《全品高考復習方案》第41講空間角1.A[解析]設l與α所成的角為θ,則sinθ=|cos<u,n>|=|u·n||u|·|n|=|1×0+0×(-1)2.A[解析]由已知得OC=(-1,0,-1),AB=(-2,1,1),設直線OC與AB所成的角為θ,則cosθ=|cos<OC,AB>|=|OC·AB||OC||AB3.C[解析]由題意可知,AB,AC,AA1兩兩垂直,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖所示,則A(0,0,0),C1(1,0,2),C(1,0,0),B(0,1,0),∴AC1=(1,0,2),BC=(1,-1,0),∴cos<AC1,BC>=AC1·BC|AC1||BC|=4.A[解析]以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,則A(0,0,0),C(2,2,0),D1(0,2,2),E(0,2,1),C1(2,2,2),所以AC=(2,2,0),AD1=(0,2,2),EC1=(2,0,1).設平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則n·AC=2x+2y=0,n·AD1=2y+2z=0,令y=-1,則n=(1,-1,1).設直線EC1與平面ACD1所成的角為θ,則sinθ=|5.A[解析]在平面ABC中過點A作AC的垂線交BC于點D,以A為坐標原點,以AD所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設AB=AC=AA1=1,因為∠BAC=120°,所以B32,-12,0,又A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(0,1,1),所以BA1=-32,12,1,AC1=(0,1,1).設異面直線BA1與AC1所成的角為θ,則cosθ=|6.C[解析]記AC的中點為E,連接DE,BE,因為AD=CD,所以DE⊥AC,同理,BE⊥AC,記AB=2a,由題得∠DAC=∠BAC=π6,所以BE=DE=a,AE=CE=3a.易知當平面ACD⊥平面ABC時,三棱錐D-ABC的體積最大,此時∠BED=π2.以E為坐標原點,EB,EC,ED的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,-3a,0),B(a,0,0),C(0,3a,0),D(0,0,a),所以AB=(a,3a,0),CD=(0,-3a,a),所以|cos<AB,CD>|=|AB·CD||AB||CD|=3a27.AD[解析]對于A,因為B1D1?平面A1B1C1D1,A1D∩平面A1B1C1D1=A1,A1?B1D1,所以A1D與B1D1是異面直線,故A正確.以D為坐標原點,DA,DC,DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),A1(2,0,2),E(1,2,0),F(0,1,0),C(0,2,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2).對于B,設A1D與EF所成的角為θ,因為A1D=(-2,0,-2),EF=(-1,-1,0),所以cosθ=|A1D·EF||A1D||EF|=222×2=12,又因為0°<θ≤90°,所以θ=60°,故B錯誤.對于C,易知平面B1EB的一個法向量為DC,設A1F與平面B1EB所成的角為α,因為DC=(0,2,0),A1F=(-2,1,-2),所以sinα=|A1F·DC||A1F||DC|=23×2=13,所以cosα=223,故C錯誤.對于D,設平面D1B1B的法向量為m=(x1,y1,z1),因為D1B1=(2,2,0),BB1=(0,0,2),所以m·D1B1=2x1+2y1=0,m·BB1=2z1=0,令x1=1,則m=(1,-1,0).設平面CD1B1的法向量為n=(x2,y2,z28.119[解析]如圖,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系設正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為a,a>0,則DD1=3a,則D(0,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,3a),C1(0,a,3a),所以A1B=(0,a,-3a),DB=(a,a,0),A1C1=(-a,a,0).設平面DA1B與平面A1BC1的法向量分別為n=(x1,y1,z1),m=(x2,y2,m·A1B=ay2-3az2=0,m·A1C1=-ax2+ay2=0,令x1=3,則n=(3,-3,-1),令9.36[解析]設EF=1,設BC的中點為M,連接FM,GM,易知GM∥AB,∵EF∥AB,∴EF∥GM,∵四邊形ABCD為矩形,∴AD⊥GM,又△ADE為正三角形,G為AD的中點,∴AD⊥EG,∵GM∩EG=G,且GM,EG?平面EFMG,∴AD⊥平面EFMG,易知EG=FM=3,∴四邊形EFMG為等腰梯形,高為2.在平面EFMG內,過點G作GM的垂線,以點G為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則G(0,0,0),E(0,1,2),C(-1,3,0),F(0,2,2),∴GE=(0,1,2),CF=(1,-1,2),∴cos<GE,CF>=GE·CF|GE|·|CF|=-1+23×210.解:(1)證明:不妨設AD=1,則AA1=AB=2,以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(1,0,2),B(1,2,0),E(0,1,2),A(1,0,0),F(0,0,1),D(0,0,0),所以A1E=(-1,1,0),A1B=(0,2,-2),AF=設m=(x,y,z)是平面A1EB的法向量,則m·A1E=-x+y=0,m·因為AF·m=-1+0+1=0,所以AF⊥m,又AF?平面A1EB,所以AF∥平面A1EB.(2)因為DA⊥平面AA1B1B,所以DA=(1,0,0)是平面AA1B1B的一個法向量,因為cos<m,DA>=m·DA|m||DA|=13=33,所以平面AA1B11.B[解析]連接BD,設AC交BD于點O,連接OS,則SO⊥平面ABCD,以O為坐標原點,OB,OC,OS的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,設底面邊長為a,易知SO=62a,則S0,0,62a,D-22a,0,0,所以SD=-22a,0,-62a.顯然n=(0,0,1)是平面ABC的一個法向量.因為SD⊥平面PAC,所以SD=-12.ABD[解析]△ABC旋轉一周后所得圓錐的頂點為C,底面圓心為B,半徑AB=2,所以底面圓的周長為4π,所以AD所對的圓心角為π2,則BA⊥BD,故A正確;過E作EG⊥AB于G,易知G為AB的中點,則FE在AB上的投影向量為BG=12BA,故B正確;以B為坐標原點則A(0,2,0),D(2,0,0),C(0,0,3),E0,1,32,F(0,0,1),所以EF=0,-1,-12,CD=(2,0,-3),CA=(0,2,-3),所以|cos<EF,CD>|=|EF·CD||EF||CD|=36565,故C錯誤;設平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則n·CD=2x-313.66[解析]設AB=a,AD=b,AA1=c,則A1C=a+b-c,BC1=b+c,因為AB=AD=AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,所以a2=b2=c2=2,a·b=b·c=a·c=1,所以A1C·BC1=(a+b-c)·(b+c)=a·b+b·c+a·c-b·c+b2-c2=2,設直線A1C和BC1所成的角為θ,因為|A1C|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2a·b-2b·c-2a·c=4,即|A1C|=2,|BC1|2=(b+c)2=b2+c2+2b·c=6,即|BC1|=6,14.解:(1)證明:∵AC=BC,M是AB的中點,∴CM⊥AB,又EA⊥平面ABC,CM?平面ABC,∴CM⊥EA,∵EA∩AB=A,EA?平面AEM,AB?平面AEM,∴CM⊥平面AEM,又EM?平面AEM,∴CM⊥EM.(2)∵EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,∴EA∥DB.以M為坐標原點,分別以MB,MC所在直線為x,y軸,過點M與AE平行的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則M(0,0,0),C(0,2,0),B(2,0,0),D(2,0,2),E(-2,0,1),∴ME=(-2,0,1),MC=(0,2,0),BD=(0,0,2),BC=(-2,2,0).設平面EMC的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·ME=0,m·MC=0,