速度低于6m/s,石片就不再彈跳,沉入水底,則小樂同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)約為(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5≈1.6) ()A.5 B.6 C.7 D.8(2)在某種藥物實(shí)驗(yàn)中,規(guī)定100mL血液中藥物含量低于20mg為“藥物失效”.現(xiàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)動(dòng)物血液中藥物含量為0.8mg/mL,若血液中藥物含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少,那么至少經(jīng)過小時(shí)才會(huì)“藥物失效”.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)

總結(jié)反思構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的時(shí)候,首先應(yīng)選取合適的函數(shù)模型,然后進(jìn)行邏輯推理或運(yùn)算,最后返回到實(shí)際問題中去,結(jié)合實(shí)際得到問題的解.【對(duì)點(diǎn)演練3】(1)[2025·陜西榆林期末]某種化學(xué)物質(zhì)的衰變滿足冪函數(shù)模型,每周該化學(xué)物質(zhì)衰減20%,經(jīng)過n周后,該化學(xué)物質(zhì)的存量低于原本該化學(xué)物質(zhì)的15,則n的最小值為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010) (A.6 B.7 C.8 D.9(2)贛南臍橙是